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一、直角三角形的邊角關係. 1. 相似三角形:. 若三角形 ABC 與 A B C 相似,則其對應邊成比例;對應角相等。. 例:若 ABC 與 A B C 皆為 30 60 90 的三角形 ( 如圖 ) ,. 則 ABC 與 A B C 相似。. B . 60 . 2 x. x. 30 . A. C . B. 60 . 2. 1. 30 . A. C. 以上這些比值 ( 共 6 種,本章討論 3 種 ) 與三角形的大小無關。. 本段結束.
E N D
一、直角三角形的邊角關係 1. 相似三角形: 若三角形 ABC與 ABC 相似,則其對應邊成比例;對應角相等。 例:若 ABC與 ABC皆為 30 60 90 的三角形(如圖), 則 ABC與 ABC 相似。 B 60 2x x 30 A C B 60 2 1 30 A C 以上這些比值 (共 6 種,本章討論 3 種) 與三角形的大小無關。 本段結束
2. 兩邊的比值:正弦、餘弦、正切 B 直角 ABC 中,若 C = 90, 斜邊 對邊 三個邊長中兩兩的比值 我們分別給定下列名稱: A C 鄰邊 稱作 A 的正弦。 稱作 A 的餘弦。 稱作 A 的正切。 這些比值與三角形的大小無關, To be continued 注 意 但 A 的角度改變時,這些比值也將隨之改變。
B 稱作 A 的正弦。 斜邊 對邊 稱作 A 的餘弦。 A C 鄰邊 稱作 A 的正切。 稱作 A 的餘切。 注意: 稱作 A 的正割。 稱作 A 的餘割。 本段結束
3. 範例:有一直角 ABC 如右圖所示,求 sinA,cosA,tanA 之值。 B 解: 13 5 A C 12 Let’s do an exercise !
馬上練習. 求下列各三角形中 sinA,cosA,tanA 之值。 (3) (2) B C (1) B 15 8 10 6 25 24 A B 17 A C 8 A C 7 解: #
4. 範例:30,45,60 是三個常用的特別角, 求 sin30,sin45,sin60 的值。 B 60 2 解: 1 30 A C B B 45 1 45 30 C A 1 2 60 C A 1 Let’s do an exercise !
馬上練習. 試求下列各空格的值: 1 #
二、銳角三角函數 1. 銳角三角函數: 直角三角形中,只要固定某一銳角(設度數為 ), 則相異兩邊的比值(正弦、餘弦、正切 ) 也隨之確定, 即 與這些比值形成一種函數的對應關係。 我們依序稱為 正弦函數(sin)、餘弦函數(cos)、 正切函數(tan)、餘切函數(cot)、 正割函數(sec)與餘割函數(csc),這六個函數統稱為三角函數。 2. 範例: 求 cosA 和 tanB 的值。 B 解: 3 2 A C Let’s do an exercise !
求sinB、tanA之值。 馬上練習:(1) 在ABC中,C=90, (2) 若是一個銳角且 tan =2, 解: B 13 5 C A 12 2 # 1
3. 範例:試利用右圖,分別求出 tan15、sin15、cos15 的值。 A 解: 15 60 1 2 30 15 B D C 2 Let’s do an exercise !
馬上練習. 承上題,分別求出 sin75、cos75、tan75 的值。 A 解: 15 60 2 1 30 15 B D C 2 #
4. 範例:如右圖,由 4 個一樣大小的正方形組成多邊形, 設 ABP = ,分別求 sin、cos、tan之值。 1 解: P A Q 4 2 Let’s do an exercise ! 馬上練習. 承上題,設 QBC = , B C 1 分別求 sin、cos、tan之值。 解: #
5. 範例: 解:如圖,直角 ABC 中, B 1 C A k Let’s do an exercise ! 馬上練習: 解:如圖,直角 ABC 中, B k C A 1 #
三、三角函數的基本關係 1. 平方關係式: B 說明: c a A C b 注意:習慣上,我們將 (sin)2和 (cos)2寫成 sin2 和 cos2, 其他三角函數亦同。 cos255 + sin255= 1。 例:sin243+ cos243= 1, 本段結束
2. 商數關係式: B 說明: c a A C b 本段結束
3. 餘角關係式: B 說明: c a A C b 本段結束
4. 範例:分別求下列各式的值: = 1 + 1 解: = 2 。 = 1 。 Let’s do an exercise ! 馬上練習:分別求下列各式的值: 解: = 1 。 #
5. 範例: 解: Let’s do an exercise !
馬上練習: 解: #
6. 範例: 解: #
三、銳角三角函數的變化: 1. 銳角三角函數值的變化: 設點 A 在以 B 為圓心且半徑為 1 的圓弧上變動。 當 從 0 增加到 90 時,有下列的結果: (1)《sin》:當銳角 的度數 , A sin之值 ,且 0 < sin< 1。 A (2)《cos》:當銳角 的度數 , 1 tan cos之值 ,且 0 < cos< 1。 sin (3)《tan》:當銳角 的度數 , B tan之值 ,且 tan> 0。 cos C C (4) 當 0 < < 45, sin< cos< 1。 cos= sin< 1 = tan。 (5) 當 = 45, To be continued 注意 cos< sin< 1 < tan。 (6) 當 45 < < 90,
注意:(1) 若 為銳角,則正弦sin、正切tan都是「遞增函數」; 而餘弦cos是「遞減函數」。 (2) 常用之銳角三角函數值: 1 本段結束
2. 範例:下列各敘述何者正確? (A) 若 0 < < 45 ,則 sin < cos < tan。 (B) 若 45 < < 90 ,則 cos < sin < tan。 (C) 若 0 < < < 90 ,則 cos < cos。 (D) 若 0 < < < 90 ,則 sin < sin。 sin為遞增, tan為遞增,且 解:若 0 < < 90 ,cos為遞減, sin<cos< 1 0< < 45 cos= sin< 1 =tan = 45 故所求為 (B) (D)。 cos<sin< 1 < tan 45< < 90 # 注意:若 為銳角,且cos= tan
3. 範例: 解:設另一根為 #
4. 範例:一平底圓柱管,管高 60,口徑 20,水高 40, 今將此管傾斜 角,使水面恰達管口如圖,求 d = ? 解:水不變,即空白面積不變, 20 B 20 40 20 A C 60 40 d 60 D E 本 節 結 束