Proč se tupý úhel rovná úhlu tupému

1. Proč se tupý úhel rovná úhlu tupému Petr Navrátil prezentace pro ESPG

2. Obsah • Věta • Důkaz • Diskuze

3. Věta „Velikost libovolného tupého úhlu je rovna velikosti pravého úhlu“

4. Důkaz • Provede se konstruktivně, tzn. je třeba počítat se všemi možnostmi, jak úloha může vypadat

5. Konstrukce důkazu Buď dána rovina ρ

6. rovina ρ

7. Konstrukce důkazu Buď dána rovina ρ, dále: 1. Zkonstruuji přímku p

8. přímka p

9. Konstrukce důkazu Buď dána rovina ρ, dále: 1. Zkonstruuji přímku p 2.Bod A náležící přímce p

10. bod A

11. Konstrukce důkazu Buď dána rovina ρ, dále: 1. Zkonstruuji přímku p 2. Bod A náležící přímce p 3.Bod B náležící přímce p

12. bod B

13. Konstrukce důkazu Buď dána rovina ρ, dále: 1. Zkonstruuji přímku p 2. Bod A náležící přímce p 3. Bod B náležící přímce p 4.∡BAC’, jehož velikost je 90°

14. ∡BAC’

15. Konstrukce důkazu Buď dána rovina ρ, dále: 1. Zkonstruuji přímku p 2. Bod A náležící přímce p 3. Bod B náležící přímce p 4. ∡BAC’, jehož velikost je 90° 5.∡ABD’, jehož velikost je větší než 90°

16. ∡ABD’

17. Konstrukce důkazu Buď dána rovina ρ, dále: 1. Zkonstruuji přímku p 2. Bod A náležící přímce p 3. Bod B náležící přímce p 4. ∡BAC’, jehož velikost je 90° 5. ∡ABD’, jehož velikost je větší než 90° 6.ÚsečkaAC tak, že |AC| = d

18. úsečka AC

19. Konstrukce důkazu Buď dána rovina ρ, dále: 2. Bod A náležící přímce p 3. Bod B náležící přímce p 4. ∡BAC’, jehož velikost je 90° 5. ∡ABD’, jehož velikost je větší než 90° 6. ÚsečkaAC tak, že |AC| = d 7.Úsečka BD tak, že |BD| = d

20. úsečka BD

21. Konstrukce důkazu Buď dána rovina ρ, dále: 3. Bod B náležící přímce p 4. ∡BAC’, jehož velikost je 90° 5. ∡ABD’, jehož velikost je větší než 90° 6. ÚsečkaAC tak, že |AC| = d 7. Úsečka BD tak, že |BD| = d 8. Úsečka CD

22. úsečka CD

23. Konstrukce důkazu Buď dána rovina ρ, dále: 4. ∡BAC’, jehož velikost je 90° 5. ∡ABD’, jehož velikost je větší než 90° 6. ÚsečkaAC tak, že |AC| = d 7. Úsečka BD tak, že |BD| = d 8. Úsečka CD 9. Čtyřúhelník ABCD

24. čtyřúhelník ABCD

25. Konstrukce důkazu Buď dána rovina ρ, dále: 5. ∡ABD’, jehož velikost je větší než 90° 6. ÚsečkaAC tak, že |AC| = d 7. Úsečka BD tak, že |BD| = d 8. Úsečka CD 9. Čtyřúhelník ABCD 10. Osa úsečky AB

26. Konstrukce důkazu Buď dána rovina ρ, dále: 6. ÚsečkaAC tak, že |AC| = d 7. Úsečka BD tak, že |BD| = d 8. Úsečka CD 9. Čtyřúhelník ABCD 10. Osa úsečky AB 11. Osa úsečky CD

27. Konstrukce důkazu Buď dána rovina ρ, dále: 7. Úsečka BD tak, že |BD| = d 8. Úsečka CD 9. Čtyřúhelník ABCD 10. Osa úsečky AB 11. Osa úsečky CD 12. Bod S, průnik osy úsečky AB a osy úsečky CD

28. Důkaz Nyní mohou nastat tři případy: • bod S bude ležet uvnitř čtyřúhelníka ABCD

29. 1. případ

30. Důkaz Nyní mohou nastat tři případy: • bod S bude ležet uvnitř čtyřúhelníka ABCD • bod S bude náležet úsečce AB

31. 2. případ

32. Důkaz Nyní mohou nastat tři případy: • bod S bude ležet uvnitř čtyřúhelníka ABCD • bod S bude náležet úsečce AB • bod S bude náležet polorovině pod přímkou p

33. 3. případ

34. Důkaz Nechť nyní nastane případ: • bod S bude ležet uvnitř čtyřúhelníka ABCD • bod S bude náležet úsečce AB • bod S bude náležet polorovině pod přímkou p

35. Konstrukce prvního případu Buď dána rovina ρ, dále: 5. ∡ABD’, jehož velikost je větší než 90° 6. ÚsečkaAC tak, že |AC| = d 7. Úsečka BD tak, že |BD| = d 8. Úsečka CD 9. Čtyřúhelník ABCD 10. Osa úsečky AB

36. osa úsečky AB

37. Konstrukce prvního případu Buď dána rovina ρ, dále: 6. ÚsečkaAC tak, že |AC| = d 7. Úsečka BD tak, že |BD| = d 8. Úsečka CD 9. Čtyřúhelník ABCD 10. Osa úsečky AB 11. Osa úsečky CD

38. osa úsečky CD

39. Konstrukce prvního případu Buď dána rovina ρ, dále: 8. Úsečka CD 9. Čtyřúhelník ABCD 10. Osa úsečky AB 11. Osa úsečky CD 12.Bod S, průnik osy úsečky AB a osy úsečky CD

40. bod S

41. Konstrukce prvního případu Buď dána rovina ρ, dále: 9. Čtyřúhelník ABCD 10. Osa úsečky AB 11. Osa úsečky CD 12. Bod S, průnik osy úsečky AB a osy úsečky CD 13. Úsečka AS

42. úsečka AS

43. Konstrukce prvního případu Buď dána rovina ρ, dále: 10. Osa úsečky AB 11. Osa úsečky CD 12. Bod S, průnik osy úsečky AB a osy úsečky CD 13. Úsečka AS 14. Úsečka BS

44. úsečka BS

45. Konstrukce prvního případu Buď dána rovina ρ, dále: 11. Osa úsečky CD 12. Bod S, průnik osy úsečky AB a osy úsečky CD 13. Úsečka AS 14. Úsečka BS 15. Úsečka CS

46. úsečka CS

47. Konstrukce prvního případu Buď dána rovina ρ, dále: 12. Bod S, průnik osy úsečky AB a osy úsečky CD 13. Úsečka AS 14. Úsečka BS 15. Úsečka CS 16. Úsečka DS

48. úsečka DS

49. pro připomenutí Osa úsečky

50. osa úsečky