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数据建模. 拟合与回归. 罗 汉. ( 湖南大学 数学与计量经济学院 ). 线性最小二乘法. 一 . 拟合. 设有变量 x , y ，根据它们的一组数据 ( x i , y i ) ,i =1,2, … , n ，视为平面上的 n 个点，寻求一个函数 y = f ( x ) ，使 y = f ( x ) 在某种准则下与所有的数据点 ( x i , y i ) 总体上最接近。. 设变量 x , y ， 数据 ( x i , y i ) , i =1, 2, … , n ，.
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数据建模 拟合与回归 罗 汉 ( 湖南大学 数学与计量经济学院)
线性最小二乘法 一.拟合. 设有变量x, y，根据它们的一组数据(xi, yi) ,i=1,2, …,n，视为平面上的 n 个点，寻求一个函数 y=f (x)，使 y= f (x)在某种准则下与所有的数据点(xi, yi)总体上最接近。 设变量x, y，数据(xi, yi) , i =1, 2, …, n， 考虑 y= a +bx,a, b为待定系数 Q(a, b)= min
即 其中 Q(a, b)= min 令 解得 y = a +bx 故得到
Q(b1,b2 ,…,bm)= 一般地，选定一组函数rk(x), k = 1,2, …,m，令 f (x)=b1r1(x)+ b2r2(x) +… + bmrm(x) 其中bk是待定系数, k = 1,2, …,m min 当 {r1(x), r2(x) ,…, rm(x)} 线性无关时，R列满秩，故RTR可逆，
二、回归. 称为y对x的回归函数 其中e为随机误差 经验回归方程 回归分析 (1)建立回归模型(经验方程) (2)对回归模型可信度进行检验 (3)判断自变量 x 对 y 的影响是否显著 (4)诊断回归模型是否适合这组数据 (5)利用模型进行预报和控制
三、一元线性回归模型. y =a + bx + e 得yi=a + bxi+ ei 对n 组数据 ( xi , yi) i =1,2, …, n (2) Var( ei) = 2； 假设 (1) E( ei ) = 0； (3) Cov( ei,ej ) = 0，i j； (4) Cov( ei,Xi ) = 0； (5) e ~ N (0,2). OLS估计:min Q(a, b)= 得 故得
记 则 且有 回归模型的统计检验： (1) 回归系数的显著性检验 ( t 检验 ) H0: b = 0. 检验统计量 拒绝域
(2) 回归方程的显著性检验 ( F 检验 ) H0: b = 0. 检验统计量 拒绝域 (3) 拟合优度检验 样本决定系数
例1.我国的人均消费和国民收入. 我国1981年到1993年我国的人均消费金额和人均国民收入的统计资料如下（单位：人民币元；资料来源：《中国统计年鉴1993》）
例3.温度对红铃虫产卵的影响. 一只红铃虫的产卵数y (枚)与温度 x (ºC)有关，一组抽样的统计数据如下：
三、多元线性回归模型. y =b0+ b1x1 + b2x2 + … + bkxk+e 对 n 组数据 (xi1, xi2, …, xik , yi) i =1,2, …, n 记 Y = Xb + e 假设 (1) E(e) = 0； (2) E(eeT ) = 2I； OLS估计: min Q(b)=|| Y –Xb ||2 (3) E(XTe) = 0； 得 (4) rank(X) = k+1； (5) e ~ N (0,2I ).
设理论模型 OLS估计
