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LE SUCCESSIONI

LE SUCCESSIONI. Si consideri la seguente sequenza di numeri: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233,… detti di Fibonacci. Essa rappresenta il numero di coppie di conigli presenti nei primi 12 mesi in un allevamento!

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LE SUCCESSIONI

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Presentation Transcript

  1. LE SUCCESSIONI • Si consideri la seguente sequenza di numeri: • 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233,… • detti di Fibonacci. Essa rappresenta il numero di coppie di conigli presenti nei primi 12 mesi in un allevamento! • Si consideri la sequenza ottenuta dividendo ogni elemento per il precedente: • ovvero: 1, 2, 1.5, 1., 1.6, 1.625,... • I valori ottenuti si avvicinano alla sezione aurea:

  2. LE SUCCESSIONI • Le successioni (introdotte prima delle funzioni) sono particolari funzioni aventi come dominio l’insieme N dei numeri naturali e come codominio un sottoinsieme B proprio dell’insieme dei numeri reali. • Le successioni vengono indicate : • Ovvero come : • Il grafico di una successione si trova nel primo o nel quarto quadrante.

  3. LE SUCCESSIONI • Esempio 1. • Si consideri la successione: • al crescere di n la frazione, che assume valori positivi, si avvicina sempre di più al numero 0. • Esempio 2 • Si consideri la successione: • Al crescere di n la potenza assume valori sempre più grandi • Esempio 3 • Si consideri la successione : • Al variare di n i valori sono alternativamente +1 e –1.

  4. LE SUCCESSIONI • I tre esempi precedenti esibiscono i tre diversi comportamenti di una successione: • Convergente, divergente ed oscillante. • Studiare una successione equivale ad individuarne il comportamento al crescere di n verso • ovvero a calcolare il :

  5. LE SUCCESSIONI • Si consideri un investimento che alla fine di ogni unità di tempo (scelta) garantisce un premio costante pari ad una percentuale fissa (i= tasso di interesse) della somma inizialmente investita (C0 ). Il capitale dopo n periodi è espresso da: • Se invece il premio è calcolato sul capitale disponibile all’inizio di ogni unità di tempo allora il capitale dopo n periodi è dato dal termine n-esimo della successione:

  6. LE SUCCESSIONI • Proprietà dei limiti: • A) • B) • C) • D)

  7. LE SUCCESSIONI • Si consideri la successione il cui termine generico è rappresentato da un polinomio di grado h in n: • Esempio: • Raccogliendo la potenza di grado più elevato in n si ha: • In generale si ha:

  8. LE SUCCESSIONI • Un successione nella quale il termine generico è dato dal rapporto di due polinomi assume l’espressione: • A) h>k • B) h=k • C) h<k

  9. LE SUCCESSIONI • In tutti e tre i casi si raccoglie sia a numeratore sia a denominatore la potenza di grado più elevato: • Nel caso A) si ha • Il numeratore diverge a e quindi la successione diverge a • mentre il denominatore converge a –1 quindi la successione diverge a

  10. LE SUCCESSIONI • Nel secondo caso procedendo nello stesso modo si ottiene: • Per cui • e quindi la successione è convergente a - 1.

  11. LE SUCCESSIONI • Nel caso C) si ha: • Il numeratore tende ad un numero finito mentre il denominatore tende all’infinito (per la precisione a ), quindi si ottiene: • =0 • La successione è convergente.

  12. LE SUCCESSIONI • Concludendo: • A) se h>k la successione è divergente a • B) se h=k la successione è convergente a • C) se h<k la successione è convergente a 0.

  13. LE SUCCESSIONI • Per quanto riguarda la successione il cui termine generico ha la forma: • si presenta una situazione difficile solo se la la base della potenza tende ad 1(l’esponente tende all’ ), perché si genera la forma indeterminata

  14. LE SUCCESSIONI • Si consideri la successione : • Essa da luogo alla forma indeterminata • ma si può dimostrare che tale successione è convergente al numero di Eulero e=2,718… che è la base dei logaritmi neperiani (non naturali!) lnx.

  15. LE SUCCESSIONI • Si consideri ora la successione: • Dove le due successioni e sono divergenti. Il calcolo del limite della successione porta alla forma indeterminata . In questo caso si opera così:

  16. LE SUCCESSIONI • Calcolando il limite si ottiene:

  17. LE SUCCESSIONI • Esempio. • Si consideri la successione • Il calcolo del limite porta a:

  18. LE SUCCESSIONI • La successione geometrica: • Se la successione è oscillante e non esiste. • Se la successione è convergente e • Se la successione è divergente e

  19. LE SUCCESSIONI • Esempio.

  20. LE SUCCESSIONI

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