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第二节 偏 导 数

第二节 偏 导 数. 一 , 偏导数的定义及其计算法. 1. 偏导数的定义及其计算方法 上册学过一元函数导数及其计算 . 对于多元函数类似建立 偏导数及其计算 . 先给出二元函数偏导数的定义 . 考虑二元 函数 z=f(x,y), 如固定一个变量假如 y. 令 y=y 0 当作常数 , 使 x 变化 , 这时函数只是 x 的一元函数 f(x,y 0 ), 该函数在 x 0 处的导 数称为二元函数 z 在 p 0 (x 0 ,y 0 ) 处对 x 的偏导数. 对 y 的偏导数同样定义.

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第二节 偏 导 数

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  1. 第二节 偏 导 数 一, 偏导数的定义及其计算法 1.偏导数的定义及其计算方法 上册学过一元函数导数及其计算.对于多元函数类似建立 偏导数及其计算.先给出二元函数偏导数的定义.考虑二元 函数z=f(x,y),如固定一个变量假如y.令y=y0当作常数,使x 变化,这时函数只是x的一元函数f(x,y0),该函数在x0处的导 数称为二元函数z在p0(x0,y0)处对x的偏导数

  2. 对y的偏导数同样定义 定义 设函数z=f(x,y)在区域D内有定义,(x0,y0)是 D内一点.如果函数φ(x)=f(x,y0)在点x0处可导,即 极限

  3. 存在,则称这个极限为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对x的偏导存在,则称这个极限为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对x的偏导 数,记作 同样定义z=f(x,y)在点(x0,y0)处对y的偏导数为 这个偏导数也可以记作

  4. 若函数z=f(x,y)在区域D内的每一点(x,y)处对x的偏导数若函数z=f(x,y)在区域D内的每一点(x,y)处对x的偏导数 都存在,那么对于D内的每一点(x,y)都有一个fx(x,y)与它 对应,这样在D内就定义了一个新的函数,这函数称为 z=f(x,y)对x的偏导数,记作 同样,函数z=f(x,y)对y的偏导数记作 由定义可知

  5. 偏导函数也称为偏导数.显然,f(x,y)在点(x0,y0)处对x的偏偏导函数也称为偏导数.显然,f(x,y)在点(x0,y0)处对x的偏 导数fx (x0,y0)等于偏导函数fx(x,y)在点(x0,y0)处的函数值. 2.偏导数的计算 由定义知,z=f(x,y)对某一自变量的偏导数,是把另一自变 量看作常量时的导数.因此,求偏导数在方法上和一元函数求 导完全相同.求 时,只要把y看作常量而对x求导;求 时,只要把x看作常量而对y求导. 偏导数的定义及求法可以推广到三元及三元以上的函数.

  6. 求f(x,y)在某一点(x0,y0)处的偏导数有两种方法. (1)求极限. (2)借助一元函数求导运算 例1 求z= 在(1,2),(1,0)处对x及y的偏导数.

  7. 同理可得到 不同点的偏导数不同,称为偏导函数

  8. 例2 设 对幂指函数的求导(或求偏导数)可用下述方法:幂指数对某 一变量的导数(或偏导数)由两部分组成,一部分是把该函数 看成指数函数而求得的导数,一部分是把导数看成幂函数而 求得的导数.

  9. 例3 已知 求:f’x(0,0), f’y(0,0) 分析:本题的解法有二种: (1)利用定义求

  10. (2)利用一般的求导公式计算.

  11. 例4

  12. 例5 已知理想气体的状态方程PV=RT(R为常数),求证

  13. z Tx z=f(x,y0) z=f(x0,y) M0 Ty y0 o x0 y x 3. 偏导数的几何意义 设M0(x0,y0,f(x0,y0))为曲面z=f(x,y) 上一点,z=f(x,y0)是过M0的平面y=y0与 曲面z=f(x,y)的交线,它是x的一元函数, 从而偏导数fx(x0,y0)= 所以偏导数fx(x0,y0)在几何上表示 曲线

  14. 在点M0(x0,y0,f(x0,y0))处的切线M0Tx对x轴的斜率. 同理, fy (x0,y0)是曲线 在点M0(x0,y0,f(x0,y0))处的切线M0Ty对y轴的斜率 4.偏导数存在与函数连续的关系 对于一元函数y=f(x)来说,在 处可导表示函数在该点连 续.但对于多元函 数 来说,偏导数的存在并不保证多元函数连续.

  15. 这是因为连续是一个全面性的概念,它要求p沿任何方式趋这是因为连续是一个全面性的概念,它要求p沿任何方式趋 近 时都要保证它的极限存在.而偏导数的存在表示它沿某 一个方向(例如x方向)的极限存在并等于它的函数值,它不 能保证沿所有方向的极限存在和等于函数值.自然如果函数 在某点连续,也不能保证偏导数的存在.

  16. 例如,函数 处处都有偏导数,但它在点(0,0)是不连续的.在下一讲里我们 可知道若偏导数存在并连续,则多元函数一定连续.

  17. 一般对分段定义的函数,在连续处要用定义来求偏导数.在上例一般对分段定义的函数,在连续处要用定义来求偏导数.在上例 中若x,y不同时为零求偏导数,就可直接来求,即 如果合并可写成 fx’= fy’=

  18. 二. 高阶偏导数 1. 高阶偏导数及计算 设函数z=f(x,y)在区域D内具有偏导数 这两个偏导数在D上仍然是x,y的函数.如果它们的偏导数也 存在,就称它们的偏导数是函数z=f(x,y)的二阶偏导数,分别用 下面记号表示:

  19. 和 叫做二阶混合偏导数.同样,若上述四个 其中 二阶偏导数的偏导数也存在,可以定义三阶偏导数,依次类推,可以定义三阶以上的偏导数.二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.而一阶偏导数就叫做偏导数.

  20. 满足方程 例5 验证函数 证明: 因为

  21. 例6 设 证明函数u=1/r,满足方程 证明

  22. 例7 设z=2x3 y2-4x2y3-xy2+3 求 可以看出,二阶的混合偏导数相等.一般二阶混合偏导数 在什么情况下相等呢?下面我们研究

  23. 2.混合偏导数的求导次序 定理 如果函数z=f(x,y)的两个混合偏导数 在 区域D内连续,那么在该区域内这两个二阶混合偏导数相等. (证明从略) 上述定理可推广到更高阶的及更多元的情况.例如在连续条件 下有 fxyxy=fxxyy=fxyyx=fyyxx=fyxyx=fyxxy上式表示,只要对x求导两 次,对y求导两次,不论求导次序如何,结果是一样的. 注意(1)若不假设二阶偏导数fxy和fyx的连续,定理中的结果就 不一定成立.例如函数

  24. 此函数所有二阶偏导数都存在,但在(0,0)处不连续.由偏导数定此函数所有二阶偏导数都存在,但在(0,0)处不连续.由偏导数定 义知 (2).今后若不注明,我们认为混合偏导数是连续的,从而与求导次 序无关,即这样的偏导数相等.

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