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第五章　 求积与求导

第五章　 求积与求导. 5.1 数值求积问题 5.2 插值多项式求积 5.3 控制精度的求积方法 5.4 待定系数法 5.5 Gauss 开式求积 5.6 其他求积方法 5.7 插值多项式求导 5.8 数值求导的误差分析 5.9 其他求导方法. 5.1 数值求积问题. 5.1.1 机械求积方法. 图 5.1 函数值计算过程简单. 节点 权 函数值 余值. 5.1.2 不同的求积形式. 闭式. 半闭式. 开式. 外延式. 图 5.2 不同的求积形式. 5.1.3 代数精度. 5.2 插值多项式求值.

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第五章　 求积与求导

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Presentation Transcript

  1. 第五章　求积与求导 5.1数值求积问题 5.2插值多项式求积 5.3控制精度的求积方法 5.4待定系数法 5.5Gauss开式求积 5.6其他求积方法 5.7插值多项式求导 5.8数值求导的误差分析 5.9其他求导方法 <<实用数值计算方法>>

  2. 5.1 数值求积问题 <<实用数值计算方法>>

  3. 5.1.1机械求积方法 图 5.1 函数值计算过程简单 节点 权 函数值 余值 <<实用数值计算方法>>

  4. 5.1.2不同的求积形式 闭式 半闭式 开式 外延式 图 5.2 不同的求积形式 <<实用数值计算方法>>

  5. 5.1.3代数精度 <<实用数值计算方法>>

  6. 5.2插值多项式求值 图 5.3 插值多项式的函数形式 <<实用数值计算方法>>

  7. 5.2.1用Lagrange多项式求积 <<实用数值计算方法>>

  8. 5.2.1 图 5.4 不等间距开式求积示例 <<实用数值计算方法>>

  9. 5.2.1 <<实用数值计算方法>>

  10. 5.2.2等间距闭式求积公式 Newton-Cotes 求积公式 图 5.5 等间距求积示意 <<实用数值计算方法>>

  11. 5.2.2 <<实用数值计算方法>>

  12. 5.2.2 图 5.6 当n=1时 <<实用数值计算方法>>

  13. 5.2.2 <<实用数值计算方法>>

  14. 5.2.2 依次类推得到Newton-Cotes系数表 表 5.1 Newton--Cotes 系数表 <<实用数值计算方法>>

  15. 5.2.2 以及相应的误差余值估计式 <<实用数值计算方法>>

  16. 5.2.3复合求积方法 Composite Quadrature 　　高阶插值多项式有产生严重震荡的可能 　　故采取用低阶复合的方法 图 5.7 低阶复合公式示意 <<实用数值计算方法>>

  17. 5.2.3 <<实用数值计算方法>>

  18. 5.3 控制精度的求积方法 5.3.1 外推原则 Richardson's Extrapolation 复合梯形法求积的误差表示为 <<实用数值计算方法>>

  19. 5.3.1 图 5.8 Richardson's 外推 <<实用数值计算方法>>

  20. 5.3.1 <<实用数值计算方法>>

  21. 5.3.2Romberg 求积 利用外推原则 弯度较小分段 弯度较大分段 图 5.9 自适应求积过程 根据规定精度的要求，在每一分段中取不同的 　　加精步数－－精度控制的自适应求积算法 <<实用数值计算方法>>

  22. 5.3.2 表 5.2 Romberg求积格式 <<实用数值计算方法>>

  23. 5.3.3简易的自适应求积算法 Adaptive Quadrature Algorithm 图 5.10 求积函数区间分隔 ( <<实用数值计算方法>>

  24. 图 5.11 简易自适应梯形求积算法框图 Simplified Adaptive Quadrature Algorithm Based on Trapezoidal Rule 5.3.3 开始 eps: 精度要求 允许误差 Tolerance 否 是 k=0? 是 k=0? 否 否 Ek<eps? 是 是 否 结束 k=n? <<实用数值计算方法>>

  25. 5.3.3 库程序 QUANC8 Quadrature,Adaptive,Newton-Cotes,8-panel 用于求积 图 5.12 Behavior of adaptive quadrature routine QUANC8 <<实用数值计算方法>>

  26. 5.3.3 图 5.13 求积简单的情形 图 5.14 求积困难的情形 <<实用数值计算方法>>

  27. 5.3.3 图 5.15 T DIFFICULT CASE A S Error of method (log scale) Slope=-2 slope=-1.1 Slope=-2 SMOOTH CASE T S A f(x) evaluations (log scale) Rate of convergence for quadrature methods test T--Trapezoidal rule S--Simpson rule A--Adaptive algorithm <<实用数值计算方法>>

  28. 5.4 待定系数法和求积公式Method of Undetermined Coefficients 5.4.1 以闭式求积为例Closed Quadrature <<实用数值计算方法>>

  29. 5.4.1 <<实用数值计算方法>>

  30. 5.4.2其它等间隔求积公式 图 5.16 4节点外延式等间距求积 <<实用数值计算方法>>

  31. 5.4.2 图 5.18 4节点等间距外延求积 <<实用数值计算方法>>

  32. 5.4.2 图 5.19 3节点开式等间距求积 <<实用数值计算方法>>

  33. 5.4.2 图 5.20 4节点等间距开式求积 <<实用数值计算方法>>

  34. 5.4.2 图 5.21 5节点等间距外延求积 <<实用数值计算方法>>

  35. 5.4.2 23 -16 5 23 -16 5 23 -16 5 23 -16 5 …………….. 23 -16 5 23 -16 5 23 -16 5 ……………. 23 -16 5 23 -16 5 23 -16 5 23 7 12 12 ……………………….. 12 12 12 -11 5 <<实用数值计算方法>>

  36. 5.5Gauss 开式求积Gaussian Open Quadratrue 5.5.1Gauss 求积方法的构思 图 5.23 Gauss 开式求积示意图 <<实用数值计算方法>>

  37. 5.5.1 <<实用数值计算方法>>

  38. 5.5.2Legendre 多项式的性质 Gauss开式求积方法 图 5.24 Gauss节点与Legendre多项式 <<实用数值计算方法>>

  39. 5.5.2 Legendre 多项式的递推算式 <<实用数值计算方法>>

  40. 5.5.2 <<实用数值计算方法>>

  41. 5.5.3Gauss 求积法示例 对一定的m,ti和bi均为固定值 表 5.2 Gauss开式求积的系数 <<实用数值计算方法>>

  42. 5.5.3 <<实用数值计算方法>>

  43. 5.6其他求积方法 5.6.1样条函数求值 Spline Quadrature <<实用数值计算方法>>

  44. 5.6.2多重求积Multiple Quadrature <<实用数值计算方法>>

  45. 5.6.2 <<实用数值计算方法>>

  46. 多重积分计算示例 5.6.2 <<实用数值计算方法>>

  47. 5.6.3特殊求积 Improper Integrals 几种类型： 1. 被积函数在积分上限或下限处的极限存在， 但函数值不存在 2. 积分上限是 ，或积分下限是 。 3. 在积分限的两端存在积分奇异点 4. 在积分上限和下限之间的某已知点处存在 积分奇点。 5. 在积分区间内某未知点处存在积分奇点 （Impossible Integration） <<实用数值计算方法>>

  48. 5.6.3 类型1的求积方法：只要采用开式求积公式 即可以解决问题 类型2问题的的解法：  变量置换方法：常用的变量置换公式有：  极限过程： <<实用数值计算方法>>

  49. 5.6.3 例：计算  无穷区间的截断——略去无穷区间的“尾巴” 而把无穷区间化为一个有限区间。 例：计算 <<实用数值计算方法>>

  50. 5.6.3 <<实用数值计算方法>>

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