第三章 指數與對數

1. 第三章指數與對數 習題 3-5 指數與對數的應用

2. 一、觀念題 對的在題號前打「  」, 錯的在題號前打「  」. 設 為正數 x 的科學記號, 則 且 n 為整數. 若 , 則 logx 的首數為 , 尾數為0.4231. • 解： • 解析： 若 為正數 x 的科學記號中, 則n必須為整 數, 且 .  log x的首數為 , 尾數為0.5769. 

3. 一、觀念題 對的在題號前打「  」, 錯的在題號前打「  」.  log1.37 與 log13700 的尾數相同. • 解：  • 解析：  , 所以log1.37 與 log13700的尾數相同.

4. 一、觀念題 對的在題號前打「  」, 錯的在題號前打「  」. 設 log a 的尾數是 log b的尾數的2倍, 則 log b的尾數小於 . • 解：　 • 解析： 因為尾數必須不小於 0 且小於 1,令 logb的尾數為 d, 因 loga 的尾數為 logb 的尾數的 2 倍, 則 loga 的尾數為 2d, 所以 , 故  

5. 一、觀念題 對的在題號前打「  」, 錯的在題號前打「  」. 若logx2與 的尾數相同, 則logx3為整數. • 解：  • 解析： log x2 與 的尾數相同, 則 為整數,所以log x3為整數.

6. 一、觀念題 對的在題號前打「  」, 錯的在題號前打「  」. 若 , 其中n為正整數, 且則 x 的整數部分的位數有 位. • 解：  • 解析： 若 , 其中 n 為正整數, 且 ,則 , 且所以 x 的整數部分的位數有 位.

7. 一、觀念題 對的在題號前打「  」, 錯的在題號前打「  」. 若 , 其中n為負整數, 且 則x為純小數, 且小數點後第 位始出現不為 0 的 數字. • 解：  • 解析： 若 , 其中n為負整數, 且,則 , 所以x為純小數, 且小數點後第 位始出現不為 0 的數字.

8. 一、觀念題 對的在題號前打「  」, 錯的在題號前打「  」. 若 x 為 m 位正整數, 則 若 x 為純小數, 且自小數點後第 m 位始出現不為 0 的數字, 則 　 • 解： • 解析： 若x為m位正整數, 則 　 , 所以 若x為純小數且自小數點後第m位始出現不為 0 的數字, 所以 logx 的首數為 , 故　 

9. 二、基礎題 1.利用對數表, 寫出下列對數值： log5.46.log27.3.log0.0436. • 解：   

10. 二、基礎題 2.利用對數表, 求(2.7)100乘開後的整數部分是幾位數？又其最高位數字為何？ • 解： • 因為 • 又 • 得 • 所以 • 故(2.7)100乘開後的整數部分為44位數, 且最高位數字為1.

11. 二、基礎題 3. 表成小數時, 在小數點後第幾位數字開始不為0？又此不為0的數字為何？ • 解： • 因為

12. 二、基礎題 3. 表成小數時, 在小數點後第幾位數字開始不為0？又此不為0的數字為何？ • 解： • 又 • 得 • 所以 • 故 表成小數時, 在小數點後第 9 位始出現不為 0 的數字 6.

13. 二、基礎題 4.已知47100為168位數, 試問4727是幾位數？ • 解： • 因為47100為168位數, • 所以 • 於是知 • 因此得 • 即 • 所以 log4727 的首數為 45 , 故 4727 是 46 位數.

14. 二、基礎題 5.在1999年6月1日, 數學家利用電腦驗證出是一個質數. 若想要列印此質數至少需要多少張A4紙？假定每張A4紙可列印出3000個數字. 在下列選項中, 選出最接近的張數.（已知 ）(A)50(B)100(C)200(D)500(E)700. 【89推甄】

15. 二、基礎題 • 解： • 因為 • 而 • 所以 • 又2的乘冪的個位數會由「2, 4, 8, 6」每4個循環一次, 所以 26972593 的個位數字為2, • 故 與 26972593 均為 2098751 位數 • 又 • 故想要列印此質數至少需要700張A4紙, 所以選(E).

16. 二、基礎題 6.設某項新試驗中, 細菌數一日後增加 k 倍, 且已知3日後細菌數為600,000, 日後細菌數為19200,000, 試求 k 值. • 解： • 設原有細菌數為 , x日後細菌數為f(x), • 由題意知 • 且 

17. 二、基礎題 6.設某項新試驗中, 細菌數一日後增加 k 倍, 且已知3日後細菌數為600,000, 日後細菌數為19200,000, 試求 k 值. • 解： • 所以 • 於是得 • 故知 

18. 二、基礎題 6.設某項新試驗中, 細菌數一日後增加 k 倍, 且已知3日後細菌數為600,000, 日後細菌數為19200,000, 日後細菌數為多少？ • 解： 

19. 二、基礎題 6.設某項新試驗中, 細菌數一日後增加k倍, 且已知3日後細菌數為600,000, 日後細菌數為19200,000, 幾日後細菌數為9600,000？ • 解： • 設t日後細菌數為9600000, 則 

20. 二、基礎題 6.設某項新試驗中, 細菌數一日後增加k倍, 且已知3日後細菌數為600,000, 日後細菌數為19200,000, 幾日後細菌數為9600,000？ • 解： • 所以 • 得 • 故知 

21. 二、基礎題 7.阿源將一百萬元以定期存款存入銀行, 年利率為1.8%, 每年複利計息一次, 試問至少幾年（取整數）後, 阿源可得本利和兩百萬元？ • 解： • 設 n 年後阿源可得本利和為Pn, 則 • 所以　

22. 二、基礎題 7.阿源將一百萬元以定期存款存入銀行, 年利率為1.8%, 每年複利計息一次, 試問至少幾年（取整數）後, 阿源可得本利和兩百萬元？ • 解： • 故至少40年後, 阿源可得本利和超過兩百萬元.

23. 三、進階題 1.假設世界人口自西元1980年起, 五十年內每年的增長率均固定. 已知西元1987年7月11日世界人口達50億人（聯合國將7月11日定為「世界人口日」）, 1999年第60億人誕生在東歐賽拉耶佛. 試根據上述資料, 推估在哪一年, 世界人口將達70億人？ • 解： • 設每年的增長率為r, 由已知得 • 設西元 n 年世界人口將達 70 億人, 則

24. 三、進階題 1.假設世界人口自西元1980年起, 五十年內每年的增長率均固定. 已知西元1987年7月11日世界人口達50億人（聯合國將7月11日定為「世界人口日」）, 1999年第60億人誕生在東歐賽拉耶佛. 試根據上述資料, 推估在哪一年, 世界人口將達70億人？ • 解： • 所以 • 兩邊取常用對數得 • 整理得　

25. 三、進階題 1.假設世界人口自西元1980年起, 五十年內每年的增長率均固定. 已知西元1987年7月11日世界人口達50億人（聯合國將7月11日定為「世界人口日」）, 1999年第60億人誕生在東歐賽拉耶佛. 試根據上述資料, 推估在哪一年, 世界人口將達70億人？ • 解： • 所以, • 故推估在西元2010年, 世界人口將達70億人.

26. 三、進階題 2.根據統計資料, 在 A 鎮裡, 某件訊息發布後, t 小時內聽到該訊息的人口占全鎮人口的 , 其中 k 是大於 0 的常數.今有某項訊息, 發布 3 小時內已經有 70% 的人口聽到此訊息, 試問最快要多少小時（四捨五入至小數第一位）才能使全鎮99% 的人口聽到該訊息？ • 解： • 由已知得 • 所以 , 即 • 設 t 小時可使全鎮 99% 的人口聽到該訊息,

27. 三、進階題 2.根據統計資料, 在 A 鎮裡, 某件訊息發布後, t 小時內聽到該訊息的人口占全鎮人口的 , 其中 k 是大於 0 的常數.今有某項訊息, 發布 3 小時內已經有 70% 的人口聽到此訊息, 試問最快要多少小時（四捨五入至小數第一位）才能使全鎮99% 的人口聽到該訊息？ • 解： • 則 , 化簡得　 • 由指數律得 , 即 • 兩邊取常用對數得

28. 三、進階題 2.根據統計資料, 在 A 鎮裡, 某件訊息發布後, t 小時內聽到該訊息的人口占全鎮人口的 , 其中 k 是大於 0 的常數.今有某項訊息, 發布 3 小時內已經有 70% 的人口聽到此訊息, 試問最快要多少小時（四捨五入至小數第一位）才能使全鎮99% 的人口聽到該訊息？ • 解： • 所以 • 故最快要11.5小時才能使全鎮 99% 的人口聽到該訊息. End