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Modelos • Representación aproximada de la realidad • Abstracción: Incluimos solo aquellos aspectos y relaciones que son de interés. • Modelos físicos, cualitativos, cuantitativos,… • Usos de los modelos: diseño, entrenamiento, que pasa si…., decisiones,... • ¿Como generarlos, resolverlos, utilizarlos, validarlos?
¿Qué es un modelo matemático? • Conjunto de ecuaciones que relacionan las variables de interés del proceso y representan adecuadamente su comportamiento • Siempre son aproximaciones de la realidad • Distintos modelos para distintos objetivos y tipos de procesos • Compromiso entre facilidad de uso y exactitud
u Representación adecuada y Proceso tiempo ym Modelo tiempo tiempo
Procesos continuos y de eventos discretos q h Procesos continuos: Las variables evolucionan continuamente en el tiempo y pueden tomar cualquier valor en un rango dado Procesos de eventos: Las variables solo cambian en instantes discretos y pueden tomar solo un número finito de valores
Procesos Continuos / Eventos • Procesos Continuos • Descritos principalmente por DAEs o PDE. • Interés fundamental: la trayectoria de algunas variables • Procesos de eventos discretos • Descritos principalmente por secuencias de actividades. • Interés fundamental: el comportamiento estadístico de algunas variables.
Modelos estáticos y dinámicos q Modelo estático: Relaciona las variables en un estado de equilibrio h Modelo dinámico: Relaciona las variables a lo largo del tiempo
Respuesta dinámica h q tiempo
Modelos estáticos y dinámicos • Modelos estáticos • Representan situaciones de equilibrio • Descritos mediante ecuaciones algebraicas • Orientados a diseño • Modelos dinámicos en tiempo continuo • Representan la evolución temporal • Descritos mediante DAE y PDE • Uso mas general: control, entrenamiento,...
Modelos para control por computador u(kT) y(t) Ordenador D/A Proceso y(kT) A/D • modelos en tiempo discreto • deben relacionar las variables de entrada y salida • en los instantes de muestreo kT • Ecuaciones en diferencias y((k+1)T)=f(y(kT),u(kT))
¿Como obtener modelos? Mediante razonamientos, usando leyes físicas, químicas, etc Mediante experimentación y análisis de datos
Modelos de conocimiento • Se obtienen mediante razonamientos y la aplicación de principios de conservación de masa, energía, momento, etc. y otras leyes particulares del dominio de aplicación • Tienen validez general • Requieren conocimiento profundo del proceso y de las leyes fisico-químicas
Identificación El modelo se obtiene a partir de datos experimentales de entrada-salida del proceso U Y U Y Proceso t t Modelo Prof. Cesar de Prada, ISA, UVA
Modelos de conocimiento • Metodología de modelado: • Establecer los límites y objetivos del modelo • Establecer las hipótesis básicas • Escribir las ecuaciones usando leyes de conservación y del dominio de aplicación • Estimar el valor de los parámetros • Validar el modelo Prof. Cesar de Prada, ISA, UVA
Tipos de modelos • Parámetros concentrados • Parámetros distribuidos • No-lineales • Lineales • Tiempo • Frecuencia • ….
Conservación de masa Acumulación de masa en el sistema por unidad de tiempo = Masa que entra al sistema por unidad de tiempo - Masa que sale del sistema por unidad de tiempo - Masa que se genera en el sistema por unidad de tiempo - Masa que se consume en el sistema por unidad de tiempo - Fi F0 G C m
Ejemplo: Depósito Conservación de masa Acumulación= flujo entrada q - flujo salida F q p0 h p1 F m masa en el depósito A sección del depósito densidad, k constante
Ejemplo: Depósito q Conservación de masa Acumulación= flujo entrada q - flujo salida F h u F m masa en el depósito A sección del depósito densidad, k constante u posición de la válvula Ecuación algebraica Ecuación diferencial no-lineal
Modelos en variables de estado perturbaciones p u y Respuestas observables x Variables manipuladas x Estados
q h F Simulación Integrando numéricamente el modelo pueden obtenerse los valores del volumen de líquido en función de los valores de q Integración numérica mediante el método de Euler
q h F Causalidad Causalidad computacional: orden de cálculo de las variables q h F Causalidad física: causas y efectos El uso del modelo (¿Qué pasa si..? Control, etc.) requiere una determinada causalidad computacional. q h F
q q h h F F Hipótesis ci c Mezcla perfecta Flujo pistón
q h F Formulación ci Concentración ci Volumen V c Mezcla perfecta constante
Computabilidad q1 q2 h1 h2 F1 F2 Leyes + restricciones
Reactor Químico Isotermo Reacción: A B FT Materia prima AT A Reactor Productos A, B
Modelo Matemático • Hipótesis: • Mezcla perfecta en el reactor • Temperatura T constante • Volumen constante V Producto A CAi , Ti F A B CA CB T Balance másico del producto A Balance másico del producto B
Presión en un recipiente pf a F Fi p
Conservación de energía Ti q V R T Ecuación diferencial no-lineal T temperatura, V voltaje m masa en el depósito H entalpia, ce calor específico A sección del depósito densidad, R resistencia Hipótesis: T uniforme en el depósito Aislamiento perfecto densidad constante
Conservación del momento F Sistema de referencia m x
Masa suspendida -kx 0 m x mg F
Vehiculos acoplados K coef. resorte f coef. fricción viscosa sin fricción de deslizamiento sin resistencia del aire f F m M k x y
Grua unidimensional posición de la masa M: x posición de la masa m : x + L sen Dos grados de libertad: x, Fricción viscosa Sin fricción de deslizamiento x F M L m mg Modelar la posición de la masa m y el carro M respecto al sistema de referencia
Grua unidimensional Conservación de la cantidad de movimiento del carro y la masa m en la dirección x x M F L m mg Se necesita otra ecuación para
Grua unidimensional Conservación del momento angular referido a unos ejes moviles asociados al eje de la grua M F x L Respecto a los ejes fijos, aparece una aceleración - d2x/dt2 en dirección horizontal m mg
pv Flujo en una tuberia Conservación de cantidad de movimiento Ecuación diferencial no-lineal q a h p0
Válvula de regulación Muelle x Diafragma p x desplazamiento desde la posición de equilibrio L carrera de la válvula p presión de aire Fricción Líquido
Circuito RC R I2 Impedancia infinita I2 =0 I1 E V C I1-I2
Circuitos R1 L I2 I1 C V E R2 I1-I2
Motor CC R L T par externo k2 f.c.e.m V I Excitación independiente T
Procesos distribuidos Ti F x
Proceso distribuido Ts F T(x,t) Ti-1 Ti Ti+1 x x Se divide el proceso en celdas de ancho x en las que T pueda considerarse uniforme Balance de energia en un elemento Limite cuando x 0
Proceso distribuido Ts r F T(x,t) Ti-1 Ti Ti+1 x Balance energético Ecuaciones en derivadas parciales
Modelos de conocimiento • Formados por conjuntos de ecuaciones diferenciales y algebraicas frecuentemente no lineales • Utiles para muchos fines • Requieren ciertos conocimientos • Difíciles de manipular matemáticamente • Se resuelven mediante simulación
Simulación: EcosimPro • Lenguaje de Modelado / Simulación • ¿Qué pasa si…? • Basado en tecnología orientada a objetos • Métodos numéricos y funcionalidades avanzadas • ESA: Agencia Europea del Espacio • Generador de código C++ con un entorno de desarrollo y ejecución • Librería / Componente / Partición / Experimento • Abierto
Modelos linealizados • Aproximaciones lineales de las ecuaciones no-lineales • Mas fáciles de manipular matemáticamente pero su rango de validez es limitado
Linealización Desarrollo en serie de Taylor sobre un punto de operación u0, y0, z0, …. Ecuación lineal en las nuevas variables u, y, z
q h F Modelo Linealizado del Depósito Variables desviación h = h - h0 q = q - q0 Ecuación diferencial lineal
