Differenciál számítás

1. Differenciál számítás Definíció. Legyen , és . Az hányadost, ahol és , az f függvény pontjához tartozó differencia(különbségi) hányadosának nevezzük. Ha az pontban létezik a differenciahányados határértéke, akkor ezt az f függvény ponthoz tartozó differenciálhányadosának nevezzük.   Ha a fenti határérték létezik és véges akkor az f függvényt az pontban differenciálhatónak nevezzük.

2. Differenciál számítás Jelölés: Az f függvény pontbeli differenciálhányadosának jelölése: Definíció. Az f valós-valós függvény differenciálhányados függvénye, vagy derivált függvénye( röviden deriváltja ) az az -vel jelölt függvény, amelynekértelmezési tartománya D( f )-nek mindazon elemeiből áll, amely helyeken f differenciálható, és értéke egy ilyen x helyen f -nek az x helyhez tartozó differenciálhányadosa. Az -et így nevezhetjük az f függvény x helyen vett deriváltjának. Megjegyzés: A differenciálhányados definíciója átfogalmazható.   Legyen és . Ekkor , vagy általánosan

3. Differenciál számítás Tétel. Legyen . Ha f differenciálható helyen, akkor f folytonos -ban. Bizonyítás: előadáson. Megjegyzés: A tétel megfordítása nem igaz. (Úgy is fogalmazhatunk, hogy a differenciálhatóság kikötése erősebb, mint a folytonosság.) Ennek belátásához tekintsük az függvényt. Ez, mint tudjuk, az értelmezési tartománya minden pontjában folytonos. Állítás. az pontban nem differenciálható. Bizonyítás: előadáson.

4. Differenciál számítás Definíció: Ha az f függvény differenciálható az pontban, akkor az kifejezést az f függvény pontbeli differenciáljának nevezzük. Jelölés: Tétel:1./ , , deriváltja . 2./ , deriváltja . 3./ , , deriváltja . 4./ , R \ {0 } , deriváltja . Bizonyítás: előadáson.

5. Deriválási szabályok Tétel. Legyen , , , és Ha f differenciálható az pontban, és g differenciálható az pontban, akkor is differenciálható az pontban, és 1./ 2./ 3./ 4./ , ha a fenti feltételek mellett még teljesül, hogy 5./ , az előbbi feltétel mellett. Bizonyítás: előadáson.

6. Összetett függvény deriválása Tétel. Legyen g differenciálható az pontban, és f differenciálható a pontban, akkor is differenciálható az pontban, és Bizonyítás: előadáson. Példa: Határozzuk meg a következő függvények deriváltját! 1./ 2./ 3./ 4./ 5./

7. Elemi függvények deriválása Definíció. Legyen . Ha az f függvény előállítható az x, exp és sinfüggvényekből a következő műveletek véges sokszor történő alkalmazásával, akkor f-et elemi függvénynek nevezzük. 1./ Állandóval való szorzás 2./ Összeadás, szorzás 3./ Reciprokképzés 4./ Nyílt halmazra való leszűkítés 5./ Olyan, intervallumra vonatkozó leszűkítés invertálása, ahol a derivált függvény nem veszi fel a 0 értéket. 6./ Kompozíció.

8. Elemi függvények deriválása Trigonometrikus függvények deriválása Tétel. Bizonyítás: előadáson. Példa: Határozzuk meg a következő függvények deriváltját! 1./ 2./

9. Elemi függvények deriválása Exponenciális függvények deriválása Tétel. Speciális eset: Bizonyítás: előadáson Implicit alakban adott függvények deriválása: (példákon keresztül) Példa: Határozzuk meg az alábbi implicit alakban adott függvények x változó szerinti első deriváltját! 1./ 2./

10. Elemi függvények inverzeinek deriválása Arkuszfüggvények deriválása: Tétel. Bizonyítás: előadáson Logaritmikus deriválás : típusú függvények deriválása és a deriválás elvégezhető, vagy és implicit alakban adott függvényként deriváljuk.

11. Logaritmikus deriválás Példa: Határozzuk meg az alábbi függvények x változó szerinti első deriváltját! 1./ 2./ 3./ Tétel: Hatetszőleges valós szám és , akkor Bizonyítás: előadáson.