中考命题研究

中考命题研究 宁波市教育局教研室杨一丽

一、命题背景 初中学业考试应坚持以人为本的理念，反对考机械记忆，不能出技巧性、竞赛类的偏题、怪题。同时，尽可能体现课程标准所倡导的知识与技能，过程与方法，情感、态度、价值观等三维目标的要求

明确提出： 　　一是难度系数不小于0.7；　　二是试卷是否较好地体现了新课程改革的理念。

2009--2012年中考命题基本立意

全面考查学生的认知水平。 • 全面考查基础知识和基本技能。 • 突出考查主要的数学思想和方法。 • 尝试考查基本的数学活动经验。

细化： 1．着重考查数学的基础知识、基本技能、基本的数学思想方法，并注重通性通法，淡化特殊技巧，杜绝人为编造的、繁难的计算题和证明题； 2．加强对数学应用意识和用数学观点分析解决问题能力的考查，问题设计应体现时代要求，贴近生活实际，杜绝非数学本质的、似是而非的试题； 3．适当体现对动手实践能力和数学探究能力的考查。

二、命题原则 • 1. 公平性原则试题对全体学生而言都应该是公平的，包括试题的背景、素材、题型等诸多方面。套用陈题，就容易引发学生之间的不公平竞争和题海战术的盛行，产生导向性错误，降低考试的信度。

2．适标性原则 新题相对其他试题较来说，容易产生超前超纲现象。因此命题要严格依据《课程标准》和《考试说明》，充分考虑学生的认知水平和现有的知识基础，控制“开放度”，防止把高中阶段才出现的知识以“新概念”的形式引入，加重学生负担却达不到考查的效度，误导正常的数学教学工作。

3. 可探性原则 试题是以考查学生的学习能力、探究能力、应用能力和创新意识为重要的目的，所以试题应具有进行深入学习、探究的可能性。题目中问题的设计应能够激发学生深层次的思考，同时又要注意避免背离数学的本源而追求形式上的“无谓探索”，影响试题的效度。

4.关联性原则 试题应该是现实的、富有挑战性的，同时还应该具有良好的数学内涵。数学知识是一个有机的整体，试题应与初中数学的核心内容和思想方法紧密关联，而且一定程度上可将原有的知识体系掘深拓宽，这有利于学生对数学的整体认识，也能优化学生的思维品质，提高学生的数学思维能力。

三、典型题例 • 【2011宁波卷25题】（以下省略了原试卷中的情景图案）例1 阅读下面的情景对话，然后解答问题：老师：我们新定义一种三角形，两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形．小华：等边三角形一定是奇异三角形！小明：那直角三角形中是否存在奇异三角形呢？（1）根据“奇异三角形”的定义，请你判断小华提出的命题：“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题还是假命题？（2）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB=c，AC=b，BC=a，且，若Rt△ABC是奇异三角形，求a:b:c；

（3）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点(不与点A、B重合)，D是半圆ADB的中点，C、D在直径AB两侧，若在⊙O内存在点E，使得AE=AD，CB=CE．（3）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点(不与点A、B重合)，D是半圆ADB的中点，C、D在直径AB两侧，若在⊙O内存在点E，使得AE=AD，CB=CE． ① 求证：△ACE是奇异三角形； ② 当△ACE是直角三角形时，求∠AOC的度数．

编拟思路： • 本题原计划是想编拟一道勾股定理引申的拓展题，但在编拟中发现直角三角形的三边关系以及面积已被挖掘很多，难有新意，因此决定选择探索三边有特殊联系的其他三角形。于是关于“奇异三角形”的想法就诞生了。根据双向细目表，结合了圆的知识内容。

是奇异三角形 即得△ 或的度数为可得

评析： • 试题以奇异三角形为背景，将等边三角形、直角三角形、圆等初中数学的核心内容巧妙地融合起来，学生在完成试题的过程中经历了学习新知、辨析新知、应用新知三个环节。试题成功地跳出勾股定理的局限且设计的对话情景新颖活泼。

A E D C B 【2011宁波卷17题】（第17题）如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内两点，AD平分∠BAC,∠EBC=∠E=60°，若BE=6cm，DE=2cm，则BC= ▲ cm．

C .O 8 A B 12 折线题型（2010芜湖） 9、如图所示，在圆⊙O内有折线OABC，其中OA＝8，AB＝12，∠A＝∠B＝60°，则BC的长为（） A．19 B．16 C．18 D．20

评析： • 本题摒弃了对“等腰三角形”性质的常规考法，通过对图形的简单设计(不完整性)，要求学生能根据图形的特征，进行图形的构造（使其完善），即分别延长线段ED、AD，再利用等腰三角形、直角三角形的性质解决问题。其呈现方式新颖独特，不仅考查了基本知识，而且也考查了学生的思维能力 .

图1 图2 n m （第12题）把四张形状大小完全相同的小长方形卡片(如图①)不重叠地放在一个底面为长方形(长为m cm，宽为n cm)的盒子底部(如图②)，盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图②中两块阴影部分周长和是 • (A)4mcm (B)4n cm (C) 2(m+n) cm (D)4(m-n) cm

本题属于国际上较为流行的PISA题，是对一道PISA原题的重新挖掘和再创造，它具有PISA题的三个明显特征：情景、运用、思维。本题通过对实际问题的解决，考查学生的数学分析能力与数学基本素养，其中蕴含了初中数学中两种重要的数学思想——整体思想和方程思想，是融PISA理念和初中数学思想于一体的经典范例。本题属于国际上较为流行的PISA题，是对一道PISA原题的重新挖掘和再创造，它具有PISA题的三个明显特征：情景、运用、思维。本题通过对实际问题的解决，考查学生的数学分析能力与数学基本素养，其中蕴含了初中数学中两种重要的数学思想——整体思想和方程思想，是融PISA理念和初中数学思想于一体的经典范例。

“类比”本身是一种创造性的数学思想方法，又是一种常见的拓展策略。波利亚曾说过：“类比是个伟大的领路人。”成功编拟试题需要准确分析和把握住其间的类比关系“类比”本身是一种创造性的数学思想方法，又是一种常见的拓展策略。波利亚曾说过：“类比是个伟大的领路人。”成功编拟试题需要准确分析和把握住其间的类比关系

压轴题出台过程 作为压轴题，应该满足三个要求 ①不是重题，要有新意 ②包含足够多的核心知识、核心方法 ③问题设置要有梯度、层次，体现不同程度的学生的情况。整个过程分为选材、粗磨、细磨、定型四个阶段

【2010宁波卷26题】 如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，菱形ABCD的边AB在x轴上，点D在y轴上，已知∠DAB=60°，OA=2，抛物线与菱形ABCD的边AD交于点E，与x轴交于点F，直线EF交y轴于H，交CD边于G点，连结OE （1）请直接写出点C，F的坐标（2）求直线EF的解析式（3）将△OEF沿射线OE所在直线翻折，点F能否与点G重合？请说明理由（4）若△OEF沿射线FG方向以每秒个单位长度的速度平移，直到点F与点H重合时停止。设△OEF与梯形OBCD重合部分的面积为S，求S关于平移时间t的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围 G D C E H F A O B

编制本题的主要原因是：本题包含一次函数、二次函数、图形变换、三角形全等等相关知识点及分类讨论、数形结合等主要的思想方法，然而本题有下列缺点：编制本题的主要原因是：本题包含一次函数、二次函数、图形变换、三角形全等等相关知识点及分类讨论、数形结合等主要的思想方法，然而本题有下列缺点：（1）原二次函数在后续问题中未使用，各问题间递进关系不明显，（2）第(4)问题求出S关于t的关系式后不再使用，给人以意犹未尽的感觉。

方案一：不改变题目，增加一问，考查与抛物线有联系的平移、旋转问题方案一：不改变题目，增加一问，考查与抛物线有联系的平移、旋转问题 (5)若将△OEF绕着点O顺时针旋转α度，当△OEF的一边与菱形ABCD的一边垂直时，请直接写出直线OF与抛物线除原点外的交点坐标思考：虽然使得抛物线的后续使用问题得到解决，题量增加，难度有所增加，第(5)小题与前面各小题缺少递进关系有拼凑痕迹，本方案被否决。

（4）若△OEF沿射线FG方向以每秒 个单位长度的速度平移，直到点F与点H重合时停止。设△OEF与梯形OBCD重合部分的面积为S，（1）求S关于平移时间t的函数关系式（2）直接写出当重叠部分与△OEF相似时直线OF与抛物线对称轴交点的纵坐标h的范围方案2：对第（4）问补充与抛物线相关的问题思考：如此改变内容丰富了，且抛物线后续使用的问题也得到解决，但第(2)问的引出不够自然，依然有拼凑痕迹。因此决定在保留原图形模型条件下，另起炉灶，与其它核心知识方法结合，修改问题，于是又提出了以下的方案。

方案3：题目保留图形模型，问题选择从“三角形全等”入手，涉及“三角函数”等相关核心知识。方案3：题目保留图形模型，问题选择从“三角形全等”入手，涉及“三角函数”等相关核心知识。

G D C E H F A O B (3)将△OEF沿OE所在直线翻折，点F落在F1 ①点F的坐标为（-4,0）时，求出直线l的解析式，并判断F1，G两点是否重合？说明理由 ②如图2，当∠GEF1=30°时，求线段AF的长 ③能否以E、F1、G三点为顶点构成直角三角形？如果能，直接写出点F的坐标

思考：增加了核心知识、核心方法的覆盖量，但题设条件显示不足，需要借助图形以定位图形中各点的位置；最后一问难度不够，不足以区分学生程度。最终命题组决定跳出前面各个方案的局限，另辟蹊径。思考：增加了核心知识、核心方法的覆盖量，但题设条件显示不足，需要借助图形以定位图形中各点的位置；最后一问难度不够，不足以区分学生程度。最终命题组决定跳出前面各个方案的局限，另辟蹊径。

方案4：题目保留图形模型，问题选择从“三角形相似”入手方案4：题目保留图形模型，问题选择从“三角形相似”入手

G D C E H F A O B 如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，菱形ABCD的边长为4，边AB在x轴上，OD= ，OA=2,E为AD的中点，过E的直线l与菱形ABCD的边CD所在的直线交于点G，与x轴交于点F，连结OE （1）求证：点D在y轴上（2）直接写出点C的坐标和∠DAB的度数

H (3)将△OEF沿OE所在直线翻折，点F落在F1，当直线EF1与直线CD有交点时，记交点为H，如图2 ①点F的坐标为（-4,0）时，求出直线l的解析式，并判断F1，G两点是否重合？说明理由 ②如图2，当点G与点C重合时，求线段DH的长 ③当△EHG的面积为时，请直接写出点F的坐标 D H D C F1 E E A F O B A F O B F1 G C

思考：如此改变跳出了命题思维的局限性，让命题者自己也感到欣喜不已。方案4的立意明显高于前面的几个方案，特别是后两问明显使得题目的内涵增加，在思维层次上有了较大的提升，突出了对学生探究能力、创新能力的考查，体现压轴题的效度。尽管如此，方案4存在缺陷：第(3)小题的第①问与第(3)小题的条件没有直接联系，且问题数量太多，需要精简。思考：如此改变跳出了命题思维的局限性，让命题者自己也感到欣喜不已。方案4的立意明显高于前面的几个方案，特别是后两问明显使得题目的内涵增加，在思维层次上有了较大的提升，突出了对学生探究能力、创新能力的考查，体现压轴题的效度。尽管如此，方案4存在缺陷：第(3)小题的第①问与第(3)小题的条件没有直接联系，且问题数量太多，需要精简。

修改1：将第(3)小题的第①问移至第(2)小题，并且在第③问处规定点F在点A的左侧，这样考查的目的明确而简洁,符合条件的点F就减少为两个了。修改1：将第(3)小题的第①问移至第(2)小题，并且在第③问处规定点F在点A的左侧，这样考查的目的明确而简洁,符合条件的点F就减少为两个了。

思考：这样修改避免了没有多大意义的分类讨论（“点F在A点右侧”时的情况），由于题中“H是直线 与直线CD的交点”，点G在点H的左、右侧，考虑时还得分4种情况，而条件中的“如图2”又易引发理解上的歧义，学生会纠结是否需要分类讨论，这样导致学生思维的中心发生偏移，影响试题的效度。另外，对题设中需要借助图形以定位图形中D点位置的缺陷要进行修改。

修改2：针对以上思考，想到使用“射线”代替“直线”来降低最后小题的分类次数，即 “记直线与射线DC的交点为H” ,同时在①中规定“点G在点H的左侧”。修改至此后发现：原菱形中的边长信息已不再需要，于是可把菱形改为平行四边形, 然后对题目中的D点位置也进行了定位，试题最终得以定型。

如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，平行四边形ABCD的顶点A的坐标为（-2,0），点D的坐标为（0， ），B在x轴的正半轴上，E为AD的中点，过E的直线l与x轴交于点F，与射线DC交于点G （1）求∠DCB的度数（2）当点F的坐标为（-4,0）时，求点G的坐标 (3)连结OE，以OE所在的直线为对称轴，△OEF经轴对称变换后得到△OEF1，记直线EF1与射线DC的交点为H ①如图2，当点G在点H的左侧时，求证：△DHE∽ △DEG ②若△EHG的面积为时，请直接写出点F的坐标 H D F1 E G G D C E A F O B F O B 方案五：定型 A

思考：修改至此，一道亮丽的压轴题终于新鲜出炉，本题重点考查了平行四边形的性质、三角形的相似和全等、图形的对称、面积、坐标等核心知识，涉及了方程、数形结合、分类讨论的思想，并且利用对称巧妙地将代数与几何结合起来，充分体现了新课程的理念。各小题梯度明显，第（3）问为一些优秀学生提供展示自己的舞台，解决问题的关键是在图形的变化中发现角与角之间的关系，线段与线段之间的关系，要认清问题的实质就要求学生具有完整的知识储备和较高的思维能力。思考：修改至此，一道亮丽的压轴题终于新鲜出炉，本题重点考查了平行四边形的性质、三角形的相似和全等、图形的对称、面积、坐标等核心知识，涉及了方程、数形结合、分类讨论的思想，并且利用对称巧妙地将代数与几何结合起来，充分体现了新课程的理念。各小题梯度明显，第（3）问为一些优秀学生提供展示自己的舞台，解决问题的关键是在图形的变化中发现角与角之间的关系，线段与线段之间的关系，要认清问题的实质就要求学生具有完整的知识储备和较高的思维能力。

原问题的突破 • 再深入思考，题目条件中除了平行的条件外，平行四边形本身并不是必要的。去除这些因素，原题可变为下面更理想的形式(为便于与考题比较，以下不考虑字母顺序)：

y G D C E O F x A 如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标为(-2，0)，点D的坐标为 (0，)，直线DC//x轴，点E为线段AD的中点，过点E的直线与轴交于点F，与直线DC交于点G. (1)求∠DAO的度数；（后两问同考题）

命题时不仅要从知识、能力、思想方法层面考虑题目的综合性、新颖性、深刻性，同时要符合数学内在的规范性、科学性、严谨性，也要兼顾试题呈现的简洁性和艺术性。命题时不仅要从知识、能力、思想方法层面考虑题目的综合性、新颖性、深刻性，同时要符合数学内在的规范性、科学性、严谨性，也要兼顾试题呈现的简洁性和艺术性。

四、关于教学的几点建议 1、深入研究《课标》和《考纲》，准确把握复习方向关注考纲各板块的内容（包含考试范围、形式、目标、例卷、典型题目示例、评估练习）关注考纲的变化：新增或删减内容

（1）中考考试说明的制订 制订的依据：《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》《义务教育数学课程标准实验教科书 .数学》省、市教育局相关文件

（2）中考命题与考试说明 考试说明是中考命题的依据。考试说明相关问题是中考命题的素材。

（3）考试内容的变化 删除的内容 36.特殊四边形（11）探索并了解线段、矩形、平行四边形、三角形的重心及其物理意义（如一根均匀木棒、一块均匀的矩形模板的重心。（12）任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平面，并运用这几种图形进行简单的镶嵌设计。

删除的内容 42.投影全部内容 46.图形的相似（8）图形的位似；（9）利用位似将一个图形放大或缩小；

（3）考试内容的变化 改动的内容 40.尺规作图（5）对于尺规作图题，会写已知、求作、作法。（删除作法） 41.视图（6）了解并欣赏一些有趣的图形。（删除雪花曲线、莫比乌斯带）

关注考纲，加强研究 具体解法；拓展延伸；考查价值

2、追本求源，重视基础知识、基础题型的教学2、追本求源，重视基础知识、基础题型的教学复习一定要紧紧依据课本：明晰课本中的概念、法则、公式、定理，课本上的例题和习题要扎扎实实地过关，才能应用知识解决其它问题，真正地掌握解题思想和方法，达到“以不变应万变”的境界。试题中有一定数量的题直接来源于课本，或是课本习题的变式题或是适度延拓的引申题，如10年的第3， 7，16题；11年第8，15，23题；12年的第9，12，23题等。

（2010宁波） 23.小聪和小明沿同一条路同时从学校出发到宁波天一阁查阅资料，学校与天一阁的路程是4千米. 小聪骑自行车，小明步行，当小聪从原路回到学校时，小明刚好到达天一阁.图中折线O-A-B-C和线段OD分别表示两人离学校的路程s(千米)与所经过的时间t(分钟)之间的函数关系，请根据图象回答下列问题： (1)小聪在天一阁查阅资料的时间为 ▲ 分钟，小聪返回学校的速度为 ▲ 千米/分钟； (2)请你求出小明离开学校的路程 s(千米)与所经过的时间t(分钟)之间的函数关系式； (3)当小聪与小明迎面相遇时，他们离学校的路程是多少千米? 来源于八上课本163页作业题

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