Espacio métrico 2º Bachillerato

1. Presentación elaborada por la profesora Ana Mª Zapatero a partir de los materiales utilizados en el centro (Editorial SM) Espacio métrico 2º Bachillerato

3. El ángulo de dos rectas que se cortan es el menor de los ángulos que forman sus vectores direccionales. El ángulo de dos rectas que se cruzan es el ángulo formado por dos rectas secantes paralelas a las dadas. Ángulo entre dos rectas

4. |aa' + bb' + cc'| Ù cos ( r , s ) = 2 2 2 2 2 2 a + b + c a' + b' + c' Ángulo entre dos rectas: expresión analítica. Condiciones de perpendicularidad y paralelismo Condición de perpendicularidad Condición de paralelismo

5. Definición: El ángulo de dos planos secantes a y bes el menor de los ángulos diedros que determinan. Su medida coincide con el ángulo rectilíneo formado por dos rectas perpendiculares a la arista en un punto cualquiera. Ángulo entre dos planos

6. Ù |AA' + BB' + CC'| a b cos ( , ) = 2 2 2 2 2 2 A + B + C A' + B' + C' //β Ángulo de dos planos: expresión analítica. Condiciones de perpendicularidad Si a y b son dos planos cualesquiera a: Ax + By + Cz + D = 0 y b: A'x + B'y + C'z + D' = 0. Entonces: Condiciones de perpendicularidad Condiciones de paralelismo

7. Ángulo entre recta y plano Definición: El ángulo de una recta r y un plano a es igual al ángulo que forma la recta r con la proyección ortogonal, r', de r sobre a.

8. Ù |aA + bB + cC | a sen ( r , ) = 2 2 2 2 2 2 a + b + c A + B + C Ángulo entre recta y plano: expresión analítica. Condiciones de perpendicularidad y paralelismo Condiciones de perpendicularidad Condiciones de paralelismo

9. Proyección ortogonal 1 2 Punto sobre plano Recta sobre plano P pertenece p r incluida p P no pertenece p r no incluida p

10. A(x1, y1, z1) • Distancia entre dos puntos • B(x2, y2, z2) La distancia entre dos puntos es el módulo del vector AB

11. ® ® ® ® ® ® A P n = A Q n + QP n · · · a a a a a = 0 Dado P(x1, y1, z1) (un punto) y  (un plano), se define la distancia punto-plano, d(P, ), como la longitud del segmento PQ, en donde Q es la proyección ortogonal de P sobre el plano. Distancia entre punto y plano Según la definición anterior: d(P, a) = d(P, Q) y si Aa(x0, y0, z0)

12. d(Pa,b) = Como P cumple su ecuación Ax1 + By1 + Cz1 + D = 0 Distancia entre dos planos paralelos La distancia entre dos planos paralelos es igual a la distancia de un punto cualquiera de un plano al otro plano. d(a, b) = d(Pa, b) = d(Pb, a) (x1, y1, z1) Ax+By+Cz+D=0 A’x+B’y+C’z+D’=0

13. (x1, y1, z1) (xo, yo, zo) = 0  (a, b, c) Distancia entre punto y recta Dado P (un punto) y r (una recta), se define la distancia punto recta, d(P, r), como la longitud del segmento PQ, en donde Q es la proyección ortogonal de Q sobre la recta. Según la definición anterior: d(P, r) = d(P, Q)

14. s Distancia entre dos rectas paralelas La distancia entre dos rectas paralelas es igual a la distancia de un punto cualquiera de una de ellas a la otra. d(r, s) = d(Pr, s) = d(Qs, r)

15. Como sabemos que La distancia entre dos rectas r y s que se cruzan es la existente entre el plano paralelo a r que pasa por s y el plano paralelo a s que pasa por r. Distancia entre dos rectas que se cruzan Partiendo de la figura • d(r, s) = d(As, a)=d(Ar, b) Y nos quedará: Esto nos da la altura del paralelepípedo (volumen/ área)

16. p As s r Ar • Se observa que • a (Ar, ur, urx us) • b (As, us, urx us)      urx us       us us ur La perpendicular común a dos rectas no paralelas es la recta que corta ortogonalmente a cada una de ellas. Perpendicular común (I) • La recta p, perpendicular común, queda determinada por el corte de los planos a y b. b a

17. p us Ps s Pr r vr El vector PrPses ortogonal a los vectores u y v, luego Perpendicular común (II) La distancia entre las dos rectas, viene dada por la distancia entre los puntosPr y Ps situados uno sobre cada una de las rectas y en la perpendicular común El punto Pr tendrá por coordenadas genéricas las correspondientes a las ecuaciones paramétricas de la recta r: Pr = (x1 + t u1, y1 + t u2, z1 + t u3) Análogamente las coordenadas del punto de Ps serán: Ps = (x2 + s v1, y2 +s v2, z2 + s v3) Se obtiene así un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas t y s que permiten conocer los puntos y luego su distancia. A partir de ellos se puede escribir la ecuación de la perpendicular común.

18.   S(ABCD) = | AB x AC |   S(ABC) = |AB x AC| 1 2 Áreas de paralelogramos y triángulos Paralelogramos Triángulos

19.    V = |det (AB, AC, AD)|   1 2 Base = S(ABC) = |AB x AC|    Altura = h = |AD| cos(AD, h)       1 6 1 6 V= |AD · (AB x AC)| = |det (AB, AC, AD)| Paralelepípedo Volumen de paralelepípedos y tetraedros Tetraedro Por ser una pirámide: V = (1/3) · base ·altura Por tanto: