第六章置换群 S n （ permutation group or symmetric group ）

第六章置换群Sn（permutation group or symmetric group）置换群是一类十分重要的有限群，因为所有有限群都同构于某一个置换群或其子群，在物理上，它描写了全同粒子体系的置换对称性，结果简单明确。 §6.1 全同粒子系统的对称群设有n个全同粒子系统，其Schrödinger方程（S.E）为：其中qi为第i个粒子的坐标和自旋，哈密顿为：其中V(qi)代表第i个粒子在外场中的能量，W(qi ,qj)为第i个粒子和第j个粒子之间互作用能。

据全同性质理，当系统中某两个粒子相互对换后，系统的哈密顿 保持不变，交换两粒子后，波函数满足同一S.E，即(q1,q2,…qi,…qj,…qn,)和(q1,q2,… qj,…, qi…qn,)所描写的是同一态，最多只差一常数因子：将qi和qj再交换一次后： ∴

=1时，波函数是{qi}的对称函数，它描写玻色子体系，该体系的粒子的自旋为零或 的整数倍，服从玻色一爱因斯坦统计。 =-1时，波函数是{qi}的反对称函数，它描写弗米子体系，该体系的粒子的自旋为的奇数倍，服从弗米----狄拉克统计。如上所述，诸粒子间的交换，相应于一个置换，粒子间的任何置换: 都使系统的哈密顿量保持不变，即： PH=HP or H=PHP-1 置换群Sn是全同粒子系统的对称群。意为：1换成P1，2换成P2……n换成Pn。

§6.2 置换群Sn 6.2.1 置换的记法与分解分解： ——（*）循环中（……）元素的个数称为循环长度n，而且：每个循环又可分为若干个对换的乘积（transposition）一般地：即：一个长度为n的循环可分解为n-1个对换

证：I：当n为偶时 1）若d为偶，∴l亦为偶 i) 奇循环的数目比为偶 (xxxxx)(xxx)(xxxx)(xx) ∵这样才能保证所有的“x”之和等于n=偶必为偶数 “奇循环”分解成偶×偶=偶数个对换定义：(置换中的符号数n) – (独立的循环数l)  (置换的幂d) 即：n-l=d ------（decrement）例如上面（*）式中：n=6, l=3, d=3 定义：幂的置换称为置换包括奇（偶）数个符号的循环称为奇（偶）循环定理：将奇（偶）置换分解成一些对换的乘积时，包含有奇（偶）数个对换因子。

ⅱ）∵l是偶数，又∵奇循环数为偶数 ∴“偶循环”的数目亦为偶分解为奇×偶=偶数个对换整个置换分解为偶+偶=偶数个对换 2）若d为奇，l亦为奇 ⅲ）“奇循环”的数目必为偶（n是偶数），分解为偶×偶=偶数个对换，“偶循环”的数目必为奇，分解为奇×奇=奇数个对换，整个置换分解为偶+奇=奇数个对换。 Ⅱ：当n为奇数时， 1）假定d为偶，l为奇 2）若d为奇，l为偶

定理：用一个对换来乘一个置换，该置换的幂改变1（可能多1，也可能少1）定理：用一个对换来乘一个置换，该置换的幂改变1（可能多1，也可能少1）证明：1）若a, b出现于同一循环内即循环数增加1，而n-l=d，∴d要减少一。 2）若a b不出现在同一循环 ∴ l减少1，而d增加1

6.2.2 置换群的共轭元素类 定理：置换群中两个置换属于同一共轭元素类的充要条件为它们具有相同的循环结构。证明：1）必要性有xSn得：令

∴Q中任一因子同P里所对应的因子具有同样长度的循环。∴Q中任一因子同P里所对应的因子具有同样长度的循环。

2）充分性： P中任取一循环 Q中一个循环 循环长度相等只需取（都省略了，因为它们不涉及到置换）则：

∴令（这里定有，这是因为只对Ci置换有关的元素起作用） ∴ 一般地，n个符号的一个置换分为：长度为1的循环有1个长度为2的循环有2个长度为3的循环有3个 ………… 长度为n的循环有n个显然有：满足形式的决定了一组共轭元素类

6.2.3 杨氏图（young patterns） 令 ………… ∴ 唯一地确定了 ∴ 也决定了一组共轭元素类显然:

例如： 用杨氏图表示为：类的阶=

群类杨氏图形式 (1 2 n) 形式 (1 2 n) 类的阶 S1 (x) (1) 1 S2 (x) (x) (2 0) (2 0) 1 (xx) (0 1) (1 1) 1 S3 (x) (x) (x) (3 0 0) (3 0 0) 1 (xx) (x) (1 1 0) (2 1 0) 3 (xxx) (0 0 1) (1 1 1) = 2 S4 (x) (x) (x) (x) (4 0 0 0) (4 0 0 0) 1 (x) (x) (xx) (2 1 0 0) (3 1 0 0 ) = 6 (xx) (xx) (0 2 0 0) (2 2 0 0) = 3 (xx xx) (0 0 0 1) (1 1 1 1) = 6 将S1 S2 S3 S4的杨氏图和分类例表如下：

1．将下列置换化为独立循环的乘积 解答： 1．(ⅰ) （ⅱ）

（ⅳ） （ⅴ）（ⅲ）

2．证明：（123……N）自乘N次方后等于恒元。

第六章置换群 S n （ permutation group or symmetric group ）