基本电路理论

1. 基本电路理论 第一章 集中参数电路和基尔霍夫定律 上海交通大学本科学位课程 电子信息与电气工程学院2004年7月

2. §1.3 从网络到图 基本要求： 初步建立网络图论的概念 图、连通图和子图的概念 树、回路和割集的概念 树的选取，基本回路和基本割集的选取

3. §1.3 从网络到图 1、网络图论概论 图论是数学领域中一个十分重要的分支，这里所涉及的只是图论在网络中的应用，称网络图论。网络图论也称网络拓扑。 为在计算机上系统地列出一个复杂网络的方程以便分析，就要用到网络图论和线性代数的一些概念。 随着计算机的发展，网络图论已成为计算机辅助分析中很重要的基础知识，也是网络分析、综合等方面不可缺少的工具。

4. §1.3 从网络到图 2、图及其概念 图论是数学家欧拉创始的。1736年欧拉解决了有名的难题，肯尼希堡城七桥问题。该镇的普雷格尔河中有两个小岛，共有七座桥与两岸彼此连通，问题：从陆地或岛上任一地方开始，能否通过每座桥一次且仅仅一次就能回到原地。 欧拉用顶点表示陆地区域，用联接相应顶点的线段表示各座桥（如左图），于是七桥问题就变为一道数学问题：在左图中是否可能连续沿各线段，从某一始点出发只经过各线段一次且仅仅一次又回到出发点，即是否存在一条“单行曲线”。

5. §1.3 从网络到图 欧拉得出了一般结论，即存在单行曲线的必要、充分条件是奇次顶点（联接于顶点的线段数为奇数）的数目为0。显然右图不满足此条件，因此，七桥问题的答案是否定的。 在七桥问题中，欧拉用点表示陆地，用线段表示桥。图论中，把一些事物及其之间的联系用点和连接于点与点之间的线段来表示，因此，图就是一些点与线段的集合。

6. §1.3 从网络到图 在网络图中，将支路用线段表示，支路间的连接用点表示。 网络图论中的一条标准支路

7. §1.3 从网络到图 右图网络的网络图中包含有两个独立部分。虽然网络中存在互感，但在网络图中并不反映出磁耦合M，因为M属于网络中支路的特性，而不属于网络图的性质。 一个网络图可以有多个独立部分。 左面两个图，上面的图中包含有一个单独节点，下面的图中有一条支路的两端终止在同一个节点上，称“自环”。这些情况都属于图，但对“自环”图，将不作讨论。

8. §1.3 从网络到图 • 网络图：一组节点和一组支路的集合，且每条支路的两端终止在两个节点上（排除了“自环”情况） • 有向图：若图中的一组支路都标有方向，则这样的图称有向图。 • 子图：存在网络图G，若G1中的每个节点和每条支路就是G中的节点和支路，则G1是G的子图。也即若存在图G，则可从G中删去某些支路或某些节点，得到子图G1。

9. §1.3 从网络到图 • 连通图与非连通图: 当图G的任意两个节点之间至少存在着一条由支路构成的通路，这样的图就称连通图，如左上图，否则就是非连通图，如左中图和左下图所示。 一个连通图也可以说成是一个独立部分，一个非连通图至少有两个独立部分，而每个独立部分又是一个连通的子图。

10. §1.3 从网络到图 • 回路：回路是一条闭合的路经。确切地说，有图G，存在一个子图G1， ①G1是连通的， ②G1中与每个节点关联的支路数恰好是2条。 对每个回路，可根据KVL，写出Σv=0的回路方程。

11. §1.3 从网络到图 • 树：一个连通图G的一个子图，如果满足下列条件就称为G的一棵树：①连通的，②没有回路，③包括G的全部节点。 构成树的支路称树支，其余的支路称连支。右图中1、2、3号支路与所有节点构成树T，4、5、6号支路为连支。 左图中2、4、6号支路与全部节点构成树T，1、3、5号支路为连支。

12. §1.3 从网络到图 同一个图G，可选择不同的树。设图G有n个节点，如果任意两个节点之间都有一条支路联接，则可选出nn-2个不同的树。 右图中有n= 4个节点，所以可找到42=16种树（树数的一般计算式子为detAAT，其中A为图的降阶关联矩阵）。

13. §1.3 从网络到图 • 割集：割集是一组不包括节点的支路集合。有一连通图G，存在一组支路集合，如果留下任一支路不取掉，则剩下的图仍然是连通的，换言之，割集是一极小支路集。 取走割集将使连通图分成两个独立部分，可以抽象地用高斯面（闭合面）将某一独立部分包围起来，由高斯面所切割的一组支路，就是割集。 左图所示高斯面切割的1、4、5号支路构成割集。

14. §1.3 从网络到图 在网络图中，可以将闭合面看作一个广义节点。根据KCL，流出或者流入高斯面的支路电流的代数和为零，即流经一组割集的电流的代数和为零  Σi=0 闭合面如何封闭是任意的（这主要是观察位置不同，若在图内观察，则高斯面把圈外部分闭合），封闭面一旦闭合，一般以流出高斯面的电流为正，流入为负，因此也可认为割集有方向，一般取由闭合面里面指向外面为正方向。

15. §1.3 从网络到图 有些图，某些割集不便用高斯面，如下左图中的1、2、3、4号支路就不能用高斯面切割，这时可改变一下图的画法。 有些图，与高斯面相交的支路集不是割集。如右图中的支路1、2、3、4，当这些支路取走后，将出现三个独立部分。一般来说，如果图G具有S个独立部分，取走一组割集后，图所应具有S+1个独立部分。

16. 3、图论的基本定理 §1.3 从网络到图 若给定一个具有nt个节点，b条支路的连通图G及G的一个树T， • 在G的任何两个节点之间，总有由T的树支组成的唯一路经。 • 若不考虑根节点(或起始节点)，每条树支都有一个终止节点，则树支数n=nt-1，连支数l=b-( nt-1)=b-nt+1 • 每条连支都可以和一些树支构成一个唯一的回路(因为树本身没有回路，增加一条连支，就可得一个回路)，即l= b-nt+1个回路，并称单连支回路(也称基本回路)。

17. §1.3 从网络到图 • 每条树支都能和一些连支构成唯一的割集，共有n=nt-1个单树支割集(基本割集)(∵树本身是连通的，当取走一条树支后，树就分成两个独立部分，∴一条树支和一些连支能构成一个割集) • 一个网络的网络图有nt-1个基本割集，运用KCL可得nt-1个独立的基本割集方程。 • 一个网络的网络图有b-nt+1个基本回路，由KVL可得b-nt+1个独立的基本回路方程。 • 每条支路都有一个支路约束方程，b条支路就有b个约束方程。

18. §1.3 从网络到图 因此，一个网络总共可以有2b个独立方程。 对每条支路来说，涉及两个网络变量，ik和vk，共有2b个变量。 由于独立方程数和网络变量数相等，完全可由2b个独立方程求出2b个未知变量。

19. §1.4 KCL、KVL的矩阵形式 基本要求： 掌握关联矩阵和降阶关联矩阵 用降阶关联矩阵表示的KCL和KVL的矩阵形式

20. §1.4 KCL、KVL的矩阵形式 1、KCL的矩阵形式（系统分析方法） 右上图所示为一个直流电阻网络N，可得其拓扑图，如右下图所示。 从拓扑图中知，支路1与节点①和节点④关联，支路2与节点①和节点②关联，…，由此可以得到一个节点对支路的关联矩阵Aa

21. §1.4 KCL、KVL的矩阵形式 • 关联矩阵 由左图，根据KCL，对每个节点列方程 AaIb=0 Aa矩阵描述了图中节点对支路的关联关系，即Aa=(aik)

22. §1.4 KCL、KVL的矩阵形式 • 就每条支路而言，电流总是从一个节点流入，从另一个节点流出，所以关联矩阵的每一列总有两个非零元素，一个是正1，一个是负1。因此，把Aa的全部行加起来将得到一行全为零，就是说， Aa的所有行不是线性独立的。 AaIb=0 • 就电路方程组而言，只要把四个方程任意划去一个，剩下的三个方程就是线性无关的。因此，就Aa而言，只要划去任一行，所得矩阵就是线性独立的。

23. §1.4 KCL、KVL的矩阵形式 • ∴对nt个节点，b条支路的拓扑图而言，可得ntb阶关联矩阵Aa，Aa的秩为nt-1 • 在关联矩阵Aa中，任意划去一行，得矩阵A，其秩仍为nt-1，A称为降阶关联矩阵。 对电网络来说，总是把与参考节点对应的行划去，同样可得矩阵方程：AIb=0

24. §1.4 KCL、KVL的矩阵形式 • 已知一网络图，可以求得Aa或A。同样，如果知道了Aa或A，也一定可得网络图。 • 如果已知降阶关联矩阵A，则先根据Aa中每列有两个非零元素，且一个为1，另一个为-1的性质，求得Aa，再求有向图。

25. §1.4 KCL、KVL的矩阵形式 2、KVL的矩阵形式（系统分析方法） 设e1、e2、e3、e4为节点电位，v1、v2、v3、v4、v5为支路电压，并选择节点④为参考节点，即e4=0。根据KVL可得支路电压与节点电位间的关系。 Vb=ATEn

26. §1.5 特勒根定理 基本要求： 了解特勒根定理 了解特勒根定理和KCL、KVL的关系

27. §1.5 特勒根定理 特勒根定理是网络中最普遍的定理，它的不寻常之处在于，特勒根定理的导出只依据基尔霍夫两条定律，因此，不论元件的性质如何，激励的种类如何，特勒根定理总是成立的。 特勒根定理是特勒根于1952年正式提出的。特勒根定理是可以应用于非线性网络、时变网络的少数几个定理中的一个。

28. §1.5 特勒根定理 对于具有 n个节点，b 条支路的网络，假定支路电压、电流取一致参考方向，网络中的支路电压向量Vb= (v1,v2,…,vb)T、支路电流向量 Ib= (i1,i2,…,ib)T 分别满足KVL和KCL，则 特勒根定理证明： 若电路降阶关联矩阵为A，则根据KVL有 对上式两边转置 两边右乘Ib得 根据KCL有AIb=0

29. §1.5 特勒根定理 • Vb和Ib并不要求是同一时刻的值 • Vb和Ib可以从不同网络中测量得到，只要两个网络的结构相同，且不论各支路中的元件性质是否相同，即对N有Vb、Ib；对 有 、 则 可理解为各支路吸收的瞬时功率之和为0，即功率守恒，但它适用于结构相同的不同网络，所以称似功率守恒定律。