概率论与数理统计第 17 讲

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协方差的计算 • 在已知两个随机变量X和Y的联合分布的情况下怎样计算它们的协方差cov(X,Y)呢, • cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}= • =E[XY-XE(Y)-YE(X)+E(X)E(Y)]= • =E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y)= • =E(XY)-E(X)E(Y)

cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y) • 即相乘的均值减去均值的相乘. • 其中E(X)和E(Y)是通过边缘分布计算的, 因此关键是如何计算E(XY).

对于离散型随机变量, 假设X,Y的概率函数为P(X=xi,Y=yj)=pij, (i,j=1,2,...),则

对于连续型随机变量, 假设X,Y的联合概率密度为f(x,y), 则

例假设X,Y的联合概率函数如下表所示

而X与Y的边缘分布及数学期望为:

在研究任何连续型随机变量的概率密度函数f(x)的时候, 通常可将其表示为f(x)=kg(x)的形式, 其中g(x)表示了f(x)的形状, 而系数k的作用则是为了保证f(x)的性质

因此我们在研究不同类型的连续型随机变量时, 焦点放在它的形状函数g(x)上 g(x) 面积为s x f(x)=g(x)/s 面积为1 x

例如, 假如我们知道了一随机变量的概率密度的形状函数为g(x)=e-lx,(x>0, l>0), 我们就已经知道它是服从指数分布了, 则f(x)=kg(x), 而k不难求得为

G-分布 • 所谓G-分布的概率密度函数的形状是这样的, 它在x0时取0值, 而在x>0时为x的某次方乘上指数函数e-lx, 即它的形状函数g(x)=xae-lx,

g(x)=xae-lx, • 但通常令其中的参数a=r-1, 即r=a+1, 即将g(x)写成g(x)=xr-1e-lx的形式, 这虽然只是一个人为的规定, 但是有一个好处就是, 后面我们将证明, G-分布的数学期望为l-1r, • 方差为l-2r, 且两个l参数相同的都服从G-分布的相互独立的随机变量的和也服从G-分布, 和的分布中的r参数正好是两个随机变量的r参数之和.

因此, 如随机变量X服从G-分布, 则它的概率密度函数为f(x)= kxr-1e-lx, (x>0)的形式, 下面求常数因子k.

其中

定义如果连续型随机变量X具有概率密度

G-函数的一个重要性质是G(r+1)=rG(r),

G-分布的数学期望

G-分布的方差

当r=1时, • 这是指数分布,

当r为正整数时,

当r=n/2(n是正整数), l=1/2时, • 这是具有n个自由度的2-分布(简记作2(n)), 它是数理统计中最重要的几个常用统计量的分布之一. • 如果X~c2(n), 则E(X)=n, D(X)=2n.

定理如果X~G(l,r1), Y~G(l,r2)则X+Y~G(l,r1+r2)证 只要证X+Y的概率密度具有

推论 • 如果X1,X2,...,Xn相互独立, • 且Xi~G(l,ri), (i=1,2,...,n), • 则 • X1+X2+...+Xn~G(l, r1+r2+...+rn)

推论(需要记住) • 如果X1,X2,...,Xm相互独立, • 且Xi~c2(ni), (i=1,2,...,m), • 则 • X1+X2+...+Xm~c2(n1+n2+...+nm)

正态分布正态分布也叫高斯分布, 它取一切实数值为可能值, 它的形状是指数上的一个二次多项式, 即正态分布的概率密度函数是形如

但最常见的是将指数项进行整理

也就是说, f(x)总能整理成

这里用到普阿松积分公式

普阿松积分公式的证明:

定义如果连续型随机变量X的概率密度为 • 其中s,m为常数, 并且s>0, 则称X服从正态分布, 简记作X~N(m,s2).

可以验证E(X)=m, D(X)=s2 • 特别地, 当m=0, s=1时, 称其为标准正态分布, 其概率密度记为j(x), 分布函数记为(x), 这时X~N(0,1).

验证E(X)=m

验证D(X)=s2

j(x) -1 0 1 x j(x)的图形

j(x) -1 0 1 x

j(x)除一般概率密度的性质外, 还有下列性质(1) j(x)有各阶导数(2) j(-x)=j(x), 偶函数(3) 在(,0)内严格上升,在(0,)严格下降.在x=0 处达到最大值:

(4) 在x=1处有两个拐点; • (5) x轴是j(x)的水平渐近线

一般正态分布与标准正态分布的关系

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