Лекция № 9 Уравнение Шредингера. Волновые функции и их свойства . Квантование

1. Лекция № 9 Уравнение Шредингера.Волновые функции и их свойства. Квантование АлексейВикторович Гуденко • 12/04/2013

2. План лекции • Дифракция электронов и соотношение неопределённостей Гейзенберга. • Ψ-функции и их свойства. • Уравнение Шредингера. • Частица в прямоугольной яме. • Нулевая энергия квантового осциллятора.

3. демонстрации

4. Ψ – функция - состояние частицы в квантовой механике • Состояние частицы в квантовой механике задаётся пси-функцией Ψ(r,t) – комплексная функция, обладающая волновыми свойствами. • |Ψ|2 = ΨΨ* - плотность вероятности нахождения частицы в данной точке пространства: dP = |Ψ|2dV • Нормировка пси-функции: ∫|Ψ|2dV = ∫ΨΨ*dV = 1 • Принцип суперпозиции пси-функций:если для частицы возможны состояния Ψ1 и Ψ2, то существует также состояние Ψ = с1 Ψ1 + с2 Ψ2

5. Ψ-функция свободной частицы – плоская волна де Бройля • Ψ = Сei(kr-ωt) = Сei(pr- εt)/ћ – свободное равномерное движение в определённом направлении с: • энергией ε = ћω • импульсомp = ћk • Фазовая скорость волн де Бройля нерелятивистской свободной частицы:vф = ω/k = ε/p = p/2m = v/2 • Групповая скорость: vгр = dω/dk = dε/dp = p/m = v – просто скорость частицы • |Ψ|2 = ΨΨ* = const – свободная частица с равной вероятностью м.б. обнаружена в любой точке пространства (однородность пространства-времени)

6. Дифракция электрона на щели: Δx – неопределённость координаты → Δp – неопределённость импульса дифракционная расходимость θ = λ/Δx = Δp/p → ΔpxΔx ~ λp = h Волновые свойства частицы и соотношение неопределённостей.

7. Соотношение неопределённости. Почему электрон не падает на ядро? • Произведение неопределённостей значений двух сопряжённых величин не меньше постоянной Планка (ћ/2)ΔpxΔx ≥ ћ/2; ΔpyΔy ≥ ћ/2; ΔpzΔz ≥ ћ/2; ΔE Δt ≥ ћ/2 • невозможно состояние, в котором частица находилась бы в состоянии покоя • квантовые частицы не имеют траектории • энергия квантовой частицы не делится на потенциальную и кинетическую

8. Соотношение неопределённостей, размер атома водорода и энергия основного состояния • Для минимальной энергии импульс частицы равен его неопределённости: p = <p> + Δp ~ = <p> + ћ/ℓ → pmin ~ ћ/ℓ ~ Δp. • E = p2/2m – e2/r ~ ћ2/2mr2 – e2/r • E→ min: dE/dr = 0 → -ћ2/mr3 + e2/r2 = 0 →r = ћ2/me2 = 0,529*10-8см = 0,529 A – боровский радиус • Emin = -e2/2r = - me4/2ћ2 = -13,6 эВ – энергия основного состояния атома водорода

9. Минимальная энергия квантового гармонического осциллятора U = æx2/2 • E → min: p = Δp; x = Δx →E = K + U = p2/2m + æx2/2 ~ћ2/2mx2 + æx2/2 • Emin: dE/dx = 0→xmin = ћ2/mæ → Emin = ћ(æ/m)1/2 = ћω • Точный расчёт даёт E0 = ½ ћω

10. Уравнение Шредингерадля свободной частицы • Уравнение Шредингера – основное уравнение нерелятивистской квантовой механики • Уравнение Шредингера для свободной частицы:iћ∂Ψ/∂t = - ћ2/2m (∂2Ψ/∂x2 + ∂2Ψ/∂y2 + ∂2Ψ/∂z2) iћ∂Ψ/∂t = - (ћ2/2m)∆Ψрешение: Ψ(r,t)= Cei(pr – Et)/ћ∆ = ∂2/∂x2 + ∂2/∂y2 + ∂2/∂z2 – оператор Лапласа • E* = iћ∂/∂t –оператор энергии • p* = ћ/i ∂/∂x – оператор импульса • E*Ψ = (p*2/2m)Ψ

11. Стационарное уравнение Шредингера • Для частицы в силовом поле U(x,y,z): E*Ψ = (p*2/2m + U)Ψ • Стационарное состояние – это состояние с определённой энергией: Ψ = ψ(х,y,z)e-iωt → • [p*2/2m + U]ψ = Eψ - уравнение Шредингера для стационарных состояний • ћ2/2m (∂2Ψ/∂x2) + (E – U)Ψ = 0

12. Основные свойства и квантование • Ψ-функция должна быть: • ограниченной • однозначной • непрерывной • гладкой (без изломов) • Решение уравнение Шредингера, удовлетворяющее этим условиям возможно лишь при определённых значениях энергии. Это собственные значения энергии E. • Ψ(r) – соответствующие E собственные функции. • Собственные значения м.б. дискретными (квантованными) или непрерывными (сплошной энергетический спектр)

13. Частица в прямоугольной яме • (∂2Ψ/∂x2) + k2Ψ = 0,где k2 = 2mE/ћ2 • Ψ = Asinkx + Bcoskx • Ψ(0) = 0 → B = 0Ψ(ℓ) = 0 →kℓ = πn (n = 1,2,3…) • En = ћ2π2n2/2mℓ2 – энергия квантуется • Нормировка ∫|Ψ|2dx = 1 → A = (2/ℓ)1/2 • Ψn(x)= (2/ℓ)1/2sinπnx/ℓ • λn = 2π/kn = 2ℓ/n (ℓ = n λn/2 – в яме укладывается целое число полуволн)

14. картинки

15. Некоторые важные особенности • En – собственные значения; Ψn – собственные функции. • Дискретность – следствие граничных условий. • Минимальное значение энергии не равно нулю – это соответствует принципу неопределённости • Число n – главное квантовое число • Число узлов на единицу меньше номера соответствующего состояния. • С ростом n максимумы |Ψ|2 сближаются, а относительное расстояние между уровнями энергии уменьшается – дискретность «смазывается» и частица из «квантовой» превращается в «классическую» - в этом заключается принцип соответствия.

16. Численные оценки • Молекула в сосуде: m ~ 10-23г ℓ ~ 10 смΔEn = ћ2π2 (2n+1)/2mℓ2 ≈ ћ2π2 n/mℓ2 ≈ 10-32n эрг • E ~ kT ~ 10-14эрг • n ~ 109 • ΔEn/E ~ 10-9

17. Принцип соответствия • Частица, находящаяся в яме с непроницаемыми стенками, излучает фотон, переходя из состояния с номером n+1 в состояние с номером n. Определить связь частоты фотона с классическим периодом колебаний частицы с энергией En. • Квантовая частица:ωкв = (En+1 – En)/ћ = ћπ2(n + ½) /mℓ2 • Классическая: mv2/2 = En = ћ2π2n2/2mℓ2 → v = ћπn/mℓ → период T = 2ℓ/v = 2mℓ2/ћπn → ωкл = 2π/T = ћπ2n/mℓ2 → • ωкв/ωкл = 1 + 1/2n → при больших n: ωкв ≈ ωкл

18. А что будет в трёхмерной прямоугольной яме? • Ψnmp = Ψn(x)Ψm(y)Ψp(z) = Ψnmp = (8/abc)1/2 sinπnx/a sinπmy/b sinπpz/c

19. Квантовый осциллятор ½æx2. Нулевая энергия Е0 = ½ ћω • ћ2/2m (∂2Ψ/∂x2) + (E – U)Ψ = 0 → (ћ2/2m)∂2Ψ/∂x2 + EΨ - ½æx2Ψ = 0замена: λ = 2E/ћω; ξ = x(æ/ћω)1/2 →- (∂2Ψ/∂ξ2) + ξ2Ψ = λΨ • Одно из решений Ψ = exp(αξ2) →для любого ξ должно быть: (1 - 4α2)ξ2 - 2α = λ → 1 - 4α2 = 0 → α = - ½ (+ не годится) → Ψ = exp(-ξ2/2);λ= 1 • Это решение не имеет узлов → значит основное состояние (n = 1) →E0 = ½ ћω