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------- 图形与变换

初中数学复习专题. ------- 图形与变换. 金华十八中 张庆民. 如图 1 ，在正方形 ABCD 中， E 是 AD 的中点， F 是 BA 延长线上一点， AF = AB ． （ 1 ）求证：△ ABE ≌△ ADF ．. 图 1. （ 2 ）阅读下面材料：. 图 2. 图 3. 图 4. 如图 2 ，把△ ABC 沿直线 BC 平行移动 线段 BC 的长度，可以变到△ ECD 的位置；. 如图 3 ，以 BC 为轴把△ ABC 翻折 180° ，可以变到△ DBC 的位置；.

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  1. 初中数学复习专题 -------图形与变换 金华十八中 张庆民

  2. 如图1，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是BA延长线上一点， AF= AB． （1）求证：△ABE≌△ADF． 图1

  3. （2）阅读下面材料： 图2 图3 图4 如图2，把△ABC沿直线BC平行移动线段BC的长度，可以变到△ECD的位置； 如图3，以BC为轴把△ABC翻折180°，可以变到△DBC的位置； 如图4，以点A为中心，把△ABC旋转180°，可以变到△AED的位置． 象这样，其中一个三角形是由另一个三角形按平行移动、翻折、旋转等方法变成的．这种只改变位置，不改变形状大小的图形变换，叫做三角形的全等变换． （3）回答下列问题： 在图1中，可以通过平行移动、翻折、旋转中的哪一种方法，使△ABE变到△ADF的位置？ 答：． ②指出图1中线段BE与DF之间的关系． 答：．

  4. 一、研究图形变换的意义 简单而言,图形的变换是研究几何问题的有效工具，引进变换能使图形动起来，有助于发现图形的几何性质。

  5. 二、变换的分类 1、全等变换：能够保持图形的形状和大小不变的变换就是全等变换。在全等变换中，原图形任何两点之间的距离，都等于新图形中两对应点之间的距离，所以又称为保距变换。 2、相似变换：能够保持图形的形状不变，而只改变图形大小的变换就是相似变换。在相似变换中，原图形中所有角的大小都保持不变，所以又称为保角变换。

  6. (一)、全等变换： 1、平移变换 ：如果原图形中任意一个点到新图形中相对应点的连线，方向相同，长度相等，这样的全等变换称为平移变换，简称平移。 课标要求: ①通过具体实例认识平移，探索它的基本性质，理解对 应点连线平行且相等的性质。 ②能按要求作出简单平面图形平移后的图形。 ③利用平移进行图案设计，认识和欣赏平移在现实生活中的应用。

  7. 例1：如图，在下面的四幅图案中，哪个图案可以通过平移图案(1)得到？例1：如图，在下面的四幅图案中，哪个图案可以通过平移图案(1)得到？

  8. 　例2 如下图，皮皮和毛毛玩一种游戏，他们要将图甲和图乙中的三角形通过水平或竖直平移的方法得到图丙，平移过程中，每次水平或竖直平移一个格，先拼完的为胜；皮皮选择了图甲，毛毛选择了图乙，那么____将获胜.

  9. 例3: 如图，把直角梯形ABCD沿AD方向平移到梯形EFGH，HG=24，WG=8，CW=6，求阴影部分面积.

  10. 例4：四个矩形的水平方向的边长均为a，竖直方向的边长均为b ，在图（1）中将线段向右平移1个单位长度到DB，得到封闭的图形ACBD（阴影部分），在图（2）中，折线ACB向右平移1个单位到DFE，得到封闭图形ACBEFD(阴影部分)1、在图（3）中请类似的画出一条有两个折点的折线，同时向右平移1个单位长度，得到一个封闭图形，并用斜线画出阴影；2、请分别写出上述三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积3、如图(4),在矩形草地上有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽度都是1个单位长度），请你猜想空白部分表示的草地面积是多少？并说明理由。

  11. 2、旋转变换：如果新图形中的每个点都是由原图形中的一个点绕着一个固定点（叫做旋转中心）转动相等角度得到的，这样的全等变换称为旋转变换，简称旋转。 课标要求: ①通过具体实例认识旋转，探索它的基本性质，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质。 ②了解平行四边形、圆是中心对称图形。 ③能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形。 ④欣赏旋转在现实生活中的应用。 ⑤探索图形之间的变换关系（轴对称、平移、旋转及其组合）。⑥灵活运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计。

  12. 例5:请选择一个与众不同的图形.

  13. 例6:下列图形可看作旋转变换得来的有 例7:如图，D是等腰Rt△ABC内一点，BC是斜边.如果将△ABD绕A点逆时针旋转到△ACE的位置，则∠DAE的度数是()

  14. 例8 : 用两个全等的等边三角形△ABC和△ACD拼成菱形ABCD.把一个含60°角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的60°角的顶点与点A重合，两边分别与AB、AC重合.将三角尺绕点A逆时针方向旋转. (1)当三角尺的两边分别与菱形两边BC、CD相交于点E、F时(如图⑴)，通过观察或测量BE、CF的长度，你能得出什么结论？并证明你的结论； (2)当三角尺的两边分别与菱形两边BC、CD的延长线相交于点E、F时(如图⑵)，你在(1)中的结论还成立吗？简要说明理由. 　⑴　　　　　　　　　　　⑵

  15. 3、轴对称变换：如果连接新图形与原图形中每一组对应点的线段都和同一条直线垂直且被该直线平分，这样的全等变换称为轴对称变换， 课标要求: ①通过具体实例认识轴对称，探索它的基本性质，理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分的性质。 ②能够按要求作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形；探索简单图形之间的轴对称关系，并能指出对称轴③探索基本图形（等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、圆）的轴对称性及其相关性质。 ④欣赏现实生活中的轴对称图形，结合现实生活中典型实例了解并欣赏物体的镜面对称，能利用轴对称进行图案设计。

  16. 一．折叠后求度数 例9： 如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，把△ADE沿DE翻折，当点A落在四边形BCED内部变为A′时，则∠A′与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找出这规律.

  17. M D A P Q C B N 例10： 如图，已知正方形纸片ABCD，M，N分别是AD、BC的中点，把BC边向上翻折，使点C恰好落在MN上的P点处，BQ为折痕，则∠PBQ＝度.

  18. 二．折叠后求长度 例11. 如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD折叠，使C点与A点重合，则折痕EF的长是（ ）

  19. 例12 如下图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC ， , 翻折梯形ABCD，使点B重合与点D，折痕分别交边AB、BC于点F、E.若AD=2，BC=8， 求：（1）BE的长； （2） 的正切值. .

  20. 例13: 将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与BC边交于点G． （1）如果M为CD边的中点，求证：DE：DM：EM=3：4：5； （2）如果M为CD边上的任意一点，设AB=2a，问△CMG的周长是否与点M的位置有关？若有关，请把△CMG的周长用含DM的长x的代数式表示；若无关，请说明理由.

  21. 三．折叠后求面积 例14：在矩形纸片ABCD中，AB=3 ，BC=6，沿EF折叠后，点C落在AB边上的点P处，点D落在点Q处，AD与PQ相交于点H，∠BPE=30°． （1）求BE、QF的长； （2）求四边形PEFH的面积.

  22. 四．折叠后得图形 例15: 已知， ABCD的对角线交点为O，点E、F分别在边AB、CD上，分别沿DE、BF折叠四边形ABCD，A、C两点恰好都在0点处，且四边形DEBF为菱形（如图） （1）求证：四边形ABCD是矩形； （2）求在四边形ABCD中 的值．

  23. 五．折叠后得结论 例16. 有一个等腰直角三角形纸片，以它的对称轴为折痕，将三角形对折，得到等腰直角三角形, 依照上述方法将原等腰直角三角形折叠四次，得到的小等腰直角三角形的周长是原等腰直角三角形周长的（ ） A. B. C. D.

  24. 例17. 将一张长方形的纸对折，如图所示，可得到一条折痕（图中虚线），继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折三次后，可以得到7条折痕，那么对折四次可以得到________条折痕，如果对折n次，可以得到_________条折痕。

  25. 六．折叠和剪切的应用 例18:如图, 一张长方形纸沿AB对折，以AB中点O为顶点将平角五等分，并沿五等分的折线折叠，再沿CD剪开，使展开后为正五角星(正五边形对角线所构成的图形)则∠OCD等于( ) A.108° B.144° C.126°D.129°

  26. 七、沿某一条直线对折出的复杂题型 例19、已知矩形纸片ABCD，AB=2，AD=1，将纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E重合. (1)如果折痕FG分别与AD、AB交与点F、G (如图1)， ，求DE的长； (2)如果折痕FG分别与CD、AB交与点F、G(如图2)，△AED的外接圆与直线BC相切，求折痕FG的长．

  27. 小结： 1．图形的翻折部分在折叠前和折叠后的形状、大小不变是全等形； 2．图形的翻折部分在折叠前和折叠后的位置关于折痕成轴对称； 3.将长方形纸片折叠成如图所示的形状，图中重叠的 部分△AEF是等腰三角形； ４．充分挖掘图形的几何性质，将其中的基本的数量关系，用方程的形式表达出来，并求解，这是解题时常用的方法之一。

  28. 4:网格中的问题 例 21:在图中建立直角坐标系，并说明△A′B′C′是由△ABC通过怎样的图形变换(平移、旋转、轴对称)得到的？

  29. 　　例22: 设格点多边形的面积为S，它各边上格点的个数和为x，(1)下图中的格点多边形，其内部都只有一个格点，它们的面积S与它各边上格点的个数和x的对应关系如下表，请写出S与x之间关系式；(2)请你再画出一些格点多边形，使这些多边形内部都有而且只有2个点，此时所画的各个多边形的面积S与它们各边上格点的个数和x之间的关系式是什么？(3)请继续探索，当格点多边形内部有且只有3个格点时，S与x的关系式是什么？

  30. (二)、相似变换 课标要求： ①了解比例的基本性质，了解线段的比、成比例线段，通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割。 ②通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，知道相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积的比等于对应边比的平方。 ③了解两个三角形相似的概念，探索两个三角形相似的条件。 ④了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小。 ⑤通过典型实例观察和认识现实生活中物体的相似，利用图形的相似解决一些实际问题（如利用相似测量旗杆的高度）。 ⑥通过实例认识锐角三角函数（sinA，cosA, tanA），知道 30°，45°,60°角的三角函数值；会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它对应的锐角。 ⑦运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题。

  31. 如图所提供的浙江省 • 航线图可以看作该省实 • 际版图通过________变 • 换所得到的图象. (2) 这个变换把实际版 图缩小到原来的______. (3) 利用这个地图通过 测量,求出杭州至温州 的实际距离? 比例尺 1∶10 000 000

  32. 例２０ :已知正方形的边长为1 （1）如图1，可以算出一个正方形的对角线长为 ，求两个正方形并排成的矩形的对角线长，n个呢？ （2）根据图2,求证：△BCE∽△BED （3）由图3，在下列给出的三个结论中，通过合情推理选出一个正确的结论加以证明， ①∠BEC+∠BDE=45°；②∠BEC+∠BED=45°； ③∠BEC+∠DFE=45°. 图1 图2 图3

  33. 几个基本图形:

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