Авторы: Равичев Л.В., Ломакина И.А. Кафедра менеджмента и маркетинга РХТУ им. Д.И.Менделеева. Москва - 200 7

1. СТАТИСТИКА. Аналитическая статистика. Лекция 1. Теоретические распределения в анализе вариационных рядов. Авторы: Равичев Л.В., Ломакина И.А. Кафедра менеджмента и маркетинга РХТУ им. Д.И.Менделеева. Москва - 2007

2. W Y Процесс, явление. X U Общие сведения о математическом моделировании Различают два вида зависимостей между явлениями и процес-сами: функциональную и стохастическую (вероятностную, статистическую). 2

3. Для аппроксимации (выравнивания) эмпирических кривых распреде-ления и сопоставления их с теоретическими в статистике часто ис-пользуются нормальное распределение: где (t)– ордината кривой нормального распределения; t = (x-x )/ - стандартное отклонение; x– варианты ряда; x – средняя величина вариант;  - стандарт. Моделирование рядов распределения Если имеется эмпирический ряд распределения, то необходимо найти функцию распределения, т.е. подобрать такую теоретическую кривую распределения, которая наиболее полно отображала бы закономер-ность распределения. Нахождение функции кривой распределения на-зывается моделированием эмпирического ряда распределения. 3

4. P(x) =0,5 В статистике часто используют функцию плотности распределения: =1,0 =2,0 x x Моделирование рядов распределения • Основные свойства кривой нормального распределения: • (t) - функция нормального распределения – четная, т.е. (-t)= (+t); •  функция имеет бесконечно малые значения при t = ; •  функция имеет максимум при t = 0; •  при t = 1 функция имеет точки перегиба; •  функция имеет бесконечно малые значения при t = . 4

5. Моделирование рядов распределения Связь между теоретической нормированной функцией нормального распределения и теоретической денормированной функцией нормального распределения для интервального вариационного ряда определяется соот-ношением: где А– коэффициент нормировки, который для распределения с равными интервалами x=k рассчитывается с помощью соотношения: fi - частота i-го интервала ряда. 5

6. Группы ткачих по степени выполнения норм, % х Число ткачих f Середина интервала х’ 1. Находим среднее значение выполнения норм по формуле: До 100 2 95 100-110 15 105 110-120 20 115 2. Находим взвешенное квадратическое отклонение (стандарт) по формуле: 120-130 32 125 130-140 18 135 140-150 9 145 Свыше 150 4 155 Итого 100 - Среднее значение выполнения норм x=124,20%, Стандарт = 13,69%. Расчет теоретических частот нормального распределения Пример. В приведенной таблице показано распределение ткачих по степени выполнения норм выработки. Исходя из предположения о нормальном законе распределения определить теоретические частоты. 6

7. Группы ткачих по степени выполнения норм, % х t2 Число ткачих f Середина интервала x’ t=(x’-x)/ Теоретические частоты m(t) fm (t) 4,551 -2,133 До 100 2,99 95 3 0,04099 2 15 100-110 -1,403 0,14916 11 105 1,968 10,90 0,31828 -0,672 23,25 20 115 23 0,452 110-120 120-130 125 32 0,058 0,003 0,39826 29 29,10 135 130-140 0,789 18 0,623 21,35 21 0,29223 9 0,12574 1,520 9,19 2,309 145 140-150 9 2,250 2 155 2,32 0,03173 5,063 Свыше 150 4 99 Итого - 100 99,10 - - - Расчет теоретических частот нормального распределения 3. Находим значения параметра t. 4. Находим значения параметра t2. 5. Находим значения теоретической нормированной функции (t). 6. Находим значение коэффициента А. 7. Находим теоретические частоты m(t) и fm. 7

8. Расчет теоретических частот нормального распределения 8

9. Сотые доли t Целые и десятые доли t 0 1 2 3 3    8 9 0,0 0,3989 0,3989 0,3989 0,3988 0,3988    0,3977 0,3973 0,1 0,3970 0,3965 0,3961 0,3956 0,3956    0,3925 0,3918                            0,0413 2,1 0,0440 0,0431 0,0422 0,0413    0,0371 0,0363 2,1 0,0440 0,0422 0,0413 0,0431    0,0371 0,0363                            5,0 0,0000015 - - - - - - - Расчет значений t может быть произведен с помощью стандартной функ-ции Excel НОРМАЛИЗАЦИЯ. НОРМАЛИЗАЦИЯ(Х’;X;) НОРМАЛИЗАЦИЯ(95;124,20;13,69) -2,133263057 Методы расчета значений теоретической нормированной функции (t) 1. С помощью таблицы значений нормированной функции: 9

10. НОРМРАСП(Х’;X;;I). При I=1функция НОРМРАСП возвращает интегральную функциюрас-пределения (F(x)); если I=0, то возвращается функция плотности распре-деления (P(x)). НОРМРАСП(95;124,20;13,69;0)* 13,69 0,041021332 Методы расчета значений теоретической нормированной функции (t) 2. С помощью стандартной функции Excel НОРМРАСП. Для получения значений теоретической нормированной функции (t)не-обходимо домножить возвращаемое значение функции НОРМРАСП на . 10

11. Критерий согласия Пирсона Критерий согласия Пирсона: Для найденного значения критерия согласия Пирсона и числа степеней свободы =n-1 определяется соответствующая вероятность P(2). При P(2)>0,5 считается, что эмпирическое и теоретическое распределе-ния близки, при P(2)[0,2;0,5] совпадение удовлетворительное, в осталь-ных случаях – недостаточное. 11

12. 1. С помощью таблиц распределения Пирсона (2): Число степеней свободы Вероятность P(2). 0,999 0,995    0,70 0,50    0,001 1 0,05157 0,04393    0,148 0,455    10,827 0,676    2 0,00200 0,0100    0,713 1,386    13,815                               5,348 3,828 6 0,381 3,828 5,348    22,457 6                   30 11,588 13,787    25,508 29,336    59,703 Для приведенного примера: 0,70 0,50 =7-1=6; 2 =4,37; Р(2) находится в диапазоне от 0,5 до 0,7. Критерий согласия Пирсона Способы нахождения вероятности P(2). В линейном приближении Р(2)=0,628. 12

13. ХИ2ТЕСТ(f;fm). Функция ХИ2ТЕСТ в качестве промежуточного действия вычисляет 2 и возвращает вероятность P(2). Критерий согласия Пирсона 2. С помощью стандартной функции Excel ХИ2ТЕСТ. 13

14. Критерий согласия Пирсона Рассчитав значение P(2) можно получить значение критерия Пирсона с помощью стандартной функции Excel ХИ2ОБР. ХИ2ОБР(P(2); ). Функция ХИ2ОБР возвращает значение 2. 14

15. Р()1 Теоретические частоты fm Эмпиричес-кие частоты f Накопленные эмпирические частоты S1 Накопленные теоретические частоты S2 Отклонение |S1-S2| 2 3 2 3 1 15 11 3 17 14 3 20 23 37 37 0 32 29 69 66 3 3 21 18 87 87 0 9 9 96 96 0 2 4 100 98 2 Критерий согласия Колмогорова Критерий согласия Колмогорова: где D – максимальное значение разности между накопленными эмпири-ческими и теоретическими частотами. 15

16. Критерий согласия Романовского Критерий согласия Романовского: где 2 – критерий Пирсона,  - число степеней свободы (=n-3). При С<3 различие несущественно, что позволяет считать эмпирическое распределение близким к нормальному. 16