Геометрия 7 класс

1. Геометрия7 класс Составила: учитель математики МОУ «Лицей №4 г.Чебоксары» Смелова Елена Николаевна

2. Свойства равнобедренного треугольника

3. Определения и свойства равнобедренного треугольника Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны. Равные стороны называются боковыми сторонами, а третья – основанием равнобедренного треугольника. Треугольник, все стороны которого равны, называется равносторонним. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

4. Задача. В равнобедренном треугольнике основание в два раза меньше боковой стороны, а периметр равен 50 см. Найдите стороны треугольника. • Дано: , АВ=ВС, АС в 2 раза меньше АВ, Р∆АВС=50 см • Найти: АВ,ВС,АС

5. Решение: Р∆АВС=АВ+ВС+АС, АВ=ВС(по условию), Р∆АВС=2АВ+АС. АС в 2 раза меньше АВ, т.е. АС=½АВ РАВС=2АВ+ АВ=2 АВ=50 (см) АВ=50:2 =20 (см) АВ=ВС=20 (см) АС= АВ= ·20=10 (см) Ответ: 20 см, 20 см, 10 см.

6. 2 способ: Решение: Р∆АВС=АВ+ВС+АС АВ=ВС=х, АС в 2 раза меньше АВ, т.е. АС= АВ= х Составим и решим уравнение: х+х+ х=50 2 х=50 х=50:2 х=20 (см) – АВ и ВС АС= х= ·20=10 см

7. Задача. Периметр равнобедренного треугольника АВС с основанием ВС равен 40 см, а периметр равностороннего треугольника ВСD равен 45 см. Найдите стороны АВ и ВС. • Дано: ∆АВС, АВ=АС, Р∆АВС=40 см, ∆ВСD, ВС=СD=ВD, Р∆ВСD=45 см. Найти: АВ, ВС. Решение: Р∆ВСD=45 см Р∆ВСD=ВС+СD+ВD=3ВС 3ВС=45 ВС=45:3=15 (см)

8. Решение: Р∆АВС =АВ+ВС+АС= 2АВ+ВС=40 (см) 2АВ+15=40 2АВ=40-15 2АВ=25 АВ=25:2=12,5 (см) Ответ: АВ=12,5 см, ВС=15 см.

9. Задача. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием ВС проведена медиана АМ. Найдите медиану АМ, если периметр треугольника АВС равен 32 см, а периметр треугольника АВМ равен 24 см. • Дано: ∆АВС, АВ=АС, АМ - медиана, Р∆АВС = 32 см, Р∆АВМ =24 см • Найти: АМ

10. Решение: Р∆АВС = АВ+АС+ВС=2АВ+ВС=32 см Р∆АВМ =АВ+ВМ+АМ= АВ+ ВС+АМ=24см 2АВ+ВС=32 |:2 АВ+ ВС=16 АВ+ ВС+АМ=24 АМ=24-16=8 см Ответ: АМ=8 см

11. Задача. Докажите, что если медиана треугольника совпадает с его высотой, то треугольник равнобедренный. • Дано: ∆АВС, АМ - медиана и высота • Доказать: ∆АВС – равнобедренный • Доказательство: рассмотрим ∆АВМ и ∆АСМ. В них: 1)АМ - общая; 2)ВМ=МС, т.к. АМ- медиана; 3) АМВ= АМС=90°, т.к. АМ -высота.

12. Значит, ∆АМВ= ∆АСМ (по двум сторонам и углу между ними - I признак равенства треугольников). Из того, что ∆АВМ= ∆АСМ, следует: АВ=АС как соответственные стороны равных треугольников, т.е. ∆АВС- равнобедренный

13. Задача. На рисунке 1 CD=BD, 1= 2.Докажите, что треугольник АВС равнобедренный. • Дано: CD=BD, 1= 2 • Доказать: АВС- равнобедренный

14. Доказательство: Рассмотрим ABD и ACD. В них: 1)AD-общая ; 2) 1= 2( по условию); 3)BD=CD( условию).

15. Значит, ∆АВD=∆АСD( по двум сторонам и углу между ними – I признак равенства треугольников). Из того, что ∆АВD=∆АСD, следует : АВ= АС как соответственные стороны равных треугольников, т.е. ∆АВС- равнобедренный.

16. Задача . На рисунке 2 AB=BC, 1=130°.Найти 2. • Дано: AB=BC, 1 =130° • Найти: 2

17. Решение: АСВ и 1 –смежные, АСВ+ 1=180 °; АСВ=180°- 1= 180°-130°=50°; - равнобедренный, т.к АВ=ВС.

18. ВАС= АСВ=50°- углы при основании АС равнобедренного ; 2= ВАС=50°- вертикальные углы. Ответ: 2= 50°.

19. Задача .Точки М и Р лежат по одну сторону от прямой b. Перпендикуляры MN и PQ , проведенные к прямой b, равны. Точка О- середина отрезка NQ .Докажите: а) что OMP= OPM; б)найдите NOM, если MOP=105 °.

20. Дано: MN b , PQb, MN=PQ ,О – середина NQ . • Доказать: OMP= OPM • Найти: NOM, если MOP= 105 °.

21. Доказательство: Рассмотрим MNO и PQO . В них: 1) MN=PQ( по условию); 2)NO= OQ, т.к. О- середина NQ; 3) MNO= PQO=90 ° , т.к. MN b, PQ b.

22. Значит, MNO=PQO( по двум сторонам и углу между ними- I признак равенства треугольников) Из того , что MNO= PQO, следует : МО=РО как соответственные стороны равных треугольников, т.е. MOP- равнобедренный. ОМР= ОРМ – углы при основании МР в МОР.

23. Решение: MNO= PQO NOM = QOP как соответственные углы равных треугольников; NOM + MOP+ QOP=180 °(смежные углы); NOM+ QOP=180° - MOP= 180 °- 105 °=75°; NOM= QOP=75 ° :2= 37,5°=37 °30' ; Ответ:NOM=37 °30 '

24. Задача. Докажите, что в равных треугольниках медианы, проведенные к равным сторонам, равны. • Дано: ABC= A1B1C1, BC= B1C1, AM,A1M1- медианы • Доказать: AM=A1M1

25. Доказательство: Из того, что АВС= А1В1С1следует: В= В1, АВ=А1В1 ( как соответственные углы и стороны равных треугольников)

26. Рассмотрим АВМ и А1В1М1; В них: 1)АВ=А1В1; 2) В= В1; 3)ВМ= ВС, т.к. АМ-медиана,В1М1= В1С1, т.к. А1М1-медиана, ВС= В1С1( по условию ). Значит, ВМ=В1М1.

27. Получим, что АВМ = А1В1М1( по двум сторонам и углу между ними – I признак равенства треугольников). Из того , что АВМ= А1В1М1, следует, что АМ=А1М1 как соответственные стороны равных треугольников.

28. Задача. Медиана АМ треугольника АВС равна отрезку ВМ . Докажите , что один из углов треугольника АВС равен сумме двух других углов. • Дано: АВС, АМ- медиана, АМ=ВМ • Доказать: А= В+ С

29. Доказательство: А= ВАМ+ САМ; АВМ- равнобедренный, т.к. АМ=ВМ; ВАМ= АВМ= В- углы при основании АВ в АВМ; АМС- равнобедренный, т.к. АМ=МС САМ= МСА= С- углы при основании АС в АМС А= ВАМ= САМ= АВМ+ МСА= В+ С.

30. Задача. Докажите, что в равностороннем треугольнике все углы равны. • Дано: АВС, АВ=ВС=АС; • Доказать: А= В= С;

31. Доказательство: в АВСАВ=ВС А= С- углы при основании АС. В АВС АС=АВ С= В- углы при основании СВ. Имеем: А= С; С= В. Значит , А= В= С.

32. Задача. На рисунке АВ=ВС,СD=DE. Докажите, что ВАС= СЕD. • Дано: АВ=ВС,СD=DE • Доказать: ВАС= СЕD

33. Доказательство: в АВС АВ=ВС ВАС= ВСА–углы при основании АС. В СDE CD=DC DCE= DEC- углы приосновании СD. ВСА= DCE- вертикальные углы; Имеем: ВАС= ВСА DCE= DEC BCA= DEC, значит, ВАС= CED= DEC

34. Задача. На основании ВС равнобедренного треугольника АВС отмечены точки M и N так, что ВМ=CN. Доказать что: а) ВАМ= CAN; б) треугольник AMN равнобедренный; • Дано: АВС, АВ=АС, M,N BC, BM=CN; • Доказать: а) ВАМ= CAN; б) AMN-равнобедренный.

35. Доказательство : а) рассмотрим ВАМ и CAN; В них: 1)АВ=АС( по условию); 2) B= C–углы при основании ВС равнобедренного АВС; 3)ВМ=CN( по условию). Значит , ВАМ = CAN (по двум сторонам и углу между ними – I признак равенства треугольников).

36. б)Из того, что ВАМ = САМ , следует: АМ=AN как соответственные стороны равных треугольников . АМ=AN, т.е. AMN- равнобедренный.

37. Задача. В равнобедренном треугольнике DEK с основанием DK отрезок EF- биссектриса, DK=16 см, DEF=43 °.Найдите KF,DEK, EFD. • Дано: DEK, DE=EK, EF- биссектриса,DK=16 см, DEK=43°. • Найти: KF, DEK, EFD.

38. Решение: DEK=2 DEF=2*43°=86°, т.к. биссектриса EF делит DEK пополам. Рассмотрим DEF и KEF. В них: 1)DE=EK( по условию); 2) DEK= KEF, т.к. EF-биссектриса; 3)EF-общая.

39. Значит, DEF= KEF( по двум сторонам и углу между ними –I признак равенства треугольников). Из того , что DEF= KEF, следует: DF=FK и DFE= KFE-как соответственные стороны и углы равных треугольников.

40. DF=FK EF-медиана DEK. KF= DK= *16=8(см). DFE= KFE и DFE и KFE- смежные углы DFE= KFE=90°, т.е. EF- высота DEK. Ответ:KF=8 см, DEK=86 °, EFD=90 °.

41. Задача. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведена медиана BD. На сторонах АВ и СВ отмечены соответственно точки E и F ,так что АЕ=CF. Доказать , что: а) BDE= BDF; б) FDE= CDF. • Дано: АВС,АВ=ВС, ВD-медиана, E AB, F CB,AE=CF. • Доказать: а) BDE= BDF; б) ADE= CDF.

42. Доказательство: а) Рассмотрим BDE и BDF. В них: 1)BD- общая; 2) EBD= FBD, т.к. медиана, BD, проведенная к основанию АС, является биссектрисой и делит угол пополам; 3)EB=BF, т.к. ЕВ=АВ-АЕ, BF= BC-CF; АВ=ВС, АЕ=CF ( по условию); Значит, BDE= BDF( по двум сторонам и углу между ними –I признак равенства треугольников);

43. б)Рассмотрим AEF и CFD. В них: 1)АЕ=CF( по условию); 2) А= С-углы при основании АС в АВС; 3)АD=DC, т.к BD- медиана. Значит, AKD= CFD( по двум сторонам и углу между ними – I признак равенства треугольников).

44. Задача. Равнобедренные треугольники ADC и CBD имеют общее основание DС. Прямая АВ пересекает отрезок CD в точке О. Доказать, что: а) ADB= ACB; б) DO=OC; • Дано: ADC и CBD- равнобедренные, DC- общее основание, АВ CD=O. • Доказать: а) ADB= ACB; б)DO=OC

45. Доказательство: а)рассмотрим ADB и АСВ. В них: 1)АD=AC, т.к ADC-равнобедренный; 2)BD=BC,т.к. CBD- равнобедренный; 3)АВ- общая. Значит, ADB= ACB ( по трем сторонам - III признак равенства треугольников). Из того, что ADB= АСВ,следует: ADB= АСВ как соответственные углы равных треугольников.

46. б) Из того, что ADB= АСВ следует, DAB= CAB и DBA= CBA( как соответственные углы равных треугольников); DAB= CAB AB-биссектриса A в ADC; DBA= CBA BA-биссектриса B в CBD, а биссектриса, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, является медианой и высотой. АВ-медиана, т.е. DO=OC.

47. Задача. Отрезок МК –диаметр окружности с центром О, а МР и РК - равные хорды этой окружности. Найдите РОМ. • Дано: окружность, О- центр , МК-диаметр, МР=РК- хорды • Найти: РОМ

48. Решение: МРК- равнобедренный, т.к. МР=РК , РО- медиана МРК, т.к. МО= ОК= МК , а медиана, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, является высотой и биссектрисой

49. РО- высота, т.е РОМ=90°. Ответ: РОМ=90°.

50. Задача . В равнобедренном треугольнике основание больше боковой стороны на 2 см, но меньше суммы боковых сторон на 3 см.Найдите стороны треугольника. • Дано: АВС, АВ=ВС, АС больше АВ на 2 см, АС меньше 2АВ на 3 см • Найти : АВ, ВС, АС