Download
1 / 82
930 likes | 1.37k Views
复合材料结构设计基础. 材料科学与工程学院. 2 单层的刚度与强度. 层合板由许多单层板组成，所以，单层的刚度与强度是分析层合板刚度与强度的基础。 从力学的角度来分析复合材料. 宏观力学方法. 细观力学方法. 本章将讨论 单层的 刚度与强度，给出宏观力学分析方法的结果。. 单层板碳纤维复合材料的一般制作方法. 环氧树脂. 碳纤维束. Hardener HY956. Ararudaido AY103-1. 单纤维 12000 本 纤维直径 7μm. CF 束. 环氧 樹脂. 实验 方法. 固定 CF 束. 在 真空中 完成树脂浸入. 硬化. 成形.
E N D
复合材料结构设计基础 材料科学与工程学院
2 单层的刚度与强度 • 层合板由许多单层板组成，所以，单层的刚度与强度是分析层合板刚度与强度的基础。 • 从力学的角度来分析复合材料 宏观力学方法 细观力学方法 本章将讨论单层的刚度与强度，给出宏观力学分析方法的结果。
单层板碳纤维复合材料的一般制作方法 环氧树脂 碳纤维束 HardenerHY956 ArarudaidoAY103-1 单纤维12000本 纤维直径7μm
CF束 环氧樹脂 实验方法 • 固定CF束 • 在真空中完成树脂浸入 • 硬化 • 成形 固定 模具
宏观试验片 电子显微镜下的试验片
2.1单层的正轴刚度 • 单层的正轴刚度是指单层在正轴（即单层材料的弹性主方向）上所显示的刚度性能。【由于单层厚度与其他尺寸相比较小，一般按平面应力状态进行分析。】 • 对于各向同性材料，表达其刚度的参数是工程弹性常数E、G、ע，三者之间有如下关系： 独立的弹性常数只有2个。
2.1.1单层的正轴应力－应变关系 • 单层在正轴下的平面应力状态只有σ1、σ2、τ12三个应力分量。本书讨论的复合材料限于在线弹性与小变形情况下，所以材料力学中应变的叠加原理仍适用与复合材料。 图2－1 单层的正轴及其应力分量 σ1、σ2、τ12符号：正面正向或负面负向均为正，否则为负。 ε1，ε2线应变，伸长为正，缩短为负。 γ12：剪应变，与两个坐标方向一致的直角变小为正，变大 为负。
纵向 עL 由纵向应力σ1 引起横向应变的耦合系数 泊松比 横向 ע T • 上标 （1）、（2）代表应力, 下标1、2代表方向。 因此，由σ1引起的应变： ...... (1) 由σ2引起的应变： ............ (2) 由τ12引起的应变： ............... (3)
综合式（1）~（3），利用叠加原理，即得单层在正轴方向的应变-应力关系式：综合式（1）~（3），利用叠加原理，即得单层在正轴方向的应变-应力关系式： ............... (4) 单层的正轴工程弹性常数一共有5个。可以证明前4个存在如下关系式： ............... (5)
因此，应变-应力关系式可写成矩阵形式： 系数矩阵各分量可写成： 柔量分量 用柔量分量表达的应力—应变关系式(2-9)。
应力-应变关系式： 模量分量 其中 Sij与Qij之间存在互逆关系
可以证明，模量分量或柔量分量存在如下的对称关系式：可以证明，模量分量或柔量分量存在如下的对称关系式： Q21 = Q12 , S21 = S12 因此,表述单层的正轴刚度可以用工程弹性常数 （EL、ET、עL、GLT）、模量分量、柔量分量中的任意一组。 实验法测EL、ET、GLT、עL， עT, עT可利用(5)式计算。 实际复合材料工程中，经常碰到正方对称单层的情况，如 1：1经纬交织布成型的玻璃钢其单层就是这种情况，此时，它 的刚度参数存在如下关系： Q11 = Q22 , S11 = S22 ， EL=ET 这种材料的工程弹性常数测3个就行了。
2.1.2 各种复合材料的单层正轴刚度参数 单层为正交各向异性的材料时，工程弹性常数的限制条件： 可利用上式限制条件来判断材料的实验数据或正交各相异性的材料模型是否正确。
例题： 证明： 解：根据线弹性假设，单层在受到应力而引起应变时，单位体积所储存的弹性应变能 利用应力应变关系， 将上式分别对ε1与ε2 求导，得，
而当变形状态由 微小地变为 则单位体积应变能增量为： 由于w是ε1、ε2、γ12的单值连续函数，所以这一增量可写成全微分形式： 比较上面两个dw式，
单层的偏轴刚度参数由单层在偏轴下的应力－应变关系所确定。单层的偏轴刚度参数由单层在偏轴下的应力－应变关系所确定。 正轴下的应力－应变关系与偏轴下的应力－应变关系可以相互转化。 2.2 单层的偏轴刚度 2.2.1 应力转化与应变转化公式 根据材料力学中推导应力转化公式的方法,推得由偏轴应力求正轴应力(称为应力正转换)的公式，如下：
m2 n2 2mn n2 m2 -2mn -mn mn m2-n2 σ1σ2τ12 σxσyτxy = m2 n2 －2mn n2 m2 2mn mn －mn m2－n2 σ1σ2τ12 σxσyτxy = 图2－3铺层角与偏轴应力分量 式中 m=cosθ n=sinθ （θ为辅助角，偏 轴—>正轴，逆时针为正，顺时针为负。） 上述转换公式（1）可经适当变化改为由正轴应力求偏轴应力（称为应力负转换）的公式： 同样，由偏轴应变求正轴应变（应变正转换）的公式（2-24）。
m2 n2 －2mn n2 m2 2mn mn －mn m2－n2 σ1σ2τ12 σxσyτxy = 由正轴应变求偏轴应变（称为应变负转换）的公式。 2.2.2 单层的偏轴应力—应变关系
m2 n2 _2mn n2 m2 2mn mn －mn m2－n2 Q11 Q12 0 Q21 Q22 0 0 0 Q66 ε1ε2γ12 = m2 n2 _2mn n2 m2 2mn mn －mn m2－n2 Q11 Q12 0 Q21 Q22 0 0 0 Q66 m2 n2 mn n2 m2 －mn －2mn 2mn m2－n2 εxεyγxy = εxεyγxy 简写成： ￣ ￣ ￣ ￣ ￣ ￣ ￣ ￣ ￣ Q11 Q12 Q16 Q21 Q22 Q26 Q61 Q62 Q66 = σxσyτxy Qij ￣ （i，j=1，2，6）称为偏轴模量分量。
这里， 即偏轴模量仍具有对称性。 ￣ Qji ￣ Qij = 同理 偏轴柔量分量与偏轴模量分量之间也存在互逆关系。 见书中公式（2-32）~（2-34）
￣ ￣ ￣ ￣ ￣ ￣ Q11 Q22 Q12 Q66 Q16 Q26 U1（Q） cos2θ cos4θ U1（Q） －cos2θ cos4θ U4（Q） 0 －cos4θ U5（Q） 0 －cos4θ 0 1/2sin2θ sin4θ 0 1/2sin2θ －sin4θ 1 U2（Q） U3（Q） = 2.2.3 单层的偏轴模量 采用倍角函数的三角恒等式,将偏轴模量公式简单化： 其中， U1（Q） ， U2（Q） ， U3（Q），U4（Q），U5（Q）称为单层正轴模量的线性组合，也为材料常数，表达式见（2-38），具体值可查表2-4。
例如：Q11= U1（Q） + U2（Q） cos2θ+ U3（Q） cos4θ = + + 只有增加U1（Q） 才能有效增加 Q11。 在各向同性材料的情况下，Q11=U1(Q) ,因此常数项又具有 相当各向同性材料模量。 据此可以将常数项： U1（Q） 称为复合材料的各向同性拉伸模量；U5（Q）称为复合材料的各向同性剪切模量。 因此，为提高复合材料的刚度，需提高 U1（Q） 与U5（Q） 的值。 ￣ Q11 1、偏轴模量分量的常数项
U1（Q）=3/8Q11 U2（Q）=1/2Q11 U3（Q）= U4（Q）=U5（Q）=1/8Q11 2、偏轴模量分量的周期项幅值 U2（Q） ，U3（Q） 是模量分量中周期项的幅值， U2（Q） 大于 U3（Q） （表2-4），所以U2（Q） 影响复合材料各向异性程度大些。 3、偏轴模量分量之间的关系 偏轴模量6个分量 正轴模量4个分量 4、偏轴模量分量的估算值（P21参见18） 为方便起见，用近视公式来估算偏轴模量分量（公式2-38中第一项），即：
￣ ￣ ￣ ￣ ￣ ￣ S11 S22 S12 S66 S16 S26 U1（S） cos2θ cos4θ U1（S） －cos2θ cos4θ U4（S） 0 －cos4θ U5（S） 0 －cos4θ 0 sin2θ 2sin4θ 0 sin2θ －2sin4θ 1 U2（S） U3（S） = 2.2.4 单层的偏轴柔量 同样，通过三角恒等式,将偏轴柔量公式简化为： 其中， U1（S） ， U2（S） ， U3（S），U4（S），U5（S）称为单层正轴柔量的线性组合，也为材料常数，见表2-5。
2.2.5 单层的偏轴工程弹性常数 单层的偏轴工程弹性常数是单层在偏轴下由单轴应力或纯剪应力确定的刚度性能参数。 1、单层的偏轴工程弹性常数定义 可分别设：①σx≠0，σy=τxy=0； ②σy≠0，σx=τxy=0； ③τxy≠0，σx=σy=0。 三种情况来定义单层的 偏轴工程弹性常数。 第一种情况时，由偏轴应变－应力关系式（2-30），可得：
所以，单层的偏轴工程弹性常数与柔量分量之间的关系：所以，单层的偏轴工程弹性常数与柔量分量之间的关系： 反过来，可以写出以偏轴工程弹性常数表示偏轴柔量分量 的关系式。 类似地可求得第二种、第三种情况，书中公式（2－54）、 （2－55）。 由于柔量分量的对称性Sij=Sji, 所以偏轴工程弹性常数具有 如下关系式：
2、偏轴工程弹性常数的转换关系 由正轴工程弹性常数可求出偏轴工程弹性常数的转换关系： 公式（2－58）。 注意：单层的各个偏轴工程弹性常数的最大值与最小值并不一定发生在材料主方向上，要具体材料具体分析。极值分析是作出这种分析的一种重要方法。 根据偏轴工程弹性常数随θ的变化曲线，可以简单地判断复合材料在单轴应力或纯剪应力时的变形形状。如图2－8。
3、偏轴工程弹性常数与偏轴模量的关系 偏轴工程弹性常数是单轴应力或纯剪应力下定义的一些 系数。 偏轴模量是平面应力状态下应力－应变关系中的一些系 数。 可以将单轴应力或纯剪应力看作平面应力状态的特殊情 况，得到偏轴工程弹性常数与偏轴模量的关系式。 例2.4 例2.6
2.3单层的强度 2.3.1 单层的基本强度 单层的4个工程弹性常数（EL，ET，VL，GLT）和5个 基本强度（Xt，Xc，Yt，Yc，S），一般统称为复合材料的 9个工程常数。
2.3.2 单层的失效准则 单层的失效准则是以判别单层在偏轴向应力作用或平 面应力状态下是否失效的准则。 1.最大应力失效准则 σ1＝Xt （压缩时 | σ1 |＝Xc） σ2＝Yt （ 压缩时 | σ2 | ＝Yc ） | τ12 | ＝S 当单层在平面应力的任何应力状态下，单层正轴向的任何 一个应力分量达到极限应力时，单层就失效。
2. 最大应变失效准则 ε1＝ εxt （ |ε1|＝ εxc） ε2＝ εYt （ |ε2|＝εYc） |γ12|＝γs 同样，当单层在平面应力的任何应力状态下,单层正轴 向的任何一个应变分量到达极限应变时，单层失效。 根据材料线弹性假设，失效准则中的极限应变与基本 强度的对应关系：
根据上面的公式（2-80），可将最大应变失效准则改写成用应力和基本强度表达的形式：根据上面的公式（2-80），可将最大应变失效准则改写成用应力和基本强度表达的形式： 将上式与最大应力失效准则比较可知，最大应变失效准则中考虑了另一弹性主方向应力的影响。如果泊松耦合系数值很小，这一影响则很小。
3、蔡－希尔（ Tsai-Hill)失效准则 单层的蔡－希尔失效准则由下式表示： 蔡－希尔失效准则将基本强度X、Y、S联系在一个表达式中，考虑了它们之间的相互影响。但是，对于拉、压强度不同的材料，这一失效准则不能用一个表达式同时表达拉、压应力的两种情况。
4、霍夫曼（Hoffman） 失效准则 对于拉、压强度不同的材料可用同一表达式给出。
5、蔡－胡（ Tsai-Wu） 失效准则 单层的蔡－胡失效准则由下式表示： 当材料的拉、压强度相等时，蔡－胡与蔡－希尔失效 判据相当，只是σ1 σ2项的系数不同，前者为2F12，后者为 －1/X2。所以蔡－胡失效准则更具有普遍性，且考虑了σ1σ2 项系数的正确取值。
2.3.3 单层的强度比方程 • 强度比的定义 • 单层在作用应力下，极限应力的某一分量与其对应的作用 • 应力分量之比值称为强度 /应力比，简称强度比，记为 R，即 强度比R取值的含义： （1）R=∞表明作用的应力为零； （2）R>1表明作用应力为安全值，R-1表明作用应力到单层失 效时尚可增加的应力倍数；
（3）R=1表明作用的应力正好达到极限值； （4）R<1表明作用应力超过极限应力，所以没有实际意义。但 设计计算中出现R<1仍然是有用的，它表明必须使作用应力下降， 或加大有关结构尺寸。 2. 强度比方程 利用强度比定义式，各种失效准则表达式均可变成其对应 的强度比方程。 蔡－胡失效准则其对应的强度比方程为： 上式为一元二次方程，可对R求解。 例题：2.7 例题：2.8
2.4 单层的三维应力－应变关系 前面讨论单层的刚度与强度都是基于单层为平面应 力状态下的应力－应变关系。 本节将讨论单层的三维应力－应变关系，以及它与 平面应力状态下应力－应变关系之间的联系。 2.4.1单层的一般三维应力－应变关系 在线弹性、小变形的情况下，单层在任意符合右手 螺旋规则的坐标系xyz下（图2－13），仿照平面应力状 态下利用叠加原理得到应变－应力关系，推广到具有三 维应力状态的情况，得到单层的一般三维应变－应力关 系式：
图2－13 在任意坐标系xyz下的单层 或简写成 式中Sij称为三维柔量分量。
反知，单层的一般三维应力－应变关系式： 或简写成 式中Cij称为三维模量分量。 显然，三维模量分量构成的矩阵与三维柔量分量构成的矩 阵是互逆的，即
模量分量与柔量分量均称为弹性系数，在线弹性的情况下，模量分量与柔量分量均称为弹性系数，在线弹性的情况下， 所以弹性系数实际为21个。 2.4.2 单层的正轴三维应力－应变关系 当xyz坐标系正好位于具有正 交各向异性的单层的主方向上，将 坐标轴x、y、z改为1，2，3，且 1、2为单层面内主方向（约定1轴 为刚度较大的主方向），3为垂直单 层面的轴（图2－14），那么，一点 处的线应变ε1、ε2、ε3只与该点处 的正应力σ1、σ2、σ3有关，而与剪 应力无关。同样，该点处的剪应变 图2－14 在正轴坐标系123下的单层
γ1、γ2、γ3分别仅与剪应力有关，而与正应力无关。所以单γ1、γ2、γ3分别仅与剪应力有关，而与正应力无关。所以单 层正轴三维应变－应力关系式为： 或简写成 式中Sij称为三维正轴柔量分量，三维正轴柔量分量的 如下各分量为零。
若上述应变－应力关系式改为用应变表示应力，即得单层的正轴三维应力－应变关系式：若上述应变－应力关系式改为用应变表示应力，即得单层的正轴三维应力－应变关系式： 式中Cij称为三维正轴模量分量，正轴模量分量与正轴柔量分 量均称为正轴弹性系数。 类似于式（2－95） 与（2－96），有 所以独立的正轴弹性系数为9个。
2.4.3 横向各向同性单层的正轴三维应力－应变关系式 单层中的无纬单层通常具有横向各向同性的性能，即垂直 于纤维的平面为各向同性面（如图2－14的2－3面）。 由于横向各向同性，所以 因此，横向各向同性单层独立的正轴弹性系数减至为5个。 横向各向同性单层的正轴三维应变－应力关系式可写为：
2.4.4 单层的偏轴三维应力－应变关系式 对于与单层面内主方向1、2成铺层角θ的x、y轴情况， 此时Z轴与主方向3仍相同，则可以证明，三维的应变－应力 关系式为如下形式:
而应力－应变关系式为： 由于单层对3轴对称，单层在偏轴下的弹性系数为13个。 2.4.5 与平面应力状态的关系 单层按平面应力状态进行分析时， 在偏轴下（z轴与主方向3仍相同），由公式（2－111），得 只考虑σx、σy、τxy等面内应力分量。
由式（2－111）得 代入式（2－111）的σx式中得 将上式与偏轴应力－应变关系比较，可知 上式表明，单层的偏轴模量分量与三维的模量分量是不同 的，存在式（2－117）的关系式。
但通过（2－110）我们可以推导平面应力状态的柔量但通过（2－110）我们可以推导平面应力状态的柔量 分量仍为Sij。
2.4.6 单层的三维工程弹性常数 单层的三维工程弹性常数是单层在三维情况下，由单轴应力或纯剪应力确定的刚度性能参数。 以单层的正轴情况为例： 定义2轴的拉压弹性模量： 类似地，可推出1、3主方向上的拉压弹性模量及剪切弹性模量。 例2.9 例2.10
