Rīgas Celtniecības koledža

1. Rīgas Celtniecības koledža Arhitektūras katedra TĒLOTĀJA ĢEOMETRIJA P2 bloks VIRSMU TRANSFORMĀCIJA Izstrādāja: Zigurds Eglītis Rīga 2013 / 2014

2. VIRSMU TRANSFORMĀCIJA Taisnes un to stāvotnes - 03 Plaknes un to stāvotnes - 05 Līknes un virsmas - 07 Virsmu izklājumi - 08 Objektu šķēlums ar frontāli projicējošu (FrPr) plakni - 09 Ģeometrisku elementu krustošanās - 11 Virsmu šķelšanās - 13 Palīgplakņu metode - 15 Palīgložu metodes pielietojums - 17 Ēku fragmentu un mezglu rasējumi - 21 Ēku fragmentu un mezglu rasējumu piemēri - 22 Literatūra - 25 2

3. TAISNES UN TO STĀVOTNES Taisni projekcijas sistēmā nosaka divi punkti. Tādējādi tās stāvotnei (speciālai vai vispārējai) jānorāda divu taisnes punktu koordinātas vai jāizmanto citi paņēmieni (skat. mācību literatūrā). Taisnes, kas novietojušās paralēli kādai no projekcijas plaknēm (bet citām nav perpendikulāras), sauc par speciālas stāvotnes līmeņa taisnēm. Tās ir: horizontālas (h), frontālas (f) un profilas (p) taisnes. Taisnes, kas izvietotas projekcijas plaknēm perpendikulāri, attiecīgi kakta projekcijas plaknei sauc par horizontāli projicējošām, frontāli projicējošām un profili projicējošām speciālas stāvotnes taisnēm. Savukārt taisnes, kas pret projekcijas plaknēm ieņem slīpu stāvotni, t.i., nav tām ne paralēlas, ne arī perpendikulāras, projicējas vispārējā stāvotnē un tiek sauktas par vispārējas stāvotnes taisnēm. Vispārējas stāvotnes taisnes var būt augšupejošas (to projekcijas rasējumā vērstas uz vienu pusi) un lejupejošas (taišņu projekcijas ir vērstas uz pretējām pusēm). 3

4. DAŽĀDAS STĀVOTNES TAIŠŅU PROJEKCIJA 4

5. PLAKNES UN TO STĀVOTNES Plaknes stāvotnes uzdošanai telpā izmanto 3 punktus, kas neatrodas uz vienas taisnes, divas savstarpēji paralēlas vai krustiskas taisnes, taisni un punktu ārpus tās un citādi. Plaknes telpā var atrasties speciālā un vispārējā stāvotnē. Plaknes speciālajā stāvotnē novietojas paralēli vai perpendikulāri projekcijas plaknēm. Šeit ir jānodala līmeņa plaknes – horizontālas, frontālas un profilas, un projicējošas plaknes (plakne perpendikulāra vienai projekcijas plaknei, bet ir novietojusies slīpi pret pārējām), – horizontāli, frontāli un profili projicējošas plaknes. Plakne projekcijas sistēmā vispārējā stāvotnē ir tad, ja tā novietota pret projekcijas plaknēm slīpi kā augšupejoša vai lejupejoša. Piezīme: Taisnes un plaknes projicējas patiesajā lielumā tad, ja tās ir paralēlas attiecīgajai projekcijas plaknei. Citkārt – sagrozīti. 5

6. DAŽĀDAS STĀVOTNES PLAKŅU PROJEKCIJA 6

7. LĪKNES UN VIRSMAS Punkts, pārvietojoties telpā, rada trajektoriju. Atbilstoši trajektorijas raksturam rodas taisnas līnijas (taisnes), plaknes līknes (riņķa līnija, brīva rakstura plaknei piederoša līkne) vai telpas līknes (vītnes līnija, līknes, kuru punkti neatrodas vienā plaknē). Virsmu var uzskatīt par kādas taisnes vai līknes stāvokļu kopu, tai pārvietojoties telpā pēc uzdota noteikta likuma. Virsmu raksturošanai izmanto to aprakstošu (kustīgu) līnijelementu – veiduli un nekustīgu līniju – vaduli vai sarežģītākos gadījumos vairākas vadules. Virsmas uzdošanai ortogrāfiskajā vai aksonometriskajā attēlā norāda virsmas apveidu, t.i., kontūrlīnijas projekciju. Virsmas var iedalīt šādās grupās: skaldnes (daudzskaldņi), rotācijas virsmas (cilindrs, konuss, sfēra jeb lode, tors, gredzens u.c.), cikliskās virsmas (apraksta un pārvietojas riņķa līnija ar konstantu rādiusu – cauruļvirsmas vai mainīgu rādiusu – kanālvirsmas), topogrāfiskās virsmas (Zemes garoza, neordināru ēku jumtu virsma u.tml.). 7

8. VIRSMU IZKLĀJUMI Virsmu izklājums ir figūra, kuru iegūst, izlokot (notinot) izklājama objekta virsmas plaknē bez ielocēm, izstiepumiem un pārrāvumiem. Izklājamas ir visas daudzskaldņu (prizmatisku ķermeņu) virsmas, kā arī cilindriskas, koniskas un torsi. Torss formējas, pārvietojoties kādai taisnei (veidulei) saskarē ar telpas līkni (vaduli). Neizklājamās virsmas aizstāj tuvināti ar izklājamajām virsmām. Virsmu izklājumu izveide reducējas uz vairākkārtēju īstā lieluma noteikšanu virsmu atsevišķiem elementiem – taisnstūriem, trapecēm, paralelogramiem, pilniem un nepilniem riņķiem, elipsēm u.tml. Izklājumu rasējumu noformējumā tiek izmantoti: ar pamatattēlu savietoti izklājumi, kur objekta izklāto daļu uzrāda ar šauru svītrdubultpunktu līniju, un izklājumi kā atsevišķi attēli, kur locījumus ievelk ar šauru nepārtrauktu līniju. 8

9. PRIZMAS ŠĶĒLUMS AR FrPr PLAKNI Šķeļot piecstūra prizmu ar frontāli projicējošu plakni, veidojas: šķēluma patiesā lieluma figūra, virsmu izklājums. 9

10. KONUSA ŠĶĒLUMS AR FrPr PLAKNI Šķeļot konusu ar frontāli projicējošu plakni, veidojas: šķēluma patiesā lieluma figūra, virsmu izklājums, aksonometriskais attēls. 10

11. ĢEOMETRISKU ELEMENTU KRUSTOŠANĀS Tehnisku objektu formu veido punkti, kas tālākajā procesā izvēršas (transformējas) kā taisnes un līknes (šķautnes), plaknes (skaldnes) un no plaknes atšķirīgas virsmas, vienlaicīgi arī dažādās modifikācijās savstarpēji krustojoties jeb šķeļoties. Taisnes l un plaknes Q krustpunkta K noteikšanai jānovelk plaknē ar taisni l horizontāli konkurējoša palīgtaisne a un, izmantojot šo taišņu frontālo projekciju krustpunktu K₂ (kas ir arī taisnes l un plaknes Q krustpunkta frontālā projekcija), atrod taisnes un plaknes krustpunkta horizontālo projekciju K₁. Taisnes l un trīsstūra piramīdas SABC krustpunktus M un N iezīmē ar frontāli konkurējošu lauztu palīglīniju, nosakot M₁→M₂, N₁→N₂. Divu plakņu krustošanās, t.i., divu plakanu virsmu šķelšanās līnijas MN konstrukcijai, plaknes ABC un DEF pa malām DF un EF šķeļ ar frontāli projicējošu palīgplakni (pa konkurējošām līnijām), nosakot to palīgpunktus 1, 2 un 3, 4 un pēc tiem – plakņu šķēluma līniju MN. 11

12. ĢEOMETRISKU OBJEKTU KRUSTOŠANĀS 12

13. VIRSMU ŠĶELŠANĀS Aplūkojot virsmu savstarpējo šķelšanos, izdalāmi šādi 3 to veidi: daudzskaldņu savstarpējā šķelšanās, daudzskaldņa un rotācijas ķermeņa šķelšanās un divu rotācijas ķermeņu savstarpējā šķelšanās. Divas virsmas biežāk var šķelties pa telpas līkni vai specifiskos gadījumos pa kādu plaknes līkni. Daudzskaldņu virsmas šķeļas pa lauztu telpas līniju. Divu virsmu šķēluma līnijas raksturīgos punktus (caur kuriem velk šķēluma līniju) nosaka, izmantojot: projekcijas saikni (projekcijas kārtotājas), palīgplakņu metodi (ar līmeņa vai projicējošu plakņu palīdzību), palīgsfēru metodi: pielietojot koncentriskas vai ekscentriskas lodes, papildprojicēšanas metodi, specifiskus nosacījumus, kas izriet no teorētiskajām nostādnēm. 13

14. ŠĶELŠANĀS LĪNIJU KONSTRUKCIJA Palīgplakņu metode (universāla): izvēlas palīgplaknes, kas šķeļ abas virsmas pa vienkāršām līnijām, nosaka palīgplakņu un virsmu šķēluma līnijas, balstoties uz palīgplakņu krustpunktiem, iezīmē šķēluma līniju. Palīgložu metode (piemērota rotācijas virsmām, kuru šķelšanos nosaka ar koncentrisku palīgložu, kad lodes vilktas no viena punkta, vai ekscentrisku palīgložu, kad ložu centri mainās, palīdzību): koncentrisku palīgložu metodi pielieto, ja rotācijas virsmu simetrijas asis krustojas un ir paralēlas kādai no projekcijas plaknēm, ekscentrisku palīgložu metode ir izmantojama, ja virsmām ir kopīga simetrijas plakne un tā ir paralēla kādai projekcijas plaknei. Papildprojicēšanas metode balstās uz projekcijas plaknes maiņu, veicot slīpleņķa projekciju kādā projicējošā plaknē. Specifiskos gadījumos, piemēram, ja divām virsmām ir kopīga saskares lode, raksturīgajā projekcijā šķelšanās līnijas būs taisnes. 14

15. A. PALĪGPLAKŅU METODE Trīsstūra prizmas un taisna nošķelta konusa krustošanās līnijas noteikšanai izmantotas horizontālas palīgplaknes. 15

16. B. PALĪGPLAKŅU METODE Slīpas prizmas un taisna konusa virsmu šķēlumlīnijas konstrukcijā pielietotas vairākas horizontālas un viena frontāla palīgplakne. 16

17. KONCENTRISKU PALĪGLOŽU METODE Ar koncentrisku palīgložu (palīgsfēru) metodi, t.i., velkot lodes no viena centra, uzkonstruēta divu taisnu konusu šķelšanās līnija. 17

18. EKSCENTRISKU PALĪGLOŽU METODE Ar ekscentrisku palīgložu (palīgsfēru) metodi, t.i., ekscentriskām palīglodēm izveidota gredzena un nošķelta konusa šķelšanās līnija. 18

19. DUBULTSASKARES VIRSMU ŠĶELŠANĀS 19

20. DOBU ĶERMEŅU RASĒJUMI 20

21. ĒKU FRAGMENTU UN MEZGLU RASĒJUMI Dzīvojamās, publiskās un ražošanas ēkas ir lielizmēra objekti, kuru kopattēlojums rasējumos tiek daudzkārt samazināts, tādējādi to ilustrācijai jāpielieto liela samazinājuma mērogi un līdz ar to arī virkne nosacījumu, kas neatspoguļo pilnībā objektu reālo struktūru. Šo nosacījumu novēršanai kalpo fragmentu un mezglu rasējumi. Fragmentu un mezglu rasējumi ir ēku kopskatu (plānu, griezumu un fasāžu) iznestie elementi, kas detalizētāk paskaidro ēku atsevišķas sastāvdaļas. Ēku fragmentu rasējumi paredzēti ēkas daļu ierobežotu laukumu ilustrēšanai, bet mezglu rasējumi kalpo ēkas atsevišķu konstruktīvu vietu skaidrojumam. Fragmentu un mezglu rasējumos norāda objekta lineāros izmērus, uzdod līmeņu atzīmes un sniedz citu vajadzīgo informāciju. Mezglu rasējumu identisks attēlojuma veids ir ēku detaļu rasējumi, kurus noformē līdzīgi. 21

22. FASĀDES FRAGMENTA RASĒJUMS 22

23. PLĀNA FRAGMENTA RASĒJUMS 23

24. MEZGLU RASĒJUMI 24

25. LITERATŪRA Z. Eglītis. Tehniskās grafikas ceļvedis. 6 daļas. R., 2001. – 2009. J. Auzukalns u.c. Tēlotāja ģeometrija. RTU, R., 2008. J. Čukurs u.c. Tēlotāja ģeometrija. R., 2004. J. Auzukalns u.c. Būvgrafika. RTU, R., 2007. A. Posvjanskis. Tēlotāja ģeometrija. R., 1972. J. Čukurs u.c. Inženiergrafika. R., 2004. V. Jurāns u.c. Inženiergrafika. R., 1983. V. Jurāns u.c. Tēlotāja ģeometrija. R., 1985. F. Watts, RuleJohn T. DescriptiveGeometry. US, 2011. N. Meuser. ArchitecturalDrawings (Manual). UK, 2013. S. Bensaadaetl’autres. Geometriedescriptive. FrenchEdition. 2011. J. Jimenez. Ledessind’architectured’interier. FrenchEdition. 2011. LVS EN ISO standartu krājumi, Būvprojekta dokumenti u.tml. Arhitektūras / būvniecības nozaru interneta materiāli. 25