第一章习题 A （ 22 页）

1. 第一章习题A（22页） 1.利用画线法计算下列行列式： 解D=6－4 =2 解D=45＋84＋96－105－72－48 ＝0

2. 解D=a3＋b3＋c3－abc－abc－abc =a3＋b3＋c3－3abc 解D=6＋0+0－0－0－0 =6

3. 2. 计算下列排列的逆序数: (1) 35214; (2)12 3 …(n－1)n；(3)n(n－1)…321; (4) 1 3 5… (2n－1)246… (2n) 解(1) (35214)=0+0+2+3+1=6 (2) [12 3 …(n－1)n]=0 (3) [n(n－1)…321]=0+1+2+…+(n－1)=n(n－1)/2 (4) [1 3 5… (2n－1)246… (2n)] =0+0+0+…+0+(n－1)+(n－2)+…+1+0 =n(n－1)/2

4. 3. 在所有n级排列中，试找出逆序数为最小和最大的排列,这样的排列是否唯一？又逆序数介于它们之间的排列是否唯一？ 解123…n逆序数最小， (12 3 …n)=0, 是唯一的。 n…321逆序数最大，(n…321)=n(n－1)/2，也唯一。 逆序数介于它们之间的排列不唯一，如： (2134…n)=(1324…n)= 2 4. 选择i，j使 (1)125i86j94为奇排列；(2)61357ij48为偶排列。 解 (1)(125786394)＝11，故i＝7，j＝3。 (2)(613572948)＝12，故i＝2，j＝9。

5. 5. 在四阶行列式D=|aij|4的展开式中，(1)确定含有因子a14a33的项；(2)确定带负号并含有因子a21的项。 解 因为通项为 所以(1)含有因子a14a33的项为a14a21a33a42和－a14a22a33a41。 (2)带负号并含有因子a21的项为: －a12a21a33a44 和－a13a21a34a42 和－a14a21a32a43 6. 证明: 若一个n阶行列式中等于零的元素个数大于n2－n,则此行列式值为零。 证明 因为n阶行列式通项为 而n阶行列式共有n2个元素，所以最多有n－1个元素非零，所以行列式的值为零。

6. 7. 用行列式定义计算下列n阶行列式 解

7. 解

8. 8. 计算下列行列式 解

9. 解

10. 解

11. 解

14. 9. 证明下列等式： 证明

15. 证明

16. 10. 按第三行展开行列式, 并计算其值 解

17. 11. 计算下列行列式 解 按第一列展开, 有

19. 解 后行减去前行可得

21. 解 n=1时 原式=|1|=1 n=2时 n3时, 让各列都减去第三列, 则有

22. =6(n3)!

23. 解 按第一列展开, 有

25. 12 证明 证明 按第一列展开, 有

26. 证明

27. 即有 而D1=1+an, 带入可得

28. 13 解下列方程式 解 将行列式按第一行展开可见, 此方程式是关于x的n-1次多项式方程. 所以方程应该有n-1个解. 而由行列式性质可见, 当x=ai时, 行列式等于零. 所以 x=ai (i=1,2,…,n-1)是方程的n-1个解. 所以 方程共有n-1个解, 分别为a1,a2,…,an-1.

29. 解 将行列式2~n列都减去第1列可得 即: -x(1-x)(2-x)…(n-2-x)=0 所以 方程共有n-1个解, 分别为0, 1, 2,…, n-2.

30. 14 利用Laplace展开定理计算 解 将行列式按第一, 三行展开得 =1(-1)(-2)=2

31. 解 将行列式按第一, 二行展开得 =112=2

32. 15. 解下列方程组 解 因为 可得: 所以,方程组的解为:

33. 解 因为

35. 所以, 方程组的解为: x1=1, x2=-1, x3=0, x4=2.

36. 第一章习题B（25页） 1. 设j1, j2, …, jn-1, jn为一个n级排列, 求 (j1, j2, …, jn-1, jn)+ (jn,jn-1, …, j2, j1) 解 由于对排列j1, j2, …, jn-1, jn和jn,jn-1, …, j2, j1进行相应两个元素的相邻对换, 其逆序数一个增加1, 一个减少1. 于是有 (j1, j2, …, jn-1, jn)+ (jn,jn-1, …, j2, j1) =(1,2,…,n-1,n)+ (n,n-1,…,2,1) =0+ n(n-1)/2 =n(n-1)/2

37. 2 设n阶行列式D=|aij|n, 求 解

38. 3 证明 解 左=