Métodos Numéricos para EDO’s

1. Métodos Numéricos para EDO’s

2. Métodos Numéricos para EDO’s • Esta parte compreende métodos que aproximam uma equação diferencial por uma equação de diferenças. • Uma equação de diferenças de ordem n é uma sequência de equações da forma gk(yk+n, yk+n-1, … yk) = 0 k= 0, 1, 2, … (9) yi= i i = 0, 1, 2, …, n-1 • Os gksão funções de n+1 variáveis e os valores i, i = 0(1)n-1, são específicos. Uma solução de tal equação é uma sequência {y0, y1, y2, y3, …, yn-1, yn} que satisfaz a (9).

3. Métodos Numéricos para EDO’s • Note que determinar numericamente uma solução de uma equação diferencial é encontrar os valores y1, y2, …, yn através de uma aproximação da equação de diferenças. • Essa aproximação introduz um erro de truncamento e um erro de arredondamento

4. Métodos Numéricos para EDO’s • Os métodos de passos simples necessitam apenas dos resultados de yk,do passo anterior, para determinar a aproximação de yk+1. • Os métodos de passos múltiplos servem para determinar a aproximação yk+1 a qual depende dos valores de yk, yk-1 . . .

5. Métodos de Euler • O método de Euler é um método mais simples que oferece solução para EDOs com condições iniciais. • A simplicidade do método serve ilustrar técnicas usadas em outros métodos. • Ele consiste em aproximar a solução y ( x ), no sentido de uma linearização, por meio de suas tangentes (vide próximo slide).

6. y = F(x) y2 y1 y0 x0 x1 x2 Métodos de Euler • Vamos resolver uma EDO de primeira ordem da forma y’(x) = f(x,y) sujeita à condição inicial y(x0) = y0 . • Suponha que y = F(x) e que a solução analítica seja a curva ilustrada abaixo.

7. y = F(x) y2 y1 y0 x0 x1 x2 Métodos de Euler • Para fazer uma estimativa de y1, vamos considerar que: (dy/dx)|(x0, y0) = f(x0,y0) • Disso resulta: (y - y0)/(x - x0) = f(x0,y0)

8. Q = (x1,y) y P1 = (x1,y1) y1 y0 x0 x1 Métodos de Euler • Considerando que se h = x1 - x0 tender a zero, teremos que a ordenada do ponto Q, y tende a y1 e daí: y = y0 + hf(x0,y0) ou y1y0 + hf(x0,y0) Generalizando, obtemos a seguinte equação de diferenças: yk+1= yk + hf(xk,yk) que é a expressão do Método de Euler.

9. Métodos de Euler (2) • Outra interpretação do método de Euler • Considere o problema • i.e., são dados um ponto de partida, (x0,y0), e uma direção a ser tomada, f (x, y ). • Desejamos determinar y (z ).

10. Interpretação geométrica do Método de Euler Figura 1 y y1 y ( x )  y0  x h x0 z = x1 Métodos de Euler (2) Considere a Figura 1. A interpretação geométrica da figura nos permite escrever a equação: F ’(x 0 ) = y’ (x0) = f (x0 , y 0) Fazendo x1 – x0 = h Obteremos y1 = y0 + h f (x0 , y 0) ou F(x 1) F(x0) + F ’(x0) (x1 – x0 ) (Taylor).

11. Interpretação geométrica do Método de Euler Figura 1 y y1 y ( x )  y0  x h x0 z = x1 Métodos de Euler (2) F(x 1) F(x 0) + F ’(x 0) (x1 – x0 ) (Taylor). Podemos dizer, portanto, que: y1F(x 1) = F( z ) Note que estamos substituindo a função desconhecida y( x ) por, simplesmente uma reta em todo intervalo [x0; z] e calculando a imagem de z sobre ela o que pode ser uma aproximação ruim para y( z ).

12. Método de Euler considerando dois subintervalos Figura 2 y y ( x ) y2 y1 y0 x h h z = x2 x0 x1 Métodos de Euler (2) • Todavia, note que podemos melhorar esta aproximação. Para isso, devemos subdividir o intervalo [x0; z] em subintervalos de amplitude constante, genericamente chamada de h. • Como sabemos calcular a direção da função incógnita y(x) em cada ponto, bastar substituir essa função por um segmento de reta, em cada um destes subintervalos. • Note que estes segmentos terão a direção que ela (função) tem no início de cada dos subintervalos, (veja Figura 2). • Assim, obtemos: • yi + 1 = yi + hf(xi, yi), i = 0, 1, 2, ... • que vem a ser o método de Euler.

13. Métodos de Euler (2)

14. Método Modificado de Euler • Um problema que ocorre no método “simples” de Euler é que ele pressupõe que a função que está sendo aproximada mantém, em todo intervalo, a direção que ela tem no extremo “de partida” dele. • O método modificado de Euler irá considerar também uma única direção para a função y ( x ), só que uma direção média entre aquela do “início” do intervalo e uma estimativa da direção no “final” dele. • Para tanto, em primeiro lugar, usando o método “simples” de Euler, fazemos uma previsão de yi + 1, chamada yi+1.

15. Método Modificado de Euler Dessa forma, Previsão :yi + 1 =yi + hf (xi , yi ). Com esta previsão, podemos obter o valor aproximado da direção da curva y(x) no ponto (xi + 1, yi + 1) através de f(xi + 1, y i + 1). Determina-se a chamada correção, Correção : yi + 1 = yi + h/2[f(xi, yi) + f(xi + 1, yi + 1)].

16. Interpretação geométrica do Método modificado de Euler Figura 3 y ( x ) y ( x1 ; y1 ) Direção média ( x1 ; y1 ) x h x1 x0 Método Modificado de Euler Correção : yi + 1 = yi + h/2[f(xi, yi) + f(xi + 1, yi + 1)] Esta expressão é conhecida como o método modificado de Euler. Uma interpretação geométrica deste método pode ser vista na Figura 3.

17. Método Modificado de Euler Exemplo - Encontrar a solução da equação diferencial ordinária y’ = f (x, y ) = 2x + 3 com a condição de valor inicial y ( 1) = 1. Dividindo o intervalo [1; 2 ] em apenas uma parte, i.e, fazendo h =1 e, aplicando o método de modificado de Euler, determine o valor aproximado de y(2) para a equação dada.

18. Método Modificado de Euler Solução Sabendo que a cada aproximação é necessário fazer um processo de previsão – correção e, considerando h =1, temos yi + 1 Previsão yi+1 = yi + hf(xi , yi ) no caso y1 = y0+ hf(x0, y0) y1 = 1 + 1f(1, 1) = 1 + 1 (2x1 + 3) = 6

19. Método Modificado de Euler Solução Correção yi+1 = yi + h/2[f(xi , yi ) + f(xi+1 , yi+1)] y1 = 1 + ½[f(1, 1) + f(2, 6)] y1 = 1 + 1/2[5 + 2x2+3] = 1 + 6 = 7.

20. Referências Ruggiero, M. A. G., Lopes, V. L. R., Cálculo Numérico – Aspectos Teóricos e Computacionais, Pearson/Markron Books, 2a. Edição, 1998. Cláudio, D. M. e Martins, J. M., Cálculo Numérico Computacional, Ed. Atlas, 1987. Barroso, L, Barroso, M.M.A., Campos Filho, F. F., Cálculo Numérico com Aplicações, Ed. Harbra, 1987.