STATISTIC Ă ECONOMICĂ

1. STATISTICĂ ECONOMICĂ MODULUL 2 – DISTRIBUŢII STATISTICE

2. TEMA 5 DISTRIBUŢII DISCRETE

3. Obiective • Cunoaşterea principalelor concepte de teoria distribuţiilor statistice • Analiza principalelor distribuţii de probabilitate discrete • Aplicaţii rezolvate • Aplicaţii propuse

4. Cuprins 5.1 Variabile aleatoare discrete 5.2Distribuţia de probabilitate a unei variabile aleatoare discrete 5.3Măsurile numerice ale unei variabile aleatoare discrete 5.4 Distribuţia binomială 5.5 Distribuţia binomială negativă 5.6 Distribuţia geometrică 5.7 Distribuţia hipergeometrică 5.8 Distribuţia Poisson 5.9 Concepte cheie 5.10 Aplicaţii rezolvate 5.11 Aplicaţii propuse

5. 5.1 Variabile aleatoare discrete (1) • Atunci când efectuăm un experiment, ne interesează evenimente pe care le cuantificăm prin valori numerice, adică realizăm experimentul şi înregistrăm valorile numerice ale uneia sau mai multor variabile statistice • Dacă repetăm experimentul aleator de n ori, şi “numărăm” evenimentele apărute pentru o anumită variabilă statistică, obţinem o mulţime de date cantitative discrete, iar variabila statistică va fi o variabilă aleatoare.

6. 5.1 Variabile aleatoare discrete (2) En: random variable • Dacă valorile variabilei sunt din mulţimea numerelor naturale N= {0, 1, 2,…, n,…} sau altă mulţime “numărabilă”, atunci variabila aleatoare va fi discretă Definiţia 5.1: Ovariabilă aleatoareeste o funcţie cu valori numerice, definită pe un spaţiu de eşantionare

7. 5.1 Variabile aleatoare discrete (3) En: discrete random variable • Numărul x de produse defective într-un eşantion de n produse, extras dintr-un lot de m produse (n ≤ m), în care x = 0,1,2,...,neste un exemplu de variabilă aleatoare discretă Definiţia 5.2: Ovariabilă aleatoare discretăeste o variabilă aleatoare care ia valori într-o mulţime numărabilă

8. 5.2Distribuţia de probabilitate a unei variabile aleatoare discrete(1) • Deoarece valorile pe care le poate lua o variabilă aleatoare x sunt numerice, vom putea să calculăm probabilităţile acestora En: probability distribution Definiţia 5.3:Distribuţia de probabilitate pentru o variabilă aleatoare discretăxeste un tabel, un grafic sau o formulă care ne furnizează probabilitatea p(x) asociată fiecărei valori a lui x.

9. 5.2Distribuţia de probabilitate a unei variabile aleatoare discrete(2) Exemplul 5.1 Se consideră experimentul aruncării a două monede, înregistrându-se numărul de coroane “C”. Să se determine distribuţia de probabilitate a acestei variabile aleatoare discrete. Rezolvare: Notăm cu x apariţia “coroanei“ sau a “C” pe o faţă a monedei. Aruncarea celor două monede va conduce la apariţia unui rezultat de forma R1R2, unde Descrierea experimentului este redată în tabelul următor.

10. 5.2Distribuţia de probabilitate a unei variabile aleatoare discrete(3) • Probabilitatea ca x să ia valoarea 0 este: • Evenimentul x = 1 conţine pe E2 şi E3. Avem

11. 5.2Distribuţia de probabilitate a unei variabile aleatoare discrete(4) • Probabilitatea ca x să ia valoarea 2 este: • Distribuţia de probabilitate p(x)este redată într-o formă tabelară în tabelul următor şi într-o formă grafică, printr-o histogramă, în Figura 5.1

12. 5.2Distribuţia de probabilitate a unei variabile aleatoare discrete(5) Figura 5.1 – Distribuţia de probabilitate a variabilei aleatoare discrete din Exemplul 5.1

13. 5.2Distribuţia de probabilitate a unei variabile aleatoare discrete(6) • Distribuţia de probabilitate a unei variabile aleatoare discrete x trebuie să satisfacă următoarele cerinţe: [1]Probabilitatea fiecărei valori a lui x trebuie să fie cuprinsă între 0 şi 1, adică [2] Suma probabilităţilor pentru toate valorile lui x trebuie să fie 1, adică:

14. 5.2Distribuţia de probabilitate a unei variabile aleatoare discrete(7) Exemplul 5.2 Se consideră experimentul aruncării unui zar, înregistrându-se valoarea numerică a feţei apărute. Să se determine distribuţia de probabilitate a acestei variabile aleatoare discrete. Rezolvare: Distribuţia de probabilitate p(x)este redată în tabelul următor şi în Figura 5.2

15. 5.2Distribuţia de probabilitate a unei variabile aleatoare discrete(8) Figura 5.2 – Distribuţia de probabilitate a variabilei aleatoare discrete din Exemplul 5.2

16. 5.2Distribuţia de probabilitate a unei variabile aleatoare discrete(7) • Fie distribuţia de probabilitate a unei variabile aleatoare discrete x, x= 0,1,2,...,m şi p(0), p(1),..., p(m) probabilităţile corespunzătoare. • Atunci funcţia p(x) este: şi se numeşte distribuţie de probabilitate sau funcţie de probabilitate de masă

17. 5.2Distribuţia de probabilitate a unei variabile aleatoare discrete(8) • Graficul distribuţiei de probabilitate discrete sau funcţiei de probabilitate de masă se obţine din reprezentarea valorilor x şi p(x). • Reprezentarea grafică a distribuţiei de probabilitate sau funcţiei de probabilitate de masă sub forma unei histograme este redată în Figura 5.3.

18. 5.2Distribuţia de probabilitate a unei variabile aleatoare discrete(8) Figura 5.3 – Graficul distribuţiei de probabilitate pentru o variabilă aleatoare discretă

19. 5.2Distribuţia de probabilitate a unei variabile aleatoare discrete(9) • Funcţia se numeşte distribuţie de probabilitate cumulativă sau funcţie de repartiţie • Conform relaţiei de complementaritate:

20. 5.2Distribuţia de probabilitate a unei variabile aleatoare discrete(10) • Graficul distribuţiei de probabilitate cumulative discrete sau a funcţiei de repartiţie se obţine din reprezentarea valorilor x şi a valorilor cumulate ale p(x). • Graficul distribuţiei de probabilitate cumulative sau funcţiei de repartiţie, reprezentat sub forma unui grafic în scară (discontinuu), este redat în Figura 5.4.

21. 5.2Distribuţia de probabilitate a unei variabile aleatoare discrete(11) Figura 5.4 – Graficul distribuţiei de probabilitate cumulative pentru o variabilă aleatoare discretă

22. 5.2Distribuţia de probabilitate a unei variabile aleatoare discrete(12) Exemplul 5.3 Pentru Exemplul 5.2, să se determine, cu ajutorul relaţiilor anterioare, probabilităţile: (a) Prob {x≤ 3}; (b)Prob {x> 3}. Rezolvare: (a) (b)

23. 5.2Distribuţia de probabilitate a unei variabile aleatoare discrete(13) • Distribuţia de probabilitate a unei variabile aleatoare discrete x furnizează un model pentru populaţia de valori a lui x şi pentru distribuţia frecvenţei relative a populaţiei descrisă de variabila aleatoare x • Vom putea descrie atunci distribuţia de probabilitate a unei variabile aleatoare discrete x prin măsuri numerice, cum sunt media, dispersia sau abaterea standard

24. 5.3Măsurile numerice ale unei variabile aleatoare discrete(1) Definiţia 5.4: Fie x o variabilă aleatoare discretă cu distribuţia de probabilitate p(x).Valoarea medie(sauvaloarea aşteptată) a lui x este, prin definiţie, • En: (Population)Expected value, Mean • Valoarea medie este de fapt media ponderată a valorilor lui x, ponderile fiind probabilităţile corespunzătoare

25. 5.3Măsurile numerice ale unei variabile aleatoare discrete(2) Definiţia 5.5: Fie x o variabilă aleatoare discretă cu distribuţia de probabilitate p(x).Dispersia(sauvarianţa) lui x este, prin definiţie, sau En: (Population)Variance

26. 5.3Măsurile numerice ale unei variabile aleatoare discrete(3) Definiţia 5.6: Fie x o variabilă aleatoare discretă cu distribuţia de probabilitate p(x). Abaterea standard a lui x este, prin definiţie, rădăcina pătrată a dispersiei, adică En: (Population)Standard deviation

27. 5.3Măsurile numerice ale unei variabile aleatoare discrete(4) Exemplul 5.4Să se determine (a) valoarea medie, (b) dispersia şi (c) abaterea standard a variabilei aleatoare discrete din Exemplul 5.2 Rezolvare: (a) Valoarea medie este:

28. 5.3Măsurile numerice ale unei variabile aleatoare discrete(5) (b) Dispersia este: (c) Abaterea standard rezultă:

29. 5.3Măsurile numerice ale unei variabile aleatoare discrete(5) Propoziţia 5.1: Fie x o variabilă aleatoare discretă cu distribuţia de probabilitate p(x) şi fieco constantă reală. Au loc următoarele proprietăţi ale valorii medii:

30. 5.3Măsurile numerice ale unei variabile aleatoare discrete(7) Propoziţia 5.2: Fie x o variabilă aleatoare discretă cu distribuţia de probabilitate p(x) şi fieco constantă reală. Au loc următoarele proprietăţi ale dispersiei:

31. 5.3Măsurile numerice ale unei variabile aleatoare discrete(8) Exemplul 5.5Relaţia de calcul a profitului este: Profit = (p – cv)  V – cf unde: • V = vânzările dintr-un anumit produs (buc.) • p = preţ de vânzare / unitatea de produs • cv = cheltuieli variabile / unitatea de produs • cf = cheltuieli fixe / perioadă Considerând p, cvşi cf constante, să se determine: (a) Valoarea medie a profitului; (b) Dispersia profitului.

32. 5.3Măsurile numerice ale unei variabile aleatoare discrete(9) Rezolvare: (a)Pentru valoarea medie avem: (b) Pentru dispersie obţinem succesiv:

33. 5.4 Distribuţia binomială (1) • Multe experimente reale sunt analoge experimentului aruncării monedelor • Sondajele opiniei publice sau ale preferinţelor consumatorilor, atunci când acestea sunt de tipul DA / NU, sunt similare experimentului aruncării unei monede • Acest tip de experimente sunt particularizări ale variabilelor aleatoare binomiale

34. 5.4 Distribuţia binomială (2) Caracteristici ce definesc o variabilă aleatoare binomială [1]Experimentul constă în n încercări identice [2] Sunt posibile numai două rezultate ale fiecărei încercări: • S – succes • F - insucces [3] Probabilitatea lui S este p şi rămâne aceeaşi la fiecare încercare. Probabilitatea lui F este q şi avem p + q = 1.

35. 5.4 Distribuţia binomială (3) Caracteristici ce definesc o variabilă aleatoare binomială (continuare) [4] Încercările sunt independente [5] Variabila aleatoare binomială x este numărul de succese (S) în n încercări. • Vom defini în continuare distribuţia de probabilitate binomială, precum şi media şi dispersia variabilei aleatoare binomiale

36. 5.4 Distribuţia binomială (4) Distribuţia de probabilitate a unei variabile aleatoare binomiale Distribuţia de probabilitatea pentru o variabilă aleatoare binomială x este unde: • p = probabilitatea de succes într-o singură încercare • q = 1 – p • n = numărul de încercări • x = numărul de succese S în n încercări

37. 5.4 Distribuţia binomială (5) Media şi dispersiaunei variabile aleatoare binomiale • Media pentru o variabilă aleatoare binomială x este • Dispersia pentru o variabilă aleatoare binomială x este

38. 5.4 Distribuţia binomială (6) Exemplul 5.5 Testele pentru calitatea apei potabile într-un anumit judeţ, au pus în evidenţă faptul că 30% din sursele individuale conţin o anumită substanţă A, care nu este bună pentru consum. Dacă este ales în mod aleator de 5 surse din judeţul respectiv, care este probabilitatea ca: (a) Exact 3 surse să conţină substanţa A; (b) Cel puţin 3 surse să conţină substanţa A; (c) Mai puţin de 3 surse să conţină substanţa A. Rezolvare: Să confirmăm mai întâi că avem un experiment binomial. Experimentul constă în n = 5 încercări, fiecare corespunzătoare unei surse alese în mod aleator.

39. 5.4 Distribuţia binomială (7) Rezultatele fiecărei încercări (en: trial) constau dintr-un succes S (sursa conţine substanţa A) sau dintr-un insucces F (sursa nu conţine A). Deoarece numărul de surse de apă individuale este relativ mare, probabilitatea alegerii unei surse care conţine substanţa A o considerăm egală cu 0,3 pentru toate cele 5 surse selectate aleator. Eşantionarea fiind aleatoare, încercările sunt independente. Ne interesează numărul x de surse care conţin substanţa A, dintr-un eşantion de n = 5. Suntem deci în condiţiile unui experiment binomial, cu n = 5 şi p = 0,3, q = 1 – 0,3 = 0,7.

40. 5.4 Distribuţia binomială (8) (a) Probabilitatea ca exact 3 surse să conţină substanţa A este: (b) Probabilitatea ca cel puţin 3 surse să conţină substanţa A este:

41. 5.4 Distribuţia binomială (9) (c) Probabilitatea ca mai puţin de 3 surse să conţină substanţa A este: Vom calcula această însă această probabilitate mai uşor cu ajutorul relaţiei de complementaritate:

42. 5.4 Distribuţia binomială (10) • Pentru calculul valorilor distribuţiei binomiale se poate folosi funcţia statistică din Excel BINOMDIST(x0;n;p;0/1) unde 0 sau FALSE se utilizează pentru calculul Prob{x= x0}, iar 1 sau TRUE pentru calculul sumei Prob{x≤x0}. • Avem, pentru Exemplul 5.5: BINOMDIST(3; 5; 0,3;0) = 0,1323 BINOMDIST(2; 5; 0,3; 1) = 0,83692

43. 5.4 Distribuţia binomială (11) • Pentru calculul valorilor distribuţiei binomiale se pot folosi tabelele din manualele de statistică, care conţin valorile • Cu ajutorul lor putem calcula şi valorile:

44. 5.4 Distribuţia binomială (12) Exemplul 5.6 Să se determine probabilităţile din Exemplul 5.5, utilizând tabelul distribuţiei binomiale pentru n = 5 de mai jos.

45. 5.4 Distribuţia binomială (13) Rezolvare: (a) Probabilitatea ca exact 3 surse să conţină substanţa A este: (b) Probabilitatea ca cel puţin 3 surse să conţină substanţa A este: (b) Probabilitatea ca mai puţinde 3 surse să conţină substanţa A este :

46. 5.4 Distribuţia binomială (14) Exemplul 5.7 (a) Să se determine media, dispersia şi abaterea standard pentru o variabilă aleatoare binomială cu n = 12 şi p = 0,6; (b) Să se construiască intervalul şi să se calculeze probabilitatea utilizând tabelul distribuţiei binomiale; (c) Să se reprezinte grafic distribuţia şi distribuţia cumulativă.

47. 5.4 Distribuţia binomială (15) Rezolvare: Avem n = 12,p = 0,6 şi q = 1 – 0,6 = 0,4 (a) Media, dispersia şi abaterea standard sunt: (b) Intervalul este:

48. 5.4 Distribuţia binomială (16) Rezolvare: Probabilitatea este: Pentru a determina probabilitatea, utilizăm tabelul distribuţiei binomiale cumulate cu n = 12 şi p = 0,6 redat în continuare. Obţinem:

49. 5.4 Distribuţia binomială (17)

50. 5.4 Distribuţia binomială (18) • Pentru a reprezenta grafic distribuţia binomială, utilizăm tabelul alăturat, obţinut din tabelul anterior, în care p(x) = F(x+1) – F(x) • Graficele rezultate sunt redate în Figura 5.5 şi Figura 5.6