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第六章 微积分方法与函数概念的演变
6.1极限观念 刘徽求积术中朴素的极限思想方法
例如, 刘徽以弓形的弦a1为底、高h1的端点为顶点在弓形内作内接等腰三角形，求出其面积△1= a1 h1。再以此三角形的两腰为底作小弓形的内接等腰三角形，每一个小弓形的面积为△2= a2h2。因两小弓形的面积相等，故有2△2= a2 h2。如此类推下去，到第n次就有2n－1△n=2 n－2anhn。把这些三角形的面积加起来，设Sn为其和，则 Sn= 2i—1 △i = 2i—2aihi。刘徽对这个过程指出：“割之又割，使至极细，但举弦矢相乘之数，则必近密率矣”。这可以用极限的方法表示为：设S为弓形面积，就有S = Sn = 2i－1△i 。
6.2 量分割与积分方法 6.2.1 阿基米德的平衡法 先把面积或体积分成很多窄的平行条或薄的平行层。进而假设把这些薄片挂在杠杆的一端，使它们平衡于容积和重心都为已知的一个图形，而且已知图形的面（体）积一般都是容易求得的。
例如,令r为该球体的半径。把这个球的两极直径放在水平x轴上，如图6.1，使北极点N与坐标轴原点重合。作2r×r的矩形NABS和等腰直角△NCS，其中CS⊥NS。让它们围绕x轴旋转，得到圆柱和圆锥。然后，从这三个立体上切下与N的距离为x、厚度为△x的竖立的薄片，并假设它们是扁平的圆柱体。这些薄片的体积分别近似地为：例如,令r为该球体的半径。把这个球的两极直径放在水平x轴上，如图6.1，使北极点N与坐标轴原点重合。作2r×r的矩形NABS和等腰直角△NCS，其中CS⊥NS。让它们围绕x轴旋转，得到圆柱和圆锥。然后，从这三个立体上切下与N的距离为x、厚度为△x的竖立的薄片，并假设它们是扁平的圆柱体。这些薄片的体积分别近似地为： 球体：πx(2r－x)△x，（若设球片底面半径为R，则R2=r2－（x－r）2=x（2r－x）） 柱体：πr2△x 锥体：πx2△x 把球体和锥体的薄片挂在T点（在这里TN = 2r）上。它们的关于N的组合力矩（一个体积关于一个点的矩，是该体积与此点至此体积重心的距离的乘积）为： [πx(2r－x)△x+πx2△x]2r = 4πr2x△x 这是从柱体上切下来的薄片放在左边与N的距离为x处的力矩的四倍。把所有的这些薄片加到一起，得： 2r [球体体积+圆锥体积] = 4r[圆柱体积]。 即， 2r [球体体积+ ] = 8πr4. 所以， 球体体积=
6.2.2 开普勒的旋转体体积公式 用无数个“同维数”的无穷小元素之和来求面积和体积的方法
例如, 设半径为R的圆围绕其所在平面上且与圆心距离为d的垂直轴旋转而形成圆环。开普勒证明了用通过旋转轴的平面，可以把圆环分成无穷多个内侧较薄、外侧较厚的垂直薄圆片，而把每一个薄圆片又分成无穷多个横截面为梯形的水平薄片,进而先推导出每个圆片的体积是 πR2l，其中l = 是圆片最小厚度l1与最大厚度l2的平均值，亦即圆片在其中心处的厚度。然后他进一步推算圆环的体积 V = (πR2) = (πR2) (2πd)=2π2R2d。
6.2.3 卡瓦列里的不可分量原理 “不可分量原理”(意大利卡瓦列里,1635年)第一次给出了积分的一般方法。
第一原理:有两个平面片处于两条平行线之间， 在这两个平面片内作任意平行于这两条平行线的直线，如果它们被平面片所截得的线段长度相等，则这两个平面片的面积相等。 第二原理：有两个立体处于两个平行平面之间，在这两个平行平面之间作任意平行于这两个平面的平面，如果它们被立体所截得的面积相等，则这两个立体的体积相等。
实例 对于被置于同一个直角坐标系上的椭圆和圆 = 1（a >b）, x2 + y2 = a2, 从上述每一个方程中解出y，得到 y = (a2－x2)1/2, y = (a2－x2)1/2 由此看出：椭圆和圆的对应的纵坐标之比为b/a。这就意味着，椭圆和圆的对应垂直弦之比是b/a；根据卡瓦列里不可分量的第一个原理，有椭圆和圆的面积之比也是b/a。
6.3 微分方法与微积分的互逆性 微分方法是17世纪数学家在寻找曲线的切线的作法和计算函数极值的过程中创立的
6.3.1费马方法与圆法 费马求函数极大或极小值的思想方法： 如果f (x)在x点上有一个普通的极大值或极小值，并且若e很小，则f（x－e）的值几乎等于f（x）的值。所以，我们暂时令f (x－e)= f (x)，然后，令e取值零，使得等式成为正确的，所得方程的根就给出使f (x)取极大值或极小值的那些x的值。这是现代微积分学求函数f (x)的普通极大值或极小值的常用方法，然而，费马只是给出了函数极值存在的必要但不充分的条件。 • 笛卡尔圆法(重根法)，是采用代数形式给出了求切线的方法，它不涉及极限的概念. 圆法在本质上将切线视为割线的极限位置，这与现代的切线概念相一致。但重根的计算过程十分复杂。
例如，对于抛物线y2 = kx，有y = f (x) = ,则方程 kx +（v－x）2 =r2 有重根的条件为 kx +（v－x）2－r2=(x－e)2. 令等式两边x的系数相等，得k－2v=－2e,即v = e + .代入e = x,于是v－x= k，故而求得抛物线在点（x, ）处的切线斜率是
6.3.2 特征三角形求切线法 1669年英国数学家巴罗利用它找到了求切线的几何方法，并发现了积分与微分的互逆关系。此后，莱布尼兹应用这个三角形建立起他的无穷小量的微积分理论。
巴罗用几何法求切线的思想方法 例如，求曲线x3+y3=r3在一点处的切线，可令（x－e）3+（y－a）3=r3，或 x3－3x2e+3xe2－e3+y3－3y2a+3ya2－a3=r3。令a和e的二次幂和高次幂等于零，并利用已知等式x3+y3=r3，上式可化简为3x2e+3y2a=0，由此我们得到a/e=－x2/y2。
莱布尼兹提出了自己的特征三角形并利用它“毫无困难地建立起大量的定理”（莱布尼兹语）。它所得到的第一个定理是：“由一条曲线的法线形成的图形，即将这些法线（在圆的情形就是半径）按纵坐标方向置于轴上所形成的图形，其面积与曲线绕轴旋转而成的立体的面积成正比”。莱布尼兹提出了自己的特征三角形并利用它“毫无困难地建立起大量的定理”（莱布尼兹语）。它所得到的第一个定理是：“由一条曲线的法线形成的图形，即将这些法线（在圆的情形就是半径）按纵坐标方向置于轴上所形成的图形，其面积与曲线绕轴旋转而成的立体的面积成正比”。 莱布尼兹在关于特征三角形的研究中认识到：求曲线的切线依赖于纵坐标的差值与横坐标的差值，以及当这些差值变成无限小时它们的比值；而求曲线下的面积时，则依赖于无限小区间上的纵坐标之和（指纵坐标乘以无限小区间的长度再相加，因而也相当于宽度为无限小的矩形面积之和）。莱布尼兹也看出了这两类问题的互逆关系。并且建立起一种更一般的算法，将以往解决这两类问题的各种结果和技巧统一起来
6.4牛顿的流数术 牛顿微积分理论研究的三个阶段： 第一阶段，像他的前人那样使用静态的无穷小量观点，凭借二项式定理的推广形式，使微积分的计算方法变得程序化； 第二阶段，用变量流动生成法，创造了流数术基本概念体系； 第三阶段则用“最初比与最末”方法完善其流数术的思想。在不断的发展和变化中形成了其特有的微积分理论
6.4.1 二项式定理的推广牛顿(1676年)的二项式定理，使用现代的方法它可以表示为 ：=1+ Q+ 例如求的近似值的方法如下： 7 = 9（ ）= 9（1－ ），则 = 3 代入牛顿二项式定理，并取前6项，得： = 3（1－ － － － － ）= 2.64576
牛顿利用二项式定理论证了称之为“瞬”的无穷小增量（他称之为“瞬”）的思想。牛顿利用二项式定理论证了称之为“瞬”的无穷小增量（他称之为“瞬”）的思想。
例如，如果平面曲线下的面积（曲边梯形）面积的公式是 则曲线的公式是y = 。 事实上，假如横坐标的瞬或无限小增量为o，则新的横坐标是x + o,面积为 Z + oy = a 用二项式定理把 展开，减掉Z= ，然后用o除两边，最后舍去那些包含o的项，结果就是 。 牛顿进一步指出：反之，如果曲线是 ，则曲线下的曲边梯形的面积便是 Z = 。
6.4.2 流数法 流、流数与流的增量 牛顿把一条曲线看作是由一个点的连续运动生成的，而时间是基本的自变量。变动的量被称为流，流的变化速度（即变化率）称为它的流数）。如果一个流（比如，生成一条曲线的点的纵坐标）用 y表示，则这个流的流数用表示。 流的矩，指的是流在无穷小的时间间隔 o中增加的无穷小量，即在无限小时间内流的增量。流x的矩由乘积o给出。牛顿指出：在任何问题中，可以略去所有包含o的二次或二次以上幂的项。
流数法的实例 考虑三次方程x3－ax2 + axy－y3 = 0 ，以x+ o代替x,以y+ 代替y，得 x3+3x2( o)+3x( o)2+( o)3 －ax2－2ax( o)－a ( o)2 +axy+ay( o)+a( o)( )+ax( ) －y3－3y2( )－3y( )2－( )3=0 然后利用x3 － ax2 + axy －y3= 0，把余下的项除以o，再舍弃所有包含o的二次或二次以上幂的项，便可以得到： 3x2 －2a x+a x+a y－3 y2=0 由此不难解得 / ，求出我们今天所谓的微分dy /dx。
6.4.3最初比与最终比 “最初比“与”最后比”的概念，是从实无限小量观点转向了极限观点。牛顿写道：“流数之比非常接近于在相等但却很小的时间间隔内生成的流量的增量比，确切地说它们构成增量的最初比”。牛顿还借助于几何解释把流数理解为增量消逝时获得的最终比。
应用实例 为了求y = xn的流数，设x经均匀流动变为x + o, xn则变为(x + o)n = xn + naxn-1 + o2 x n-2+…，构成两变化的“最初比”为： 然后设增量o消逝，即令o→0时，得到它们的最末比就是 。这也是x的流数与xn的流数之比，即变化率
6.5 莱布尼兹的数列阶差法 莱布尼兹则是从数列的阶差入手证明微积分的莱布尼兹凭借着对数列的洞察力，建立了自己的积分方法
譬如：对于函数y=x，他把x用来表示相邻两项的次序，并取序数差为1，设l为两相邻项的实际差。莱布尼兹用拉丁文omnia的缩写omn.表示和，则有：譬如：对于函数y=x，他把x用来表示相邻两项的次序，并取序数差为1，设l为两相邻项的实际差。莱布尼兹用拉丁文omnia的缩写omn.表示和，则有： omn.l=y。 图6.11离散值积分方法 在y=x的条件下，如图6.11所示 ,对于无限小的l来说,yl的和等于 y2.莱布尼兹在这里认为：“从0 起增长的直线，每一个用与它相 应的增长的元素相乘，组成一个 三角形”。所以可以写出： omn.yl= y2。
6.6函数概念的发展 6.6.1 函数的曲线表示形式 哲学家的“形态幅度”（ 14世纪）与数学家的“图线原理” 对运动的研究，导致对各种变化过程和各种变化着的量的依赖关系的 研究 18世纪 欧拉提出的函数的一个定义是：函数是“xy平面上随手画出来的曲线所表示的y与x间的关系”。即把函数定义为一条随意画出来的曲线。
6.6.2 函数概念的解析表示 在1667年第一次给出了函数的解析定义（英国数学家格雷果里，1667 年）：从一些其它的量经过一系列代数运算或任何其他可以想象的运算而得到的一个量，这就是函数 欧把函数定义为：“由变量和数或常量构成的解析表达式” 18世纪关于弦振动的研究推动了函数概念的深刻变化
6.6.3 函数的对应观 德国数学家狄利克雷（1805~1859）于1837年给出了函数的定义： 若对x（a≤x≤b）的每一个值，y总有完全确定的值与之对应，不管建立起这种对应的法则的方式如何，都称y是x的函数。 函数、映射又再一次被概括为一种更为广泛的概念——关系： 设集合X、Y，定义X与Y的积集X×Y如下： X×Y= {(x，y) |x∈ X , y∈Y} 积集X×Y中的一个子集R称为X与Y的一个关系，若(x，y)∈R，则称x与y有关系R，否则称x与y无关系R。设f是x与y的关系，即fX×Y，如果(x，y)、(x，z)∈f,必有y = z，那么称f为X到Y的映射或函数。
6.7 函数概念的认知研究 函数概念教育，要突出变化这一数学思想 学校函数概念教育的三种途径： 图像表示法，这是以笛卡尔坐标系为基础的函数曲线表示的方法，算术的表示法，它是以数表（格）、有序对等方式表现的函数关系；代数表示法，它可以是映射的正规形式，也可以包括小学课程中的一些有关的公式 以非形式化的表现形式发展函数的概念 在学习者的经验基础上发展函数的概念 发掘函数的变化思想，克服不同的函数表示方法给学生认知带来的不必要的禁锢
6.8无穷小重返数坛 在20世纪60年代出现的“非标准分析”中，无穷小又得到了清晰的 数学表示，使无穷小量重返数坛。
