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数学实验

数学实验. Matlab 符号运算 ( 一 ). Matlab 符号运算介绍. Matlab 符号运算是通过 符号数学工具箱 （ Symbolic Math Toolbox） 来实现的。 Matlab 符号数学工具箱是建立在功能强大的 Maple 软件的基础上的，当 Matlab 进行符号运算时，它就请求 Maple 软件去计算并将结果返回给 Matlab。.

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Presentation Transcript

  1. 数学实验 Matlab符号运算 (一)

  2. Matlab 符号运算介绍 • Matlab 符号运算是通过符号数学工具箱（Symbolic Math Toolbox）来实现的。Matlab 符号数学工具箱是建立在功能强大的 Maple 软件的基础上的，当 Matlab 进行符号运算时，它就请求 Maple 软件去计算并将结果返回给 Matlab。 • Matlab 的符号数学工具箱可以完成几乎所有得符号运算功能。主要包括：符号表达式的运算，符号表达式的复合、化简，符号矩阵的运算，符号微积分、符号作图，符号代数方程求解，符号微分方程求解等。此外，该工具箱还支持可变精度运算，即支持以指定的精度返回结果。

  3. Matlab 符号运算特点 • 计算以推理方式进行，因此不受计算误差累积所带来的困扰。 • 符号计算可以给出完全正确的封闭解，或任意精度的数值解（封闭解不存在时）。 • 符号计算指令的调用比较简单，与数学教科书上的公式相近。 • 符号计算所需的运行时间相对较长。

  4. Matlab 符号运算举例 • 求一元二次方程 ax2 + bx + c = 0的根 >>solve('a*x^2+b*x+c') • 求的根 f (x) = (cosx)2的一次导数 >>x=sym('x'); >>diff(cos(x)^2) • 计算 f (x) = x2在区间 [a, b]上的定积分 >>syms a b x; >>int(x^2,a,b)

  5. 符号对象与符号表达式 • 在进行符号运算时，必须先定义基本的符号对象，可以是符号常量、符号变量、符号表达式等。符号对象是一种数据结构。 • 含有符号对象的表达式称为符号表达式，Matlab 在内部把符号表达式表示成字符串，以与数字变量或运算相区别。 • 符号矩阵/数组：元素为符号表达式的矩阵/数组。

  6. 符号变量=sym(A) 参数 A可以是一个数或数值矩阵，也可以是字符串 例： >>a=sym('a') a是符号变量 b是符号常量 c是符号矩阵 符号对象的建立 • 符号对象的建立：sym和 syms • sym函数用来建立单个符号量，一般调用格式为： >>b=sym(1/3) >>c=sym('[1 ab; c d]')

  7. 例： >>syms a b c 符号对象的建立 • 符号对象的建立：sym和 syms • syms命令用来建立多个符号量，一般调用格式为： syms 符号变量1 符号变量2 ... 符号变量n >>a=sym('a'); >>b=sym('b'); >>c=sym('c');

  8. 符号表达式的建立 • 符号表达式的建立： 建立符号表达式通常有以下2种方法： (1) 用 sym函数直接建立符号表达式。(2) 使用已经定义的符号变量组成符号表达式。 例： >>y=sym('sin(x)+cos(x)') >> x=sym('x'); >>y=sin(x)+cos(x)

  9. 符号方程的建立 • equ=sym(‘equaion’) 符号方程的建立只有一种 eq1=sym(‘5*x=6+a’) eq1= 5*x=6+a

  10. 符号矩阵的创建 • 1. 利用 sym 直接创建。 • 2. 利用 syms 间接创建。 • 3. 由数值矩阵转化为符号矩阵。 例： M=[1 2；3 4]； S=sym(M) S= [1 2] [3 4]

  11. 2.5 数值变量、符号变量、字符变量的相互转化

  12. 1. x=double(s) 转换s为双精度型数值变量x。 • 2. x=str2num(s) 把字符串变量s转化为数值变量x。 • 3. x=numeric(s) 转换s为数值变量x。

  13. 4. x=sym(s) 转化s为符号变量x。 • 5. s=int2str(x) 将数x转换为字符变量s。 • 6. s=num2str(x) 将普通数值变量x转换为字符变量s。

  14. 2.6 调用Maple的符号计算能力

  15. 1.maple(maplestatement) 可以调用maple函数库中非图像处理的所有函数。 • 2.maple(‘function’,a1,a2,a3,…) 调用maple函数库中的函数function，其中a1,a2,a3 是function参数。

  16. 例1 求递推方程 见书上46页。 • 例2 求泰勒近似值 见书上46页。

  17. 2.7 图形化的符号函数计算器 符号函数计算器是由funtool.m 文件生成的，在命令窗口输入funtool 即可打开符号函数计算器。

  18. 基本运算符 • 普通运算：+、-、*、\、/、^ • 数组运算：.*、.\、./、.^ • 矩阵转置：'、.' 例： >> X=sym('[x11,x12;x21,x22;x31,x32]'); >>Y=sym('[y11,y12,y13;y21,y22,y23]'); >>Z1=X*Y; Z2=X'.*Y; 符号对象的基本运算 Matlab 符号运算采用的运算符和基本函数，在形状、名称和使用上，都与数值计算中的运算符和基本函数完全相同

  19. 符号对象的基本运算 • 基本函数 三角函数与反三角函数、指数函数、对数函数等

  20. 查找符号变量 • 查找符号表达式中的符号变量 findsym(expr)按字母顺序列出符号表达式 expr中的所有符号变量 findsym(expr, N)列出 expr中离 x最近的 N个符号变量 若表达式中有两个符号变量与 x的距离相等， 则ASCII 码大者优先。 常量 pi,i,j不作为符号变量

  21. findsym 举例 例： >>f=sym('2*w-3*y+z^2+5*a') >>findsym(f) >>f=sym(f,3) >>f=sym(f,1)

  22. 符号表达式的替换 • 用给定的数据替换符号表达式中的指定的符号变量 subs(f,x,a) 用 a替换字符函数f中的字符变量 xa是可以是 数/数值变量/表达式 或 字符变量/表达式 若 x是一个由多个字符变量组成的数组或矩阵， 则 a应该具有与 x相同的形状的数组或矩阵。

  23. 下面的命令运行结果会是什么？ >>subs(f3,[x,y],[x+y,x+y]) subs 举例 • 例：指出下面各条语句的输出结果 f=2*u >>f=sym('2*u'); >>subs(f,'u',2) >>f2=subs(f,'u','u+2') >>a=3; >>subs(f2,'u',a+2) >>subs(f2,'u','a+2') >>syms x y >>f3=subs(f,'u',x+y) >>subs(f3,[x,y],[1,2]) ans=4 f2=2*(u+2) ans=14 ans=2*((a+2)+2) f3=2*x+2*y ans=6

  24. 上机作业 • 指出下面的M1，M2，M3分别是什么，并上机验证。 >>a=1; b=2; c=3;d=4; >>M1=[a,b;c,d]; >>M2='[a,b;c,d]'; >>M3=sym('[a,b;c,d]'); • 下面语句计算出来的 c1，c2相等吗，为什么？上机验证。 >>a1=1e10; b1=1e-10; >>c1=(a1+b1-a1)/b1; >>a2=sym(a1); b2=sym(b1); >>c2=(a2+b2-a2)/b2; 补充：class(x)查看指定变量 x 的类型

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