点到直线的距离

点到直线的距离 惠安三中数学组柯碧雄

提问：什么是点到直线的距离？ • 点到直线的距离 • 是过已知点作直线的垂线则该点与垂足之间的线段长度就是已知点到已知直线的距离。 P 设d为点到直线的距离则d=IPMI d M L

问题一：已知点P（-1，2）和直线L：2x+y-10=0，求P点到直线L的距离。问题一：已知点P（-1，2）和直线L：2x+y-10=0，求P点到直线L的距离。 y L′ 先求出过P点和L 垂直的直线： Q L′：x-2y+5=0 P（-1，2） x 0 再求出L和L ′ 的交点Q Q（3，4） L：2x+y-10=0 利用两点间距离公式，得 ∴ |PQ|=

P P L L Q Q 问题二：已知：P（x。，y。）和直线L：Ax+By+C=0（P不在直线L上），试求P点到直线L的距离。分析：要求|PQ|的长度 y 思路一：利用两点的距离公式可以求|PQ|的长度。 ∵P点坐标已知，∴只要求出Q点坐标就可以了。又∵Q点是直线PQ和直线L的交点又∵直线L的方程已知 ∴只要求出直线PQ的方程就可以了 0 x 即：|PQ|  Q点坐标 直线PQ与直线L的交点 直线PQ的方程 直线PQ的斜率 直线L的斜率

P P L L Q Q O O 思路二：利用直角三角形也可以求|PQ|的长度。分析：现在最关键的是如何选取第三点M,以构成一个直角三角形 y x

M点为任意点，所以坐标不好求。 所以，|PM|、|MQ|均不好求。

M点在x轴上， 相对而言|PM|,|MQ|易求一些，但计算量依然较大；

PM//y轴似乎也不好求， ∠ MPQ= α 或 ∠ MPQ=180 ° -α 但角∠MPQ与直线L的倾斜角有关，因此可以利用三角函数关系来求： |PQ|=|PM|cos∠MPQ 又∵cos∠MPQ =|cos α| 再求|PM|

y y P P ( Q 2 Q ) 3 M M α o 2 ) α o 1 1 x x 问： ∠MPQ与倾斜角α有什么关系呢？ ) ) ∵α + ∠ 1=90 ° ∵ ∠ 1 =180 °-α ∴α + ∠ 2=90 ° 又∵ ∠1+ ∠ 2= 90 ° ∠ MPQ+ ∠3=90 ° 又∵ ∠MPQ+ ∠ 2=90 ° ∴ ∠ MPQ= α ∴∠ MPQ=180 ° -α

y P ( L Q M o α x 下面求M点的坐标。设M（x1，y1） ∵PM//y轴，∴ x1= x。 M点在直线L （Ax+By+C=0）上把M点坐标代入得：因此|PM|=|y0-y1| ∴ |PQ|=|PM|cos∠MPQ

y P y L Q P o Q x o x L 公式的完善 1.当A=0，即L⊥y轴时 2.当B=0，即L⊥x轴时公式成立公式成立 3.当P点在L上时，公式明显成立

公式结构特点 （1）分子是P点坐标（ , ）代入直线方程；（2）分母是直线未知数x、y系数平方和的算术根类似于勾股定理求斜边的长

练习反馈题 （1）P（—2，3）到直线y= —2的距离是________ （2）P（—1，1）到直线3x= 2的距离是_________ （3）P（2，—3）到直线x+2y+4= 0的距离是_______ （4）P（—1，1）到直线2x+y—10= 0的距离是______ （5）P（2，0）到直线y= 2x的距离是______ （1）、5 （2）、1 （3）、0 （4）、（5）、

小结 1、点到直线的距离公式及其推导； 2、利用公式求点到直线的距离。作业：A、B：P45 12、13 C： P48 12

y P L Q o x A=0：当A=0，即L⊥y轴时此时L：y= 又PQ//y轴

y P Q o x L B=0：当B=0，即L⊥x轴时此时L：x= 又PQ//x轴

点到直线的距离

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