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第 5 章 不定积分

第 5 章 不定积分. 5.1 原函数与不定积分的概念 一、原函数与不定积分 通过对求导和微分的学习，我们可以从一个函数 y ＝ f(x) 出发，去求它的导数 f'(x) 那么，我们能不能从一个函数的导数 f ’ (x) 出发， 反过来去求它是哪一个函数 ( 原函数 ) 的导数呢 ? [ 定义 ] 已知 f(x) 是定义在某区间上的一个函数，如果存在函数 F(x) ，使得在该区间上的任何一点 x 处都有 F'(x) ＝ f(x) ，那么称函数 F(x) 为函数 f(x) 在该区间上的一个原函数。. 例 1 求下列函数的一个原函数：

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第 5 章 不定积分

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  1. 第5章 不定积分 5.1 原函数与不定积分的概念 一、原函数与不定积分 通过对求导和微分的学习，我们可以从一个函数 y＝f(x)出发，去求它的导数f'(x) 那么，我们能不能从一个函数的导数f’(x)出发， 反过来去求它是哪一个函数(原函数)的导数呢? [定义] 已知f(x)是定义在某区间上的一个函数，如果存在函数F(x)，使得在该区间上的任何一点x处都有F'(x)＝f(x)，那么称函数F(x)为函数f(x)在该区间上的一个原函数。

  2. 例1 求下列函数的一个原函数： ⑴ f(x)＝2x ⑵ f(x)＝cosx 解：⑴∵(x2)'＝2x ∴x2是函数2x的一个原函数 ⑵∵(sinx)'＝cosx ∴sinx是函数cosx的一个原函数 这里为什么要强调是一个原函数呢?因为一个函数 的原函数不是唯一的。 例如在上面的⑴中，还有(x2＋1)'＝2x， (x2－1)'＝2x 所以 x2、x2＋1、x2－1、x2＋C (C为任意常数) 都是函数f(x)＝2x的原函数。

  3. [定理5.1] 设F(x)是函数f(x)在区间I上的一个原函数， C是一个任意常数，那么， ⑴ F(x)＋C也是f(x)在该区间I上的原函数 ⑵ f(x)该在区间I上的全体原函数可以表示 为F(x)＋C 证明： ⑴∵[F(X)＋C]'＝F'(x)＋(C)'＝f(x) ∴F(x)＋C也是f(x)的原函数 ⑵略

  4. 这说明函数f(x)如果有一个原函数F(x)，那么它 就有无穷多个原函数，它们都可以表示为F(x)＋C的 形式。 [定义5.2] 函数f(x)的全体原函数叫做函数f(x)的不定积分， 记作∫f(x)dx， 其中∫叫做积分号，f(x)叫做被积函数，x叫做积 分变量。 求函数f(x)的不定积分就是求它的全体原函数， 因此，∫f(x)dx＝F(x)＋C 其中C是任意常数，叫做积分常数。

  5. 例2 求下列不定积分 ⑴ ∫x5dx ⑵ ∫sinxdx 解： ⑴∵ 是x5的一个原函数 ∴ ⑵∵－cosx是sinx的一个原函数 ∴

  6. 二、 不定积分的几何意义 设F(x)是函数f(x)的一个原函数，则曲线y＝F(x) 称为f(x)的一条积分曲线，曲线y＝F(x)＋C表示把曲 线y＝F(x)上下平移所得到的曲线族。因此，不定积分 的几何意义是指由f(x)的全体积分曲线组成的积分曲 线族。 例4 求斜率为2x且经过点(1,0)的曲线。 解：设所求曲线为y＝f(x)，则f’(x)＝2x， 故y＝x2＋C， ∵曲线过点(1,0)∴以x＝1、y＝0代入得0＝12＋C， 解得C＝－1， 因此，所求曲线为y＝x2－1。

  7. 三、 基本积分公式 由于积分运算是求导运算的逆运算，所以由基本 求导公式反推，可得基本积分公式 ⑴ ∫dx＝x＋C ⑵ ∫xαdx＝ (α≠-1) ⑶ ⑷ ⑸ ∫exdx＝ex＋C ⑹ ∫sinxdx＝－cosx＋C ⑺ ∫cosxdx＝sinx＋C ⑻ ∫sec2xdx＝tanx＋C 　⑼ ∫csc2xdx＝－cotx＋C ⑽ ⑾

  8. 说明：冪函数的积分结果可以这样求，先将被积函数说明：冪函数的积分结果可以这样求，先将被积函数 的指数加1，再把指数的倒数放在前面做系数。 [注意]不能认为 arcsinx＝－arccosx，他们之间 的关系是 arcsinx＝π／2－arccosx

  9. 四、 不定积分的性质 ⑴ [∫f(x)dx]'＝f(x) 该性质表明，如果函数f(x)先求不定积分再求导， 所得结果仍为f(x) ⑵ ∫F'(x)dx＝F(x)＋C 该性质表明，如果函数F(x)先求导再求不定积分， 所得结果与F(x)相差一个常数C ⑶ ∫kf(x)dx＝k∫f(x)dx (k为常数) 该性质表明，被积函数中不为零的常数因子可以 提到积分号的前面 ⑷ ∫[f(x)±g(x)]dx＝∫f(x)dx±∫g(x)dx 该性质表明，两个函数的和或差的不定积分等于 这两个函数的不定积分的和或差

  10. 五、 基本积分公式的应用 例7 求∫(9x2＋8x)dx 解：∫(9x2＋8x)dx＝∫9x2dx＋∫8xdx ＝3∫3x2dx＋4∫2xdx＝3x3＋4x2＋C 例11 求∫3xexdx

  11. 5.2 不定积分的计算 一、 直接积分法 对被积函数进行简单的恒等变形后直接用 不定积分的性质和基本积分公式即可求出不定 积分的方法称为直接积分法。 运用直接积分法可以求出一些简单函数的 不定积分。

  12. 一、第一换元法(凑微分法) 如果被积函数的自变量与积分变量不相同， 就不能用直接积分法。 例如求∫cos2xdx，被积函数的自变量是2x， 积分变量是x。 这时，我们可以设被积函数的自变量为u， 如果能从被积式中分离出一个因子u’(x)来， 那么根据∫f(u)u'(x)dx＝∫f(u)du＝F(u)＋C 就可以求出不定积分。 这种积分方法叫做凑微分法。

  13. [讲解例题] 例2 求∫2sin2xdx 解：设u＝2x，则du＝2dx ∫2sin2xdx＝∫sin2x·2dx＝∫sinudu ＝－cosu＋C＝－cos2x＋C 注意：最后结果中不能有u，一定要还原成x。 解：设u＝x2＋1，则du＝2xdx

  14. 解：设u＝x2，则du＝2xdx 设u＝cosx，则du＝-sinxdx

  15. 当计算熟练后，换元的过程可以省去不写。 例 求∫sin3xcosxdx 解：∫sin3xcosxdx＝∫sin3xd(sinx)＝ sin4x＋C

  16. 二、第二换元积分法 例如，求 ，把其中最难处理的部分换 元，令 则原式＝ ，再反解x＝u2＋1， 得dx＝2udu，代入 这就是第二换元积分法。

  17. (1)如果被积函数含有 ，可以用x＝asint换元。 (2)如果被积函数含有 ，可以用x＝atant换元。

  18. (3)如果被积函数含有 ，可以用x＝asect换元。

  19. 以下结果可以作为公式使用： ⑿ ∫tanxdx＝ln|secx|＋C ⒀ ∫cotdx＝－ln|cscx|＋C ⒁ ∫secxdx＝ln|secx＋tanx|＋C ⒂ ∫cscxdx＝－ln|cscx＋cotx|＋C ⒃ ⒄ ⒅

  20. 5.3 分部积分法 一、分部积分公式 考察函数乘积的求导法则： [u(x)·v(x)]'＝u'(x)·v(x)＋u(x)·v'(x) 两边积分得 u(x)·v(x)＝∫u'(x)v(x)dx＋∫u(x)v'(x)dx 于是有 ∫u(x)·v'(x)dx＝u(x)·v(x)－∫u'(x)·v(x)dx 或表示成 ∫u(x)dv(x)＝u(x)·v(x)－∫v(x)du(x) 这一公式称为分部积分公式。

  21. 二、讲解例题 例1 求∫xexdx 解:令 u(x)＝x，v'(x)＝ex 则原式为∫u(x)·v'(x)dx的形式 ∵(ex)'＝ex ∴v(x)＝ex， 由分部积分公式有 ∫xexdx＝x·ex－∫exdx＝xex－ex＋C 例2 求∫xcos2xdx 解：令 u(x)＝x，v'(x)＝cos2x，则v(x)＝ sin2x 于是∫xcos2xdx＝ xsin2x－ ∫sin2xdx ＝ xsin2x＋ cos2x＋C

  22. 有时，用分部积分法求不定积分需要连续使 用几次分部积分公式才可以求出结果。 例5：求∫x2e-2xdx 解：令u(x)＝x2，v'(x)＝e-2x，则v(x)＝ 于是

  23. 由此可见：作一次分部积分后，被积函数中幂函数的由此可见：作一次分部积分后，被积函数中幂函数的 次数可以降低一次。如果所得到的积分式还需要用分 部积分法解，那么，可以再用分部积分公式做下去。 为了简化运算过程，下面介绍: 三、分部积分法的列表解法 例如：求 ∫x2sinxdx x2 sinx 求导↓ + ↓积分 2x - -cosx ∫x2sinxdx ＝-x2cosx-∫2x(-cosx)dx

  24. [分部积分法的列表解法] 例如：求 ∫x2sinxdx x2 sinx ＋ － ↓积分 ∫x2sinxdx ＝-x2cosx＋∫2xcosxdx 求导↓ -cosx 2x 求导↓ ２ ↓积分 -sinx －＋ ＝-x2cosx＋2xsinx -∫2sinxdx 求导↓ ０ 　＋ ↓积分 +cosx ＝-x2cosx＋2xsinx ＋2cosx＋C

  25. 例4：求∫xlnxdx x lnx 求导↓ ↓积分 1 ? 这说明把lnx放在右边用分部积分法解不下去。 把lnx放在左边用分部积分法解： lnx x 求导↓ + ↓积分 -

  26. [一般原则] 对数函数、反三角函数、幂函数应放在左边， 指数函数、三角函数应放在右边。 有些单独一个函数的不定积分也要用分部 积分法解。 例3：求∫lnxdx lnx 1 求导↓ + ↓积分 - x = xlnx－∫dx = xlnx－x＋C

  27. 例6　求∫arcsinxdx arcsinx 1 求导↓ + ↓积分 - x 例7 1 求导↓ ↓积分 x

  28. 例8 求∫exsin3xdx 解：∫exsin3xdx＝exsin3x－3∫excos3xdx ＝exsin3x－3excos3x－9∫exsin3xdx 移项得 ∫exsin3xdx＝ ex(si3nx－3cos3x)＋C 5.4 有理函数积分法 一、有理函数的定义 有理函数是指分子、分母都是多项式的分 式函数，形如

  29. 二、真分式的部分分式分解 设分子的次数为n，分母的次数为m。 当n＜m时，该分式称为真分式； 当n≥m时，该分式称为假分式。 假分式可以写成多项式与真分式的和。 这里主要讲解真分式的部分分式分解。 例 分解 成部分分式 解：因为分母含有(x－1)的三重因式，所以设

  30. 等式右边通分后得 比较等式两边分子各项的系数得 Ａ＋Ｂ＝1　　　　　　解得：　Ａ＝－1 －3Ａ－2Ｂ＋Ｃ＝0　　　　　　Ｂ＝2 3Ａ＋Ｂ－Ｃ＋Ｄ＝0　　　　　 Ｃ＝1 －Ａ＝1 Ｄ＝2 这种方法称为待定系数法

  31. 几种简单分式的积分法 一、

  32. 二、 1.当分子不含一次项时 因为分母中p2-4q＜0，所以分母可以配方成(x-m)2+n2， 再进一步，还可以化成

  33. 2.当分子含有一次项时，可将分子凑成分母的导数与另一常数之和再分别积分。2.当分子含有一次项时，可将分子凑成分母的导数与另一常数之和再分别积分。

  34. 三、分母可以因式分解的有理函数 1.若被积函数是假分式，先把它分解成一个多项式与一个真分式之和, 2. 对于真分式，先将分母因式分解，再用待定系数法化为部分分式之和, 3. 对每个最简分式分别求不定积分。

  35. 再如前面举过的例子 求

  36. [作业] P.253 1 ⑵⑹⑻⑿，2 ⑸⑹⑼⑽，4 P.267 2 ⑸⑻⒀⒃⒄(23)(25) P.273 1 ～ 8 P.279 1 ,4 ,9

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