第 4 章电路的暂态分析

第4章电路的暂态分析 4.1 电压、电流初始值和终止值的计算 4.2 一阶电路的零输入响应 4.3 一阶电路的零状态响应 4.4 阶跃函数和阶跃响应 4.5 RC电路对矩形脉冲的响应 4.6 一阶电路的全响应 4.7 一阶电路的三要素法 4.8 二阶电路的零输入响应

这一章主要讨论RC、RL、RLC电路的暂态分析，即一阶电路和这一章主要讨论RC、RL、RLC电路的暂态分析，即一阶电路和二阶电路分析。一阶电路：只含有一个动态元件的线性电路，用一阶线性、常系数微分方程来描述的电路。二阶电路：用二阶微分方程来描述的电路。在暂态分析中，要用第一章的内容，即电容电流为有限值时，则电容电压不能突变。电感电压为有限值时，电感电流不能突变。

4.1 电压、电流初始值和终止值的计算 i(0),u(0), du/dt(t=0),di/dt(t=0)

i和uR2跃变的原因是，电阻上的电压和电流之间的关系为i和uR2跃变的原因是，电阻上的电压和电流之间的关系为线性关系：u=i·R 而C： ; L: 综上所述：在换路的瞬间( t = 0),电容的电压和电感的电流都不能突变应保持原值，称为连续性原理（在ic有界，ul有界时）。在换路时：

例：求开关K闭合1、电流、电压的初始值及 2、t=∞的稳态值。已知：K闭合前电容、电感均无贮能。解：由已知条件可得： uc(0-)=0, i3(0-)=0

例2、求t=0，t=∞时各电压、电流。已知：电路原已稳定.例2、求t=0，t=∞时各电压、电流。已知：电路原已稳定. 解：t=0-时等效电路

4.2零输入响应（Zero input response） 零输入响应：电路在没有外加输入时的响应，仅由于非零初始状态所引起的响应。 4.2.1 RC电路的零输入响应（RC—Circuit Zero input response）假设电容器C在t=0时刻已充满电，且uc（0-）=Uo。即t=0时，K1开，K2闭。

这是一个带有初始条件的一阶线性齐次常微分方程。这是一个带有初始条件的一阶线性齐次常微分方程。由数学知识可知：该微分方程的解具有下列形式： uc = Aest S、A为待定常数将上式代入微分方程 RCSAest+Aest=0, Aest（RCS+1）=0 ∵Aest≠0 故有 S为特征方程根积分常数A，由初始条件来确定uc(0)=Aeo=Uo ∴A=Uo

固有频率

由以上可知：uc、uR、ic都是按同样的指数规律变化的，由以上可知：uc、uR、ic都是按同样的指数规律变化的，故在R>0时，uc、ic、uR均按指数规律不断衰减，最后到0。 t 0 τ 2τ 3τ 4τ 5τ………∞ uc Uo 0.368Uo 0.135Uo 0.05Uo 0.018Uo 0.007Uo……0 RC电路的零输入响应是电容电压的初始值U0和RC来确定。

4.2.2 RL电路的零输入响应 (RL—Circuit Zero—input Response)

令时间常数 (单位为s) t≥o; t≥o

零输入响应是由非零初状态产生的，它取决于电路的初零输入响应是由非零初状态产生的，它取决于电路的初始状态和电路的特性。

4.3零状态响应（Zero State Response） 零状态响应即零初始状态响应，这是在零初始状态下，在初始时刻仅由施加于电路的输入所产生的响应。显然，这一响应只与输入有关。（只讨论直流输入） uc（0）=0或 iL（0）=0时的响应 4.3.1 RC电路的零状态响应；解：由KCL：ic+iR=Is

齐次解（通解）+特解即：uc（t）=uch+ucp

输入为零时的解（齐次解）可设为: τ=RC （特解）即：ucp=K 代入微分方程得：K=RIs这是一种方法方法2：求特解可根据t→∞时电路的状态来定 ∵ uc（t）=ucp+uch t=∞时； uc（∞）=ucp（∞）+ 0 =IsR 故微分方程的完全解为： uc=úch+ucp uc（o）=A+RIs=o ∴A=-RIs

故有： t≥o 由此可知电容电压随时间变化的全貌，它从零值开始按指数规律上升趋向于稳态值RIs。 t≥O; t≥O;

t≥O 从分析过程中可以看出，在K打开的瞬间，电容器上的电压为0；但电流变化率最大在微分方程的完全解中的齐次解又称为固有响应，特解为强制响应。故：电路的完全响应为==固有响应分量+强制响应分量当R>0，输入为常数或为周期函数时：完全响应==暂态响应+稳态响应。

4.3.2 RL电路的零状态响应 （请同学们自己看）零状态响应小结： 1）一般形式 • 2）f（t）取决于uc（∞），iL（∞）和τ值 • 3）R>0时，响应，（固有+强制=暂态+稳态） • 4）输入增大K倍，响应增大K倍。

4.4 阶跃函数和阶跃响应(Step function and step Response) 4.4.1单位阶跃函数的意义

4.4.2 延时单位阶跃函数 有了阶跃函数的定义，我们可以把具有t=0时刻的开关变化电路改画成：

例：

4.4.3 单位阶跃响应 零状态电路对单位阶跃信号的响应称为单位阶跃响应，用S（t）表示。若设is（t）=Is·1（t）—表示信号在t≥O时刻加上。

则：可以写成：uc(t)=Is·S(t) 例题： • 已知：p(t)=Is{1(t)-1(t-to)}=p′(t)+p″(t) • 显见：p′(t)=Is·1(t); p″(t)=-Is·1(t-to)

4.5 RC电路对矩形脉冲的响应 根据输入矩形波的脉冲宽度tp和电路的时间常数 τ，分为RC微分电路和积分电路。 4.5.1 RC微分电路：（C上无贮能) 电路结构如图所示，构成微分电路的条件：

由电路可知： 我们需要：u1(t)≈uc(t) u1(t) = uc(t) + uR(t) 则要： uc(t) >> uR(t) 上式即满足即：要成立

∫i(t)·dt>>RC·i(t) ∵ τ<<tp ,即τ很小，RC很小。 故：满足. 若i(t)=Is, 则Istp>>Is·RC ∴ u1(t)≈uc(t) 即 uc(t)>>uR(t) 则有：成立,一般情况下作用：突出了输入信号变化的部分。

4.5.2 RC 积分电路

在零初始条件下： 要使：u2与u1成积分关系则有u1≈uR ,u1(t) = uc(t) + uR(t) 即：uR(t)>>uc(t) 只要RC有足够大上式即可满足。故有

4.6一阶电路的全响应 4.6.1 完全响应==零输入响应+零状态响应

此微分方程解为：uc(t)=uch(t)+ucp(t) 代入初始条件：A+IsR=Uo ∴ A=Uo-IsR 故可得： t≥0 当:Is=0时零输入当:Uo=0时零状态故上式可写成：

全响应==零输入+零状态 4.6.2 完全响应==固有响应+强制响应（有条件的相等）固有（暂态）+ 强制（稳态）

4.7一阶电路的三要素法 • 指数曲线由三个值所确定： • a.起点，即参考时间（t=0)的纵坐标f(0+)点。 • b.终点，即t=∞时指数曲线最终将趋近的值f(∞)点。 • c.由初始点到终点变化的快慢，即时间常数τ。

由零输入响应可得通式: 由零状态响应可知：由全响应可知（零输入+零状态）整理得：这就是三要素公式。 f=(0+)表示电压、电流的初始值。 f(∞)表示电压、电流的稳态值。 τ…表示时间常数=RoC或 R0----由动态元件看进去的代维南等效电路。

例1：已知uc(0)=0，求t≥0时的uc(t)=?

代入三要素公式 t≥0 例2、（微分方程、三要素法）

由KCL（节点a） 得：i1=4-iL代入下式得：特征方程： ∴S=-7

(iLp)K 代入微分方程，可知k=4 ∴ i(0)=A+4=0 ∴ A=-4故： t≥0 是一个零状态响应。下面用三要素求解：已知：iL(0)=0 iL(∞)=4A

第 4 章 电路的暂态分析