Справочный материал

Справочный материал Знать Уметь 1. Тригонометрический круг Значения диаметральных углов через в радианах и градусах 2. Определение триг. функций Четверти. Определять четверть, в которой находится угол 3. Значения триг. функций для диаметральных углов и табличных углов Для диаметральных углов определять значения по триг. кругу Для табличных углов запомнить ряды для синуса и тангенса 4. Знаки по четвертям Уметь находить множество значений функции, выражения 5. Множество значений функций Уметь приводить угол в стандартный вид 6. Период 7.Четность, нечетность Щелкните по . Повторите 8.Область определения

- + 1. Тригонометрический круг 90ºπ/2 90ºπ/2 0 2 чет. 180ºπ 0 180ºπ 1 чет. 360º 2π 3 чет. 4 чет. 360º 2π 270º 3π/2 270º 3π/2 Помните! π = 180 °

x ctgx = tgx = x 2. Определение триг. функций π/2 sin х – ордината (у) Sin х 0 π Cos х Cos х cos х – абсцисса (х) 2π Sin х 3π/2 3π/2

Значения тригонометрических функций (0;1) π/2 π/2 0 0 1 -1 0 (1;0) 0 -1 0 0 1 1 π 0 1 0 -1 0 (-1;0) 2π y 1 0 -1 0 1 x 3π/2 3π/2 (0;-1) 0 - 0 - 0 - 0 - 0 - Красная линия - это плюс Синяя – это минус arc

Значения тригонометрических функций Табличные значения Ряд синуса 1 1 Ряд тангенса Запомни! Для косинуса поменяйте крайние значения Для котангенса поменяйте крайние значения

Справочный материал Cos Sin Tg,ctg + + - - + + - - + - - + Знать Уметь 4. Знаки по четвертям 1. Определять четверть нахождения угла; 2. Определить знак функции. Синус: знаки соответствуют знакам по оси У, косинус –по оси Х Тангенс и котангенс в 1 четв.- плюс, далее знаки чередуются sin315º< 0, т.к угол 3 четв. tg5π/6 <0, угол 2 четв. cos2 11π/4 > 0, т.к Cos2

Период Примеры 1. sin 390º= sin (360º + 30º) = sin 30º = ½ 2. sin 790º= sin (2∙360º + 30º) = sin 30º = ½ 4. cos 7π/3= cos (2π+ π/3) = cosπ/3 = ½ 3. tg210º= tg (180º + 30º) = tg 30º = 5. cos (2π – β)= cos(-β) = cosβ 6. sin(6π – 2α)= sin(-2α) = - sin2α Период – это число, при прибавлении которого к аргументу значение функции не изменяется. f(x +Т) = f(x) Если Т – период, то Tn для n € Z тоже период. Считается Т – наименьший период Так как f(x +Тn) = f(x), то Tn можно опустить sin, cos Т = 2π tg, ctg Т = π

Четность, нечетность 3. tg (- π/6) = - tgπ/6 = - Синус, тангенс, котангенс – функции нечетные. Минус у угла можно вынести за знак функции четная. Косинус – функция Минус у угла можно опустить Примеры 1. sin( – х) =- sin х 2. sin ( π/4 – х) = - sin ( х - π/4 ) 4. cos (-7π/3)=cos 7π/3 = cos (2π+ π/3) = cosπ/3 = ½ 5. cos(-β) = cosβ 6. ctg( 2α - π/2)= - ctg(π/2 - 2α )

Область определения Синус, косинус D(y) = R Функции непрерывны на R Tангенс D(y) = R, x ≠ π/2 +πn x = π/2 + πn – вертикальная асимптота tgx – определен при cosx ≠ 0 Котангенс D(y) = R, x ≠πn x = πn – вертикальная асимптота ctgx – определен при sinx ≠ 0

Тригонометрические формулы □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ 1. Формулы одного аргумента sin2□ + cos2□ = 1 sin2□ = 1 - cos2□ cos2□ = 1 - sin2□ Под □ понимается любой угол ( х, 2х, α/2 и т. д.)

Тригонометрические формулы 2. Формулы сложения Составьте формулы: а) сначала поставьте знак; б) поставьте трафарет, проговорите: «синус на косинус, косинус на косинус, синус на синус; в) расставьте углы sin ( ) = cos ( ) = sin cos sin cos tg ( ) = cos cos sin sin .    Запомните!      Дляsin синус на косинус, знак тот же;  Для cos  косинус на косинус, синус на синус, знак противоположный.

Тригонометрические формулы х 2 2 2sin cos cos2 - sin2 3. Формулы двойного угла Составьте формулы: а) определите углы: (половина, двойной ) ; б)используя формулы сложения, выведите формулы для угла (α + α); в) составьте формулы двойной угол 2α ____________ 2α ____________ = α 2 половина угол х ____________ ____________ sin 2 = половина угла двойной угол cos 2 = . Запомните! tg 2 = Дляsin два, синус на косинус, ; Для cos  косинус квадрат минус синус квадрат. Угол справа в два раза меньше

Тренинг 1. Найдите половину угла: 2β х 30º 2. Примените формулу двойного угла х – π/8 sin х = cos х = 8β 2β х 4х 30º х – π/8 2sin х/2 cos х/2 120º х – π/4 sin 2β = 2 2sin cos 2sin 2х cos 2х β 2β β cos 4х = cos 2 - sin 2 2х cos 22х - sin 22х 8х 2х 8х sin х cos х = cos 2х/2 - sin 2х/2 sin2х - cos2х = 2 sin2х cos х/2 - cos 2х Помните! Если в выражении встречается sinxcosx, примените формулу двойного угла синуса

Тригонометрические формулы 1 cos 2 1 cos 2 - + 1 cos 2 1 cos 2 2. Формулы половинного угла. (понижения степени) . Запомните! Дляsin2единица минус cos ; Для cos2 единица плюс cos; Угол справа в два раза больше sin2= 2 cos2 = 2 - + tg2=

Тригонометрические формулы 4. Формулы перевода суммы в произведение Составьте формулы: а) для синуса и косинуса запишите 2 и - 2; б) запишите трафарет ; в) расставьте полу сумму углов, полу разность г) составьте формулу для тангенса: синус, деленный на косинус sin α + sin β = 2 - 2 2 2 2 sin cos sin α - sin β= 2 sin cos cosα+cosβ= 2 cos cos cosα - cosβ= -2 . sin sin Запомните! tgα+tgβ= Дляsin sin на cos ; tgα-tgβ= Для cos cos на cos или sin на sin ; Полу сумма , полу разность углов

Тригонометрические формулы 4. Формулы перевода произведения в сумму Составьте формулы: а) для синуса и косинуса запишите ½ ; б) запишите трафарет ; в) Расставьте знаки между функциями г) расставьте разность и сумму углов ½ ½ ½ sin α cos β = (sin cos ) cosαcosβ= (cos cos ) (cos cos ) sin α sin β = (α – β) (α – β) (α – β) (α + β) (α + β) (α + β) + + -

Преобразование выражений Алгоритм преобразования 1. Привести углы в стандартный вид Угол с минусом преобразовать: нечетная – вынести, четная поменять знак. Формулы приведения 2. Алгебраические преобразования Подобные; Раскрытие скобок; Действия с дробями; Разложение на множители; ФСУ; Другие

Преобразование выражений Алгоритм преобразования 3. Тригонометрические преобразования 3.1 По углу Углы динаковые – формулы одного угла Углы разнятся в два раза – формулы двойного или половинного угла Углы разные – формулы сложения, перевода суммы в произведение и наоборот 3.2 По функции Приведение к одной функции – формулы приведения, половинного угла, одного аргумента Приведение к функциям sin и cos Приведение к функции tg – формулы универсальной замены

Преобразование выражений 4) Найдите значение дроби 5)Вычислите Тренинг 1) Найдите 13 cos α + 1, если sin α = 5/13 , π/2 ≤ α ≤ π 2) Упростить выражение 1 - tg х sin х cos х 3) Упростите выражение (1 + tg 2α )(1 – cos2α ) 6)Упростите выражение 7) Упростите выражение sin4α – cos 4α

Преобразование выражений 1)Найдите 13 cos α + 1, если sin α = 5/13 , π/2 ≤ α ≤ π Чтобы найти значение 13 cos α + 1,надо узнать cos α . Так как α принадлежит второй четверти, то cos α< 0, следовательно, 13 cos α + 1 = 13∙(- 12/13) + 1 = - 11

Заменить tg х на Получим: 1 - = 2. Упростить выражение 1 + tg х sin х cos х Тригонометрия 1 - sin 2х = cos 2х Тригонометрия Алгебра

3) Упростите выражение (1 + tg 2α )(1 – cos2α ) Алгебра отсутствует Тригонометрия 1 + tg 2α = 1/cos 2α Используем формулы: 1 – cos2α = sin 2 α (1 + tg 2α )(1 – cos2α ) =

4) Найдите значение дроби Алгебра отсутствует Тригонометрия Sinα cos β + Sinβ cos α = sin (α+β) Используем формулы: sinα cos α = ½ sin 2α Подставим значения:

5)Вычислите Алгебра Сложим дроби: sin15○ cos 15○ Тригонометрия cos2α– sin2α= cos2α Используем формулы: sinα cos α = ½ sin 2α

6)Упростите выражение Алгебра отсутствует Углы разнятся в два раза. Тригонометрия Применим формулы двойного угла косинуса и основное тригонометрическое тождество cos 2α = cos2α - sin2α sin2α + cos2α = 1

7) Упростите выражение sin4α – cos 4α Алгебра Применим разность квадратов sin4α – cos 4α = (sin2α – cos 2α)(sin2α + cos 2α ) Тригонометрия cos2α– sin2α= cos2α Используем формулы: sin2 α + cos2α= 1 sin4α – cos 4α = (sin2α – cos 2α)(sin2α + cos 2α ) = - cos 2α

Справочный материал Обратные тригонометрические функции Уметь Знать Вычислять значения выражений 1. Определение обратных тригонометрических функций Находить угол и все множество углов 2. Обратные тригонометрические функции от отрицательных значений Вычислять арки от отрицательных значений Для диаметральных углов определять значения по триг. кругу 3. Значения триг. функций для диаметральных углов и табличных углов Для табличных углов запомнить ряды для синуса и тангенса

arc… - это угол Запомни! arcsin а = φ, sin φ = а. -π/2 ≤ φ≤π/2 arccos а = φ, cosφ = а. 0 ≤ φ≤π arctg а = φ, tgφ = а. -π/2 <φ<π/2 arcctg а = φ, ctgφ = а. 0<φ<π

Запомни! Считая а > 0, Для sin и tg Для cos и ctg arcsin(- а) = - arcsin а arccos(- а) = π - arccos а arctg(- а) = - arctg а arcctg(- а) = π - arcctg а Минус вынести Пи минус арк

Справочный материал Решение тригонометрических уравнений Уметь Знать Решать уравнения по окружности 1. Решение простейших уравн. Находить угол и все множество углов Записывать решения для каждой функции 2. Решение простых уравн. Приводить угол в стандартный вид; Находить чистую функцию; Записывать решения 3. Алгоритм решения 4. Виды уравнений и их решение Определять вид уравнения Применять пункты алгоритма к преобразованию выражений Определять вид уравнения 5. Алгоритм поиска решений

π/2 π/2 π/2 π π π 0 0 0 3π/2 3π/2 3π/2 -π/2 -π/2 -π/2 х = πn, n х = - π/2 +2πn, n х = π/2 +2πn, n Простейшие тригонометрические уравнения К простейшим относятся уравнения вида: синус, косинус равны0, ±1; тангенс, котангенс равны0 Решаются по окружности Уравнения sinх = 0, ± 1 sinх = 1 sinх = 0 х = π/2 х = 0 Придем в следующий «нуль» через пол оборота Придем вединицу через целый оборот sinх = -1 х = -π/2

π/2 π/2 π/2 π π π 0 0 0 3π/2 3π/2 3π/2 -π/2 -π/2 -π/2 х = 2πn, n х = - π/2 +πn, n х = π +2πn, n Простейшие тригонометрические уравнения К простейшим относятся уравнения вида: синус, косинус равны0, ±1; тангенс, котангенс равны0 Решаются по окружности Уравнения cosх = 0, ± 1 cosх = -1 cosх = 1 х = π х = 0 Придем в следующую 1 через целый оборот Придем вединицу через целый оборот cosх = 0 х = π/2 Придем в 0 через пол оборота

Тригонометрические уравнения Запомни! Считая а > 0, Для уравнения sinх =а Для уравнения cosх = а Минус единица в степени... Плюс, минус… (-1)n ± x = arcsina + πn, где nZ x = arcсosa + 2πn, где nZ Для уравнений tgх =а, ctgx = a арктангенс арккотангенс Для уравнений sinx= a, tgх =а, ctgx = a + πn Для уравнения cosx = a +2πn

Запомни! Считая а < 0, Для уравнения sinх =а Для уравнения cosх = а Минус единица в степени n +1… Плюс, минус, скобка,пи минус… ± (-1)n+1 x = (π - arcсos|a|) + 2πn, где nZ x = arcsin|a| + πn, где nZ Для уравнений tgх =а, ctgx = a минус арктангенс пи минус арккотангенс - x = аrctg|a| + πn, где nZ - x = πаrcctg|a| + πn, где nZ

Алгоритм решения 1. Угол - в стандартный вид; Х должен быть с плюсом Знак Приведение к острому углу Привести к виду синус, косинус, тангенс, котангенс равны … 2. «Очистить» функцию; 3. Определить какое уравнение, решить ; Уравнение синуса – минус 1 в степени n (a>0), минус 1 в степени n + 1 (a<0), = 0,±1 Решать по окружности Уравнениекосинуса – ± аrc (a>0), ± (π – arc ) (a<0), = а Решать по формулам Уравнения tg, ctg решать по формулам Для sin, ,tg, ctg прибавлять πn; для cos - 2πn

х = (-1)narcsin ½ + πn х= (-1)nπ/6 + πn,n Z х = ±arccos ½ + 2πn х= ±π/3+ 2πn,n Z х = arctg + πn х= π/6+ πn,n Z Тренинг 1. Решите уравнения, отвечая на вопросы: Уравнение sin Уравнение tg πn πn 2πn Уравнение cos ± arccos… πn (-1)narcsin… 2πn arctg…

х= ±(π -π/3)+ 2πn, x = ±2π/3+2πn, n Z х= (-1)n+1π/6 + πn, n Z х= π-π/3+ πn,n Z x = 2π/3 + πn Тренинг 1. Решите уравнения, отвечая на вопросы: Уравнение sin Уравнение ctg πn πn 2πn Уравнение cos ±(π- arccos… ) (-1)n+1arcsin… πn 2πn π-arcctg…

Справочный материал

Справочный материал

Presentation Transcript