现代控制理论框架

1. 分析 设计 状态空间 表达式 现代控制理论框架 建立 建模 求解 转换 能控性 能观性 稳定性 状态反馈 状态观测器 最优控制

2. 第三章 线性控制系统的能控性与能观性

3. 卡尔曼 能控性和能观测性的基本概念： 20世纪60年代初，由卡尔曼提出， 与状态空间描述相对应。 能控性：反映了控制输入对系统状态的制约能力。 输入能否控制状态（控制问题） 能观测性：反映了输出对系统状态的判断能力。 状态能否由输出反映（估计问题）

4. 点击观看 由于系统需用状态方程和输出方程两个方程来描述输入-输出关系，状态作为被控量，输出量仅是状态的线性组合，于是有“能否找到使任意初态转移到任意终态的控制量”的问题，即能控性问题。并非所有状态都受输入量的控制，或只存在使任意初态转移到确定终态而不是任意终态的控制。还有“能否由测量到的输出量来确定出各状态分量”的问题，即能观测性问题。

5. 例 函数记录仪（电桥控制式）

7. 本章主要内容： • 线性定常系统的能控性的定义及判别 • 线性定常系统的能观性的定义及判别 • 能控性与能观性的对偶原理 • 能控标准型和能观标准型 • 线性系统的结构分解

8. 可以控制 无法反映 例：已知系统的状态方程，判断其能控性，能观性。 系统完全能控！ 系统不完全能观！ 系统能控、不能观测！

10. 如果存在一个分段连续的输入 ，能在有限的时间区 内，使系统由某一初始状态 ，转移到一指定的任一终端状态 ，则 在 是能控的。 若系统的所有非零状态状态在 时刻都是能控的，则称此系统在 时刻是完全能控的； 3.1 能控性定义 线性连续系统 状态能控 系统能控 如果系统在所有时刻都是能控的 则称系统一致能控。

11. 在 时刻能控 系统在 时刻能控 所有非零状态

12. 在 时刻能控 所有时刻 系统在 时刻完全能控 线性定常 系统的能 控性与 无关 所有非零状态 系统一致能控

13. 状态能控 状态能达 线性定常系统：能控性与能达性等价

14. 推论： （1）根据定义，如果系统在（t0，tf）时间间隔内完全能控，那么对于t2 > tf，该系统在（t0，t2）时间间隔内也一定完全能控。 （2）如果在系统的状态方程右边迭加一项不依赖于控制u(t)的干扰f(t)，那么，只要f(t)是绝对可积函数，就不会影响系统的能控性。

15. 3.2 线性定常系统的能控性判别 • 对角标准型判据 • 约当标准型判据 • 秩判据

16. 1 单输入系统 3.2.1 具有约当标准型系统的能控性 （1）对角型 能控判据：b矩阵没有全为零的行。

17. 与 无任何联系 系统不能控！

18. 系统能控！ 系统不能控！

19. 例：判别下列对角标准型线性定常系统的能控性。例：判别下列对角标准型线性定常系统的能控性。 有全零行 系统不能控！ 1、 1、 没有全零行 系统能控！ 2、 写成微分方程组来证明

20. （2）约当型 b阵中，对应于每一个约当块的最后一行元素不全为零。

22. [例]：考察以下系统的能控性： 状态完全能控 状态完全能控

23. 结论： （1）系统能控性取决于系统矩阵A和控制矩阵b,即取决于系统的结构、参数及控制作用施加点。 （2）A若为对角型，能控判据为b不能有全0行。 （3）A为约当型，b中对应约当块的最行一行不能全0 （4）若存在于输入无关的孤立结构，系统不能控。

24. （1）设线性系统 具有两两相异的特征值 ，则其状态完全能控的充分必要条件是系统经线性非奇异变换后的对角线标准型： 中， 不包含元素全为0的行。 2、具有一般系统矩阵的多输入系统 系统的线性变换不改变系统的能控性。

25. 显然，上述方程组中，没有变量间的耦合。因此， ( i = 1，2，…，n)能控的充要条件是下列元素 不同时为零。 首先证明系统经线性非奇异变换后状态能控性不变。 由前章可知，系统(A，B)和( ， )之间做线性非奇异变换时有： 变换前后秩不变 其次证明不包含元素为零的行是系统(A，B)状态完全能控的充要条件。 将对角标准形的每一行写成如下展开形式

26. (2) (3) (1) 例：判别下列对角标准型线性定常系统的能控性。 能控 不能控 能控

27. （2）若线性连续系统(A，B)有相重的特征值时，即A为约当型时，则系统能控的充要条件是：（2）若线性连续系统(A，B)有相重的特征值时，即A为约当型时，则系统能控的充要条件是： ①控制矩阵B中对应于互异的特征值的各行，没有一行的元素全为零； ②控制矩阵B中与每个约当块最后一行相对应的各行，没有一行的元素全为零。 上述结论的证明与具有两两相异特征值的证明类同，故省略。

28. （1） （2） 例 考察下列各系统的状态能控性。 最后指出一点，当系统矩阵A为对角标准形，但在含有相同的对角元素情况下，或系统矩阵A为约当标准形，但有两个或两个以上的约当块的特征值相同时，单输入系统不能控，多输入系统需考察相同特征值对应约当快最后一行矢量的线性无关性。

29. 例：判别下列系统的能控性。 解:1) 特征值 2）特征向量 3）

30. 能控还是不能控？ 不能控！

31. 3.2.2 直接从A与B判别系统的能控性 1.单输入系统 证明：已知上面状态方程的解为 即： 需用到一个新定理

32. 依据标量微分方程解式 利用凯莱-哈密尔顿（Cayley-Hamilton）定理 A的任何次幂，可以用A的0到n-1次幂线性表示 故

34. 标量

35. 若系统是能控的，那么对于任意给定的初始状态x(t0)都应从上述方程中解出0，  1，…，  n 1来。 阶能控性矩阵 满足条件即可，不必写出所有列！

36. [例]判别如下系统的能控性 [解]： 故系统的状态完全能控！ 此形式的状态方程为能控标准型

37. [例]判别如下系统的能控性 [解]： 故系统的状态完全能控！

38. 推论：系统能控，则传递函数阵无零极点对消 观察例3-2

39. 2.多输入系统 阶能控性矩阵

40. [例]判别如下线性连续定常系统的能控性 [解]： 系统不能控！

41. [例] 分析系统能控性。 选取：

42. [例] 分析系统能控性。 满足条件即可，不必写出所有列！ 系统能控！

43. 3.2.3 线性定常系统的输出能控性 在分析和设计控制系统的许多情况下，系统的被控制量有时不是系统的状态，而是系统的输出，因此有必要研究系统的输出是否能控的问题。 定义 对于系统(A，B，C，D)，如果存在一个无约束的控制矢量u(t)，在有限时间间隔[t0，tf]内，能将任一给定的初始输出y(t0)转移到任一指定的最终输出y(tf)，那么就称(A，B，C，D)是输出完全能控的，或简称输出是能控的。 定理 线性定常系统(A，B，C，D)，其输出完全能控的充要条件是输出能控性矩阵满秩，即 rankM’ =rank[ CB CAB … CAn -1B D] = n

44. x1(t) x1(t) + ∫ ∫ u(t) y(t) + x2(t) x2(t) 例设某一系统，其方块图如下图所示，试分析系统输出能控性和状态能控性。 解：描述系统的状态空间表达式为

45. 0 0 1 1 rankM = rank[ B AB] = ∴状态是不完全能控的。 ranM’ = rank[ CB CAB D ] =[ 2 0 0 ] ∴输出是完全能控的。 系统的状态能控性与输出能控性是不等价的，也就是两者之间没有必然的联系。