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第二篇 电学总论 第一章静止电荷的电场

第二篇 电学总论 第一章静止电荷的电场. 8 、 两个质量都是 m ，电量都是 +q 的小球，各用长 为 l 的细线挂在同一点上，设平衡时两线的夹角为 2  很小，试证明下列等式近似成立. 式中 x 为两球平衡时的距离。 （ 1 ）如果 l =1.20 m ， m =10 g ， x =5.0cm ，则没球上 的电量 q 是多少？ （ 2 ）如果每球以 1.0 10 9 库仑 / 秒的速度失去电量， 求两球彼此趋近的瞬间相对速率 是多少？. 解：小球受力图如图所示，当小球平衡时. . . 由于  很小 ，. T. F. x.

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第二篇 电学总论 第一章静止电荷的电场

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  1. 第二篇 电学总论 第一章静止电荷的电场 8、两个质量都是m，电量都是+q的小球，各用长 为l的细线挂在同一点上，设平衡时两线的夹角为 2很小，试证明下列等式近似成立 式中x为两球平衡时的距离。 （1）如果l=1.20m，m=10g，x=5.0cm，则没球上 的电量q是多少？ （2）如果每球以1.0109库仑/秒的速度失去电量， 求两球彼此趋近的瞬间相对速率 是多少？

  2. 解：小球受力图如图所示，当小球平衡时   由于 很小， T F x mg （1）由上式可得

  3. （2） 显然v与x有关，它是一个变量。当x=5.0cm时

  4. 9、在长l=15cm的直导线AB（见图），均匀的分 布着线密度=510-9库仑/米的电荷，求： （1）在导线延长线上BP=R=5cm处P点的场强； （2）在AB垂直平分线上与导线中点相距R’=5cm 的Q点的场强。 解： （1）在AB上任取一电荷元dq= dx，它在 P点产生的场强dE，方向如图(a)所示。 dq dx dq= dx A B P dE = = 40x2 40x2 dE x (a) 由于各电荷元在P点产生的场强dE 方向相同，

  5. 则E的矢量积分简化为标量积分。 R+l 1 dx  1 - ( E= dE=  = ) 40x2 40 R R+l q R =6.75102 V m-1 E方向沿导线向右。 （2）在AB上任取一电荷元dq，它在Q点产生的场强dE如图(b)所示， dq dx dE dE, dE= = 40r2 40(x+ R’)2 Q  r r, R’ dq, dq (b) X

  6. 由于电荷分布对Q点具有对称性，图（b）中 dq,电荷所产生场强dE，与 dE的x方向分量相互 抵消。 R，dx l/2 E=Ey =  dEy=  dEcos = 2  q q 40(x+ R’)3/2 0 l/2  R， x = 40 R’ (x+ R’)1/2 0 =1.50103Vm-1

  7. 10、用细的绝缘棒弯成半径为R的圆弧，圆心角 为0，电量q均匀的分布在圆弧上，试求圆心O点 处的场强。（见图） 解：如图所示，在圆弧上任取一电荷元dq，它在 O点所产生的场强为dE，其中， dq=dl= Y dq q O 0 dl  R 0 X 由于电荷分布具有对称性，若取如图所示 的坐标轴，显然，Ey=0，则

  8. 0 qsin 2 E=Ex=dEx= dEcos= 20 0R2 q q 11、一均匀带电圆盘，半径为R，电荷面密度为 ，求圆盘轴线上与盘心相距为x的P点的电场强 度，并讨论： （1）当R∞时;(2) x>>R时,P点的 电场强度.  d dE x 0 x r dq

  9. 解: 把圆盘视作一系列半径不同的同心圆环的集合.取如图所示的环电荷dq,显然dq= 2 d,它在P点所产生的场强 dE = xd xdq = 40r3 20(x2+2)3/2 方向沿着轴线.由于各环电流产生的dE方向相同, 则P点的场强为: d  x R x E= dE= (1- )  = 20 20 (x2+2)3/2 q 0 (x2+R2)1/2

  10. R R R R 1 1 1 ( )2 ( )2 ( )2 x x x x 2 2 2  讨论: (1)当R∞时, E= 20 此时圆盘相当于无限大的均匀带电板 (2) 当x>>R时,  1 {1- } E= R 20 [1+( )2]1/2 x 由于[1+( )2]-1/2=1- R 3 + ( )4 … x 8 ≈1- q  R2 E= {1-[1- ]}= = 20 40x2 40x2 此时圆盘电荷相当于一个点电荷.

  11. q E·dS = 0 s 1 1 (2Rl) (2Rl) E·d S= 0 0 s 12、一无限长均匀带电圆柱面，其半径为R，电 荷面密度为+，试求：与轴线相距为r处的点的 场强，并画出E~r关系图。 解：过离轴线为r处的一点，做高度为l,半径为r 的同轴封闭圆柱面为高斯面。（图a） 高斯定理为： R 对于柱外的点： l r 即 E 2 rl= R （a） E= r>R 0r

  12. E·d S= s 对柱内的点 0 E = 0 R r E~r关系图如图（b）所示。 E r 0 R （b）

  13. E0 O Q孔 R2 13、用不导电的细塑料棒弯成半径为50.0cm的圆 弧，两端间留有2.0cm的孔隙，电量为3.1210-9C 的正电荷均匀分布在棒上，求圆心处场强的大小 和方向。 解：有补偿法可知：E0=E圆+E空=E空 设孔隙长为a，显然aR，所以孔隙 上的假象电荷可以看成为电电荷。 aq a E0=E孔= k =k =k 2R3 R2 =0.72Vm-1 方向如图所示。

  14. 14、如图所示，一个捕蝶网在均匀电场E中，网 面积为S，网口是半径为R的圆，E与网口平面成 600角。求：穿过网的电通量。 解：蝶网与网口所构成的闭合曲面内无电荷， E 由高斯定理得 R S n  0 = 网+口 E·dS = s 3 R2E 网= - 口= -E ·S = -EScos= - 2

  15. Em =k R2 Em R2 Qm= = 3.310-4C k 15、处于空气中半径为1.0m的球形导体，能够带 有的最大电量是多少库仑？能达到的最高电势是 多少伏特？已知空气的击穿场强为3.0106 Vm-1 解： （1） 设导体球所带最大电量为Qm，空气 击穿电场为Em。 1 ，所以导体表面附近先击穿，此时 E∝ r2 Qm Qm =3.0 106 V （2）Um=k R

  16. q E·dS = 0 s 16、（1）一点电荷q位于一边长为a的立方体中心， 试问通过立方体一个面的电通量是多少？ （2）如果把这电荷移到立方体的一个角顶上，这 时通过立方体每一个面的通量各是多少？ 解： （1）点电荷q位于立方体中心时，通过立方 体每一面的电通量都相等，所以通过每一面的通 量为总通量的1/6。 由高斯定理可得到总通量为  q 所以通过每一面的通量l1= 6 0

  17. S1 q S3 q S2 E·dS = 0 s （a） （2）当电荷移到立方体的一个顶角时，则组成电 荷所在处顶角的三个面S1，S2和S3上各点处的E平 行与该面。（图a） S1=S2=S3=  E·dS = 0 s 对立方体的另外三个面S4，S5和S6面通量相等，若 把该立方体处于另外七个同样的立方体之中，q电 荷位于8个立方体所组成的大立方体的中心 ，显然 对大立方体的所构成的高斯面有 

  18. q (b) 则通过原小立方体的S4，S5和S6面的通量分别等于 总通量的1/24。 q S4=S5=S6= 24 0

  19. E = k R2 17、靠近地球表面的场强为130 N C-1，方向向下， 若此电场由地球的电荷产生，问地球的电荷是多 少？ Q 解： kR2 E -130（6.4 106）2 Q = = 9109 =-5.9 105C

  20. E = 2 0 EA EA EA EB EB EB 18、如图所示，两块很大的平行平板A和B，都均 匀带电，其电荷面密度分别为+A和+B，试求下 列各处的场强。（1）两板之间，（2）两板左侧， （3）两板右侧。 A B 解：由题意可知，A、B两板在空间 产生的场强分别如图所示。由于无 限大带电平板所产生的场强大小为 若取向右为正方向，则 （1）两板之间的场强为：

  21. 1 1 1 2 0 2 0 2 0 （ A-B） E中= EA –EB = A B，则向右；反之向左。 （ A+B） （2） E左= -EA -EB =- （ A+B） （3） E右= EA +EB =

  22. 0 19、若上题中A=-B时，上述各处的场强又如何？ 解：若A=-B= 时， （1） E中= （2）、（3） E左= E右= 0 此时场强只存在于两板之间，两板外侧的场强 为零。这种情况，相当于充了电的电容器。

  23. 20 一层厚度为0.5cm的无限大均匀带电板，其电荷体密度为1.0×10-4Cm-3，求：（1）平板中央的电场强度。（2）平板内与其表面相距为0.1cm处的电场强度（3）平板外电场强度 . A . B S2 S1 d1 △S1 △S2 解： 1）∵ 对称分布 ∴ E=0 2）过板内考察点A，作图示封闭的柱面S1为高斯面，则由高斯定理 ∴ 方向垂直板面指向外

  24. . A . B S2 S1 d1 △S1 △S2 3）同样过板内考察点B，作封闭的柱面S2 方向与 2）相同

  25. q2 q3 E4 E1 O E3 E2 q1 q4 21 点电荷q1 q2 q3 q4 ，电量均为4×10-9C，分别位于正方形的四个顶点上，距正方形中心O点为5cm，试求：1）O点的场强和电势。2）将电量q0=10-9C的点电荷从无穷远处移到O点，电场力所作的功。3）在这一过程中电势能改变了多少？ 解：四个电荷在点产生场强如图所示

  26. 22 在直角三角形ABC的顶点A和B上，分别有q1= 1.8× 10-9C 和 q2=-4.8×10-9C的点电荷BC=0.04m , AC=0.03m 试求：1）C点的场强 2）C点的电势 A +q1 B C -q2 θ E1 E E2 解：1） q1和q2所产生的场强分别为E1和E2 合场强为

  27. A +q1 B C -q2 θ E1 E E2 2）

  28. r1 Rˊ x dq P r 23 长为15cm的直导线AB，均匀分布着线密度λ= 5×10-9Cm-1的电荷，求：1）在导线延长线上BP=R=5cm处P点的电势。2）在AB的垂直平分线上与导线中点相距Rˊ= 5cm的Q点的电势。 解： Q

  29. 24 由上题所求得的电势表示式，用电势梯度计算P点与Q点的电场强度 解：设棒长为，则上题中对棒延长线上的一点的电势表示式为： 棒垂直分线上一点的电势表示式为：

  30. 25 电荷Q均匀分布在半径为R的球体内，试计算：1）球内一点的电势。2）球外一点的电势。 A r o rˊ S 解：对球内一点，由高斯定理 球外一点的场强 由电势定义式可得

  31. p r x R O dα 26 一半径为R，电量为Q的均匀带电圆盘，求圆盘轴线上与盘心相距为x的P点的电势 解：如图所示，取电荷元dq

  32. 27 若有一电场，其电势表示式为 式中a和b为恒量，求空间任 一点的电场强度。 解：

  33. 28 已知电势U—x 的关系如图所示。试求各区间的E，并作E—x关系图 U（伏） b c 12 6 d a e h X（米） -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 -6 g f E（伏/米） 6 3 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 X（米） -3

  34. 解：由图U—x可见， U与x有线性关系 在a-b 区间 同理 b-c 区间 c-e 区间 e-f 区间 f-g 区间 g-h 区间

  35. 29 一电子在静电场中经加速电压加速，试问： 1）若电子质量与速度无关，把静止电子加速到光速要多高的电压？2）若考虑相对论效应，静止电子经过上述电压加速后的速度多大？ 解：1）由动能定理可得： 2）若考虑相对论效应

  36. r A q1 q2 . . . q R 32 如图所示，一个原来不带电的金属球内挖一任意的空腔，腔内放置一电荷为+q的点电荷。1）画出金属球上的感应电荷的大致分布；2）画出金属球外的电场分布；3）如何求得感应电荷在球心处所产生的电场强度？ 解：A球外表面有感应电荷q1+ q2，两空腔表面分别有感应电荷-q1和-q2 由于q1 电荷受它所在空腔表面的感应电荷的合力为零， 且由于静电屏蔽，它不受空腔外部其他电荷作用所受合力为零。

  37. r A q1 q2 . . . q R 同理q2电荷所受合力也为零 电荷q只受A球外表面的感应电荷作用。当r ＞＞R时，感应电荷均匀分布 q所受作用力为：

  38. B P A r R1 R2 36 半径为0.10m的金属球A带电q=1.0 × 10-8C ，把一个原来不带电的半径为0.2m的薄金属球壳B同心罩在A球外面。求：1）在离球心距离为0.15m处P点的电势；2）若把A和B用导线相联接，此时P点的电势。 解：1） 2）此时电荷全分布在B球外表面

  39. 37 半径为r1和r2 （r1＜r2）的两相互绝缘的同心导体球壳，现令内球带上+q电荷 问：1）外球的电荷分布及电势；2）把外球接地后，外球的电荷及电势；3）拆去外球的接地线后，再使内球接地，此时内、外球的电荷及它们的电势各为多少？ 解：1）外球内表面电荷为-q ，外表面为+q， 其电势为： 2）此时内表面仍有电荷-q，而外表面无电荷

  40. 3）设此时内球上带电q ˊ由于接地，内球电势 又因为 则

  41. 38 有直径为16cm和19cm的两导体薄球壳同心放置，此时内球电势为2700V，外球电荷为8.0 × 10-9C ，现把内球与外球相接触，问此时两球的电势各变化多少？ 解：设未接触前内球电势为U1，电荷为q1，外球电势为U2，电荷为q2，显然 由此可得：

  42. 接触后，两球为等电势体，且电荷全分布在外球表面上，其电势为：接触后，两球为等电势体，且电荷全分布在外球表面上，其电势为： 内球电势降低了。

  43. 39 把半径R1=1.0cm， q1=1.0 × 10-10C的实心导体球与一半径为 R2=3.0cm , R3=4.0cm , Q=11× 10-10C的导体球壳同心，试问：1）两球上的电荷分布；2）两球的电势U1和U2各为多少？3）若把实心导体球换成同样大小的导体球壳，对球内同一点（r＜r1）的电场强度及电势有无影响？为什么？ 解：1）实心球表面电荷为q1=1.0 × 10-10C,均匀分布球壳内表面电荷为-q1=-1.0 × 10-10C,外表面为Q+ q1=12 × 10-10C,都均匀分布在表面上。

  44. 2）内球电势为 外球电势为 3）无影响

  45. 40 三块平行金属板A、B、C面积为200cm2，A、B相距4.0mm，A、C相距2.0mm，B和C都接地。如果使A板带上q=3.0 × 10-7C的电荷，试求：1）B、C两板上的感应电荷；2）A板的电势。 C A B 4mm q1 q2 解：1）设A板上电荷均匀分布于左、右表面的电荷分别为q1和q2，则B、C两板上的感应电荷分别为-q1和-q2，且 2mm 由题意可知：

  46. ∵平板间场强为 代入式 可得： 2）

  47. 41 如果把地球看作一半径为6.4 × 106m的导体球，试计算其电容；如果空气的击穿场强为3.0× 10-6Vm-1，则地球所能携带的最大电荷为多少？电荷面密度等于多少？ 解：

  48. 42 一平板电容器充电后拆去电源，使两板间距离增大一倍，试问电容器的电容两板间的电场强度和电势差各作如何变化？如果不拆去电源，情况又如何？ 解：充电后拆去电源，其极板上电量不变 不变 减小一半 增大一倍 若不拆电源，则两板间U=U0不变 减小一半 减小一半

  49. 43 平板电容器两极板上接上电源，并维持其电压不变，把介电常数为εr的电介质填满极板之间，问极板上的电荷和极板间的电场强度各作何变化？如果电容器充电以后切断电源，再填满物质，情况又如何？ 解：∵ U不变，而 增大εr倍 不变 切断电源后，∵Q不变 而 减小εr倍

  50. d1 ε1 ε2 d2 44 平板电容器极板面积为S，间距为d，中间有两层厚度各为d1和d2（d= d1 + d2），介电常数为ε1和ε2的电介质，试计算其电容。 解：设极板带电为q，则两板间电势差为

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