第五节曲面及其方程

第五节曲面及其方程 一、曲面方程的概念二、旋转曲面三、柱面

如果曲面与三元方程 有如下关系： (1)曲面上的任一点的坐标都满足方程 ; (2)不在曲面上的任一点的坐标都不满足方程 . 那么，方程就叫做曲面的方程，而曲面就叫做方程的图形．一、曲面方程的概念曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹．曲面方程的定义：

例1 建立球心在,半径为R 的球面 的方程. 以下给出几例常见的曲面. 解根据题意有所求方程为特殊地：球心在原点时, 方程为

例2 求与原点O 及的距离之比为 的点的全体所组成的曲面的方程 . 解根据题意有即所求方程为

解根据题意有化简得所求方程为

以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题： （1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程．（讨论旋转曲面）（2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状．（讨论柱面、二次曲面）

二、旋转曲面 由一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫做旋转曲面的轴. 定义

设在平面上有一已知曲线C ,它的方程为 当曲线C绕z轴旋转时，也绕z 轴把这条曲线绕z 轴旋转一周，就得到一个以z轴为轴的旋转曲面.它的方程可以求得如下：

且点M 到z 轴的距离为 得方程 yoz 坐标面上的已知曲线f ( y , z ) = 0绕 z 轴旋转一周的旋转曲面的方程. 同理，yoz 坐标面上的已知曲线f ( y , z ) = 0 绕 y 轴旋转一周的旋转曲面的方程为

例4 直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周，所得得旋转曲面叫做圆锥面 . 两直线的交点叫做圆锥面的顶点，两直线的夹角叫做圆锥面的半顶角. 试建立顶点在原点O ，旋转轴为z 轴，半顶角为的圆锥面的方程. 解 yoz 面上直线方程为圆锥面方程

(1) 双曲线分别绕轴和轴： 绕轴旋转绕轴旋转例5 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程．这两种曲面都叫做旋转双曲面.

(2) 椭圆 绕轴和轴： (3)抛物线绕轴：这两种曲面都叫做旋转椭球面. 旋转抛物面

平行于定直线并沿定曲线移动的 直线所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线. 三、柱面定义

柱面举例 平面抛物柱面

一般地，只含、而缺的方程，在 空间直角坐标系中表示母线平行于轴的柱面，其准线是面上的曲线： . 从柱面方程看柱面的特征：实例：椭圆柱面// 轴双曲柱面// 轴抛物柱面// 轴

第五节 曲面及其方程