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§3.4 基本不等式

§3.4 基本不等式. 制作人：李冬青. 中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明。最早对勾股定理进行证明的，是三国时期 吴国的数学家赵爽 。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明。. 在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长得到正方形 ABCD 是由 4 个相等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的。每个直角三角形的面积为 ab/2 ；中间的小正方形边长为 b-a ，则面积为 (b-a) 2 。于是便可得如下的式子： 4×(ab/2 ） +(b-a) 2 =c 2

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§3.4 基本不等式

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Presentation Transcript

  1. §3.4基本不等式 制作人：李冬青

  2. 中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明。最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明。中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明。最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明。 在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长得到正方形ABCD是由4个相等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的。每个直角三角形的面积为ab/2；中间的小正方形边长为b-a，则面积为(b-a)2。于是便可得如下的式子：4×(ab/2）+(b-a)2=c2 化简后便可得：a2+b2=c2 赵爽弦图

  3. 一 、探究 左图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗?

  4. 一 、探究 1.思考： 比较大正方形的面积与4个直角三角形的面积和, 你会得到怎样的不等式？ D C A a=b B 正方形ABCD的面积 > 4个直角三角形面积之和 (当且仅当a=b时, 等号成立)

  5. 二、新课讲解 一般地,对于任意实数 ,我们有 当且仅当 时，等号成立。 当 时， 当 时， 所以 即 2.得到结论： 3.思考:你能给出它的证明吗？ 证明:因为

  6. 二、新课讲解 几何平均数 算术平均数 （当且仅当a=b时，等号成立） 1.思考:如果用 去替换 中的 , 能得到什么结论? 必须要满足什么条件? 2.几何意义： 半弦长小于等于半径长 3.代数意义： 几何平均数小于等于算术平均数

  7. 三、应用 例1、若 ,求 的最小值. 变2:若 ,求 的最小值. 变1:若 求 的最小值 变3:若 ,求 的最小值. 发现运算结构，应用不等式 问:在结论成立的基础上,条件“a>0,b>0”可以变化吗？ 构造条件

  8. 三、应用 例2、已知 ,求函数 的最大值. 变式:已知 ,求函数 的最大值. 发现运算结构，应用不等式

  9. 四、课堂练习 1.已知x>2,求函数 四、课堂练习 1.已知x>2,求函数 A.有最大值-4 B.有最小值4 C. 有最大值-2 D.有最小值2 2. 设a,b为实数，且a+b=3,则2a+2b的最小值 3. 已知0<x<3,求函数y=x(9-3x)的最大值 A.有最大值-4 B.有最小值4 C. 有最大值-2 D.有最小值2 2. 设a,b为实数，且a+b=3,则2a+2b的最小值 3. 已知0<x<3,求函数y=x(9-3x)的最大值

  10. 回顾小结 • 1.一个定理：基本不等式的内容 ①公式 ②变形公式 ③公式的使用条件:一正，二定，三相等 ④公式的拓广 2.两个概念：①算术平均数 ②几何平均数 3.四类运用：基本不等式的应用 ①求函数最大值：和为定值,积有最小值 ②求函数最小值：积为定值,和有最小值 ③证明不等式:下节课时讲解 ④实际应用：下节课时讲解

  11. 谢谢各位老师指导

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