Tugas Pertemuan 13 Sifat-sifat Regular Language dan Context Free Language

1. Tugas Pertemuan 13Sifat-sifat Regular Language dan Context Free Language Matakuliah : T0162/Teori Bahasa dan Automata Tahun : 2009

2. Learning Outcomes Pada akhir pertemuan ini, diharapkan mahasiswa akan mampu : • << TIK-99 >> • << TIK-99>>

3. Outline Materi • Materi 1 • Materi 2 • Materi 3 • Materi 4 • Materi 5

4. Sifat-sifat Regular Set : • Pumping Lemma (Regular Set) : Suatu DFA M = (Q,Σ, δ ,q0,F) dengan n state menerima a1a2 ... am, m ≥ n, i = 1,2,...,m, δ (q0, a1 a2 ... ai) = qi maka q0, q1, ..., qn tidak semua berbeda, atau qj = qk, 0 ≤ j < k ≤ n

5. aj+1 ... ak : loop • Jika a1 ... aj ak+1 ... am dalam L(M) maka a1 ... aj(aj+1 ... ak)i ak+1 ... am dalam L(M), i ≥ 0

6. Lemma : (PL) Misalkan L regular set, terdapat suatu konstan n sehingga jika z ∈ L dan |z| ≥ n, z = uvw dan |uv| ≤ n, |v| ≥ 1, dan untuk semua i ≥ 0, uviw ∈ L. Contoh : Buktikan L = {aibi | i ≥ 1} tidak regular.

7. Bukti: Assume L regular, Misalkan z = anbn ∈ L, uv terdiri dari a, |u| = m1, |v| = m2 , m1+m2 ≤ n, |v | ≥ 1, dan uviw ∈ L, ∀ i ≥ 0. Perhatikan uv2w : Jumlah a : (n+m2) > n , sedang jumlah b sama dengan n. Kontradiksi.

8. Sifat-sifat Closure Regular Set Regular Set "Closed Under" : 1. Union : L3 = L1 ∪ L2, L3 regular bila L1 dan L2 regular 2. Konkatenasi : L4 = L1.L2 regular bila L1 dan L2 regular 3. Kleene Closure : L1* regular bila L1 regular

9. 4. Komplementasi : Jika L regular set, dan L ⊆ S*, maka Σ *-L regular 5. Irisan : L5 = L1 ∩ L2, regular apabila L1 dan L2 regular

10. 6. Substitusi : Suatu fungsi f : Σ ke subset dari Δ*, Δ : suatu alphabet Fungsi f dapat diperluas ke string sbb : i. f (∈) = ∈ ii. f (xa) = f (x) f (a) • Fungsi f diperluas ke language : f (L ) = f ( x )

11. Contoh : f (0) = a, f(1) = b* maka : f (010) = ab*b Jika L = 0*(0+1)1* maka : f (L) = a* (a+b*)(b*)*

12. Sifat-sifat Context Free Language • Lemma : (PL untuk CFL) Misalkan L suatu CFL. Terdapat suatu bilangan konstan n, yang hanya tergantung pada L, dan jika z ∈ L dengan |z| ≥ n, dapat ditulis z = uvwxy sedemikian sehingga 1. |vx| ≥ 1 2. |vwx| ≤ n, dan 3. untuk semua i ≥ 0, uviwxiy  L. Lemma di atas digunakan untuk membuktikan suatu language tidak Context Free.

13. Pumping Lemma Contoh : Buktikan bahwa L = {aibicii ≥ 1} bukan CFL. Bukti : Asumsikan L CFL dan n konstan. Misalkan z = an bn cn ∈ L dan z = uvwxy memenuhi Pumping Lemma. Jika L CFL berarti z1 = uviwxiy, i ≥ 0, z1 ∈ L

14. z = aa ... abb ... bcc ... c • vx tidak bisa mengandung a dan c, karena bila demikian |vwx| > n • Misalkan vx mengandung hanya a, perhatikan uviwxiy, i =0, mengandung jumlah a < jumlah b dan c • Kontradiksi. n n n

15. Sifat-sifat Closure CFL Misalkan L1 dan L2 CFL dengan CFG : G1 = (V1,T1,P1,S1) dan G2 = (V2,T2,P2,S2), dimana V1dan V2 disjoint, S3,S4,S5 elemen V1 dan V2 maka CFL closed untukoperasi : • Union: L1 ∪ L2 : G3 = (V1∪V2∪{S3},T1∪T2,P3,S3) dimana : P3 =P1∪P2 ditambah S3 → S1 | S2

16. 2. Konkatenasi: L1.L2 G4 = (V1∪V2∪{S4},T1∪T2,P4,S4) dimana : P4 =P1∪P2 ditambah S4 → S1 . S2 3. Closure : L1 * G5 = ( V1 ∪ {S5}, T1, P5, S5 ) dimana P5 = P1 ditambah S5 → S1S5 | ∈ 4. CFL "Closed" under substitusi

17. 5. CFL tidak closed under INTERSECTION Contoh : L1 = { aibici | i ≥ 1 } : tidak CFL L2 = {aibicj | i ≥ 1 dan j ≥ 1 } : CFL L3 = {aibjcj | i ≥ 1 dan j ≥1 } : CFL Dan L2 ∩ L3 = L1

18. 6. CFL tidak closed under Complement Bukti : Diketahui CFL closed di bawah union. Jika CFL closed under komplemen, maka closed under intersection, karena dari hukum DeMorgan: L1 ∩ L2 = L1 ∪ L2 Suatu kontradiksi.

19. << CLOSING>>