1 / 20

LE SUCCESSIONI

LE SUCCESSIONI. Si consideri la seguente sequenza di numeri: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233,… detti di Fibonacci. Essa rappresenta il numero di coppie di conigli presenti nei primi 12 mesi in un allevamento!

tory
Download Presentation

LE SUCCESSIONI

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. LE SUCCESSIONI • Si consideri la seguente sequenza di numeri: • 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233,… • detti di Fibonacci. Essa rappresenta il numero di coppie di conigli presenti nei primi 12 mesi in un allevamento! • Si consideri la sequenza ottenuta dividendo ogni elemento per il precedente: • ovvero: 1, 2, 1.5, 1., 1.6, 1.625,... • I valori ottenuti si avvicinano alla sezione aurea:

  2. LE SUCCESSIONI • Le successioni (introdotte prima delle funzioni) sono particolari funzioni aventi come dominio l’insieme N dei numeri naturali e come codominio un sottoinsieme B proprio dell’insieme dei numeri reali. • Le successioni vengono indicate : • Ovvero come : • Il grafico di una successione si trova nel primo o nel quarto quadrante.

  3. LE SUCCESSIONI • Esempio 1. • Si consideri la successione: • al crescere di n la frazione, che assume valori positivi, si avvicina sempre di più al numero 0. • Esempio 2 • Si consideri la successione: • Al crescere di n la potenza assume valori sempre più grandi • Esempio 3 • Si consideri la successione : • Al variare di n i valori sono alternativamente +1 e –1.

  4. LE SUCCESSIONI • I tre esempi precedenti esibiscono i tre diversi comportamenti di una successione: • Convergente, divergente ed oscillante. • Studiare una successione equivale ad individuarne il comportamento al crescere di n verso • ovvero a calcolare il :

  5. LE SUCCESSIONI • Si consideri un investimento che alla fine di ogni unità di tempo (scelta) garantisce un premio costante pari ad una percentuale fissa (i= tasso di interesse) della somma inizialmente investita (C0 ). Il capitale dopo n periodi è espresso da: • Se invece il premio è calcolato sul capitale disponibile all’inizio di ogni unità di tempo allora il capitale dopo n periodi è dato dal termine n-esimo della successione:

  6. LE SUCCESSIONI • Proprietà dei limiti: • A) • B) • C) • D)

  7. LE SUCCESSIONI • Si consideri la successione il cui termine generico è rappresentato da un polinomio di grado h in n: • Esempio: • Raccogliendo la potenza di grado più elevato in n si ha: • In generale si ha:

  8. LE SUCCESSIONI • Un successione nella quale il termine generico è dato dal rapporto di due polinomi assume l’espressione: • A) h>k • B) h=k • C) h<k

  9. LE SUCCESSIONI • In tutti e tre i casi si raccoglie sia a numeratore sia a denominatore la potenza di grado più elevato: • Nel caso A) si ha • Il numeratore diverge a e quindi la successione diverge a • mentre il denominatore converge a –1 quindi la successione diverge a

  10. LE SUCCESSIONI • Nel secondo caso procedendo nello stesso modo si ottiene: • Per cui • e quindi la successione è convergente a - 1.

  11. LE SUCCESSIONI • Nel caso C) si ha: • Il numeratore tende ad un numero finito mentre il denominatore tende all’infinito (per la precisione a ), quindi si ottiene: • =0 • La successione è convergente.

  12. LE SUCCESSIONI • Concludendo: • A) se h>k la successione è divergente a • B) se h=k la successione è convergente a • C) se h<k la successione è convergente a 0.

  13. LE SUCCESSIONI • Per quanto riguarda la successione il cui termine generico ha la forma: • si presenta una situazione difficile solo se la la base della potenza tende ad 1(l’esponente tende all’ ), perché si genera la forma indeterminata

  14. LE SUCCESSIONI • Si consideri la successione : • Essa da luogo alla forma indeterminata • ma si può dimostrare che tale successione è convergente al numero di Eulero e=2,718… che è la base dei logaritmi neperiani (non naturali!) lnx.

  15. LE SUCCESSIONI • Si consideri ora la successione: • Dove le due successioni e sono divergenti. Il calcolo del limite della successione porta alla forma indeterminata . In questo caso si opera così:

  16. LE SUCCESSIONI • Calcolando il limite si ottiene:

  17. LE SUCCESSIONI • Esempio. • Si consideri la successione • Il calcolo del limite porta a:

  18. LE SUCCESSIONI • La successione geometrica: • Se la successione è oscillante e non esiste. • Se la successione è convergente e • Se la successione è divergente e

  19. LE SUCCESSIONI • Esempio.

  20. LE SUCCESSIONI

More Related