正弦定理的证明解读

1. 正弦定理的证明解读 克拉玛依市高级中学 曾艳

2. 一、论文的主要内容 1、总结正弦定理的证明方法. 2、正弦定理证明方法的内在联系剖析. 3、自己对定理证明的一些思考. 二、写论文的目的 1、定理本身是解三角形问题的重要方法. 2、证明方法本身也是我们研究三角形问题以及其它 数学问题的重要工具. 3、从证明方法总结出来的各种结论也是我们研究三 角形问题的重要工具 .

3. 4、使我在教学的时候更能根据自己学生的实际情4、使我在教学的时候更能根据自己学生的实际情 况选择自己最适合的证明方法 三、正弦定理证明方法 1.利用三角形的高证明正弦定理 2.利用三角形面积证明正弦定理 3.向量法证明正弦定理 4.外接圆证明正弦定理

4. 当△ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据当△ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据 锐角三角函数的定义，有 C b a B A D C b a A D B 由此，得 同理可得 故有 从而这个结论在锐角三角形中成立. 同理可得这个结论在钝角三角形中仍然成立 从而得到：在一个三角形中，各边和它所对角的正 弦的比值相等，即 .

5. 1’用知识的最近生长点来证明： 实际应用问题中，我们常遇到问题： 已知点A，点B之间的距｜AB|，可测量角A与角B， 需要定位点C，即： 在如图△ABC中，已知角A，角B，｜AB｜＝c， 求边AC的长b 解：过C作CDAB交AB于D，则 推得： 同理可证：

6. A B C D 已知△ABC,设BC＝a, CA＝b,AB＝c,作AD⊥BC, 垂足为D.则Rt△ADB中, ∴AD=AB·sinB=csinB.∴S△ABC= 同理,可证 S△ABC= .∴ S△ABC= ∴absinc=bcsinA=acsinB,在等式两端同除以abc,可得 即 .

7. △ABC为锐角三角形,过点A作单位向量j垂直于 C j ,则j与 的夹角为90°-A,j与 B 由向量的加法原则可得 A 的夹角为90°-C. 为了与图中有关角的三角函数建立联系, j的数量积运算, 我们在上面向量等式的两边同取与向量 由分配律可得 得到 ∴|j| Cos90°+|j| Cos(90°-C)=|j| Cos(90°-A). . . ∴asinC=csinA.∴ . 另外,过点C作与 垂直的单位向量j,则j与 的夹角为 90°+C,j与 的夹角为90°+B,可得 在顿角三角形中同样可证

8. 在△ABC中,已知BC=a,AC=b,AB=c,作△ABC的外接圆, O为圆心,连结BO并延长交圆于B′,设BB′=2R.则根据 直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等可 以得到∠BAB′=90°，∠C =∠B′ ∴ 这就是说,对于任意的三角形,我们得到等式

9. 四、剖析四种证明方法的本质联系 虽然每种证明方法都用不同的数学知识从不同的角度 去证明了正弦定理，但是仔细观察会发现有一条纽带 一直联系在正弦定理的各种证明方法之间，可以说每 一种证明方法离开这条纽带都是没办法成立的，这条 纽带就是：直角三角形思想。正弦定理的四种证明方法 （在正弦定理的第一种证明方法中，用到的就是最基本 的通过三角形作高把斜三角形转化为直角三角形。第二 面积法，三角形的面积等于低乘高，也是把一般的三角 形问题转化为垂直关系来研究。第三种向量法用到的也 是向量的垂直关系。第四种外接圆法也借助了直径所对 的圆周角等于 这个特殊的直角三角形）都是利用了直 角三角形；余弦定理的平面几何证明方法，也是利用三 角形做高转化成直角三角形来证明；

10. 在没学正余弦定理之前，学生直接利用初中的知识来解斜三角形，也是转化成直角三角形来解。从这其中我们可以发现直角三角形它那不可替代的特殊作用。所以，我觉得正弦定理的四种证明方法的本质联系就是：直角三角形。在没学正余弦定理之前，学生直接利用初中的知识来解斜三角形，也是转化成直角三角形来解。从这其中我们可以发现直角三角形它那不可替代的特殊作用。所以，我觉得正弦定理的四种证明方法的本质联系就是：直角三角形。 五、对正弦定理的思考 对于正弦定理的四种证明方法，我认为作高法和面积法 是学生比较容易接受的方法，因为正弦定理的发现也好， 或是初中同学们对三角形的认识也好，对于一般三角形 问题通过作高转化成直角三角形问题是大家都很熟悉的， 所以接受起来特别的容易，所以用作高来证明正弦定理 是最容易被学生接受和掌握的方法。而有了作高证明正 弦定理的方法以后，要用面积法学生接受起来也就不会 存在很大的困难，因为所有的学生都知道，三角形的面

11. 积等于低乘高，所以作出三角形的高以后，通过老师的积等于低乘高，所以作出三角形的高以后，通过老师的 恰当引导，学生很容易就能联想到三角形的面积等于低 乘高，从而也就较容易接受和掌握面积法证明正弦定理。 从教学实际上来看，学生求解更容易让学生接受，而且 我们可以从知识的最近生长点（三角变换与解直角三角 形）来引入解斜三角形，可能证明1’并不是最简单的证 明，但它扎根于学生已有的知识，更符合学生的认知水 平，而且正弦定理最终是为解三角形实际问题服务的， 让学生从解决实际问题入手，能培养学生实际应用能力， 正是基于从这个角度的思考，在实际上课的过程中，使 用这种方法引入，可能更容易被学生接受，在实际操作 过程中，如果对于A班教学我更倾向于，用1’引入问题， 用向量法证明，如果对于B班教学，则选择实际问题引入 用做高法完成证明。