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B-Trees y AVL Trees

B-Trees y AVL Trees. AVL Trees: Topicos. Balance en los Trees Chequear el Balance Insertar Single y Doble Rotaciones. Evitar malos Trees?. Idea #1. Los subarboles tienen la misma altura. Idea #2. Para todo nodo en el tree, los subarboles izq. y der. Tienen la misma altura. Rigidez.

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B-Trees y AVL Trees

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Presentation Transcript

  1. B-Trees y AVL Trees

  2. AVL Trees: Topicos Balance en los Trees Chequear el Balance Insertar Single y Doble Rotaciones

  3. Evitar malos Trees?

  4. Idea #1 • Los subarboles tienen la misma altura.

  5. Idea #2 • Para todo nodo en el tree, los subarboles izq. y der. Tienen la misma altura. • Rigidez

  6. AVL Trees • Binary search trees ABB, con una propiedad adicional. • Para todo nodo en el tree, la altura de los subarboles izq. y der. difieren en a lo más en 1 de altura.

  7. 5,x 3 4,x 1 2 2 3 1 1 0 0 2 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 Chequear Balance

  8. 7 4 3 9 2 6 5 8 3 5 8 4 6 7 9 3 8 2 5 6 12 4 7 4 5 9 18 6 8 16 23 Ejemplo

  9. 5 3 4 1 2 2 3 1 1 0 0 2 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 Computando la Height

  10. El AVL tree mas pequeño de height 7 • N(h) = # nodos en el más pequeño AVL tree de altura h. • N(h) = N(h-1) + N(h-2) + 1 • N(0) = 1, N(1) = 2 • N = (2h). Equivalentemente, h = O(log N).

  11. Operaciones • Find, FindMin, FindMax • O(log N) • Insertar • Necesita mantener el balance • O(log N) • Delete • Complicado

  12. 3 3 1 5 1 7 2 4 7 5 9 2 6 9 4 6 8 x y 8 y x A C B C A B Single Rotacion

  13. x y 9 9 y x A C B C A B Single RotacionRaiz de Single Rotacion debe ser el nodo 3. Nodo 3 es el nodo con diferencia height = 2 y x 6 3 x 3 8 y 1 6 10 8 1 4 7 2 4 2 5 5 7 10

  14. 3 3 1 5 1 8 2 4 8 5 9 2 6 9 4 6 x y 7 7 y x A C B C A B Single Rotacion que no trabaja

  15. 3 1 5 2 4 8 z x y 6 9 A B C D 7 x y A z D B C 3 Double Rotacion 1 6 5 8 2 4 7 9

  16. z x y 4 A B C D x y A z D B C Double Rotacion 3 5 1 6 3 6 5 8 1 4 8

  17. z x y A B C D x y A z D B C Double Rotacion Ejemplo 2 Tree luego de insert 7: z La root de rotacion es x(4), donde la diferencia de height es 2 x 6 4 y y x 9 9 4 2 A z 11 6 11 3 5 3 8 A B C D 10 11 B 5 8 10 11 D 4 7 C 7

  18. AVL Tree Insert, Delete • 2 tipos de rotacion - single, doble • Rotacion es necesaria a lo menos una vez! • La root de rotacion es donde la diferencia de height es 2

  19. B-Trees de orden M • Un M-ary tree. Todo nodo tiene a lo más M hijos. • Hojas • Todos los datos está lamacenados en las leaves. • Todas las leaves estan a la misma depth. • Leaves (except root) tiene entre M/2 y M records • Nodo Interior • M punteros a M children. • M-1 claves: la más pequeña keys se encuentra en M-1 subarbol derecho. • La root tiene entre 1 y M children. • Los nodos interiores tiene entre M/2 y M children. • M=3: 2-3 Trees • M=4: 2-3-4 Trees

  20. 25:48 16:20 32:-- 56:72 12,15 16,18 20,23 25,26,28 32,41,43 48,52,53 56,61 72,88 Insert Original Insert 50 25:48 16:20 32:-- 56:72 12,15 16,18 20,23 25,26,28 32,41,43 48,52,50, 53 56,61 72,88 Insert 50 (cont) 53 es movido a los vecinos del nodo hermano 25:48 16:20 32:-- 53:72 12,15 16,18 20,23 25,26,28 32,41,43 48,50,52 53, 56,61 72,88

  21. 25:48 16:20 32:-- 53:72 12,15 16,18 20,23 25,26,28 32,41,43 48,49, 50,52 53, 56,61 72,88 25:48 16:20 32:-- 50:53:72 12,15 16,18 20,23 25,26,28 32,41,43 48,49 50,52 53, 56,61 72,88 25:50 16:20 32:48 53:72 12,15 16,18 20,23 25,26,28 32,41,43 48,49 50,52 53, 56,61 72,88 Insert 49 Split el nodo Envia un hijo a los vecinos del hermano

  22. Insert 27 25:50 16:20 32:48 53:72 12,15 16,18 20,23 25,26,27,28 32,41,43 48,49 50,52 53, 56,61 72,88 Split el nodo 25:50 16:20 27:32:48 53:72 12,15 16,18 20,23 25,26 27,28 32,41,43 48,49 50,52 53, 56,61 72,88 25:32:50 Split otra vez. 16:20 27:-- 48,-- 53:72 12,15 16,18 20,23 25,26 27,28 32,41,43 48,49 50,52 53, 56,61 72,88

  23. Insert 27 (cont’) Split la root 32:-- 25:-- 50:-- 16:20 27:-- 48,-- 53:72 12,15 16,18 20,23 25,26 27,28 32,41,43 48,49 50,52 53, 56,61 72,88

  24. Delete 32:-- 25:-- 50:-- 16:20 27:-- 48:-- 53:72 12,15 16,18 20,23 25,26 27,28 32,41,43 48,49 50,52 53,56,61 72,88 32:-- 25:-- 50:-- 16:20 27:-- 48:-- 56:72 12,15 16,18 20,23 25,26 27,28 32,41,43 48,49 50,52 56,61 72,88

  25. 32:-- 25:-- 50:-- 16:20 27:-- 43:-- 56:72 12,15 16,18 20,23 25,26 27,28 32,41 43,49 50,52 56,61 72,88 32:-- 25:-- 50:-- 16:20 27:-- 43:-- 56:72 12,15 16,18 20,23 25,26 27,28 32,41,49 50,52 56,61 72,88

  26. 32:-- 25:-- 56:-- 16:20 27:-- 50:-- 72:-- 12,15 16,18 20,23 25,26 27,28 32,41,49 50,52 56,61 72,88 32:-- 25:-- 56:-- 16:20 27:-- 50:-- 72:-- 12,15 16,18 20,23 25,26 27,28 32,41,49 50,52 56,72,88

  27. 32:-- 25:-- 56:-- 16:20 27:-- 50:56 12,15 16,18 20,23 25,26 27,28 32,41,49 50,52 56,72,88 32:-- 25:32 16:20 27:-- 50:56 12,15 16,18 20,23 25,26 27,28 32,41,49 50,52 56,72,88

  28. 25:32 16:20 27:-- 50:56 12,15 16,18 20,23 25,26 27,28 32,41,49 50,52 56,72,88 25:32 16:20 27:-- 50:56 12,15 16,18 20,23 25,26,28 32,41,49 50,52 56,72,88 20:32 16:-- 25:-- 50:56 12,15 16,18 20,23 25,26,28 32,41,49 50,52 56,72,88

  29. 50:-- 48:-- 54:72 32,41,43 48,49 50, 53 54,56,61 72,88 Operaciones sobre un B-Trees • Find: • Atravesar el tree • Insert • Hallar e insertar • Dar un camino o Split • Delete • Hallar y borrar • Combinar

  30. Topicos • Depth de un B-Trees • Tiempo de Find, Insert, Delete

  31. Depth de B-Trees 32:-- 25:-- 50:-- 20:-- 27:-- 48:-- 72:-- 16,18 20,23 25,26 27,28 32,41 48,49 50,52 72,88

  32. Find 12:34:38:42:55:64:69:75:--:--:-- 32:-- O(logMN) 25:-- 50:-- 16:20 27:-- 48:-- 53:72 12,15 16,18 20,23 25,26 27,28 32,41,43 48,49 50,52 53,56,61 72,88 O(M) O(log M)

  33. Insert y Delete 12:34:38:42:55:64:69:75:--:--:-- 32:-- 25:-- 50:-- O(logMN) 20:-- 27:-- 48:-- 53:72 O(log N) 16,18 20,23 25,26 27,28 32,41,43 48,49 50,52 53,56 O(M): inserta un elemento en la lista

  34. Running Time • Find • Cada nodo, O(log M) para determinar la rama a considerar (binary search) • O(logMN) nodos para visitar • Total O(log N) • Insert y Delete • require O(M) para fijar lo que se desea. • O(M logMN) = O((M/log M) log N)

  35. 18 32 56 72 25 48 12 15 17 18 23 25 26 28 32 41 43 48 53 56 61 72 88 B-Trees en Memoria • Nodo Interior • M punteros y M-1 keys • Nodo Leaf • M’ datos (o M’ punteros a datos)

  36. Find 32:-- O(logMN) 25:-- 50:-- 16:20 27:-- 48:-- 53:72 12,15 16,18 20,23 25,26 27,28 32,41,43 48,49 50,52 53,56,61 72,88 12:34:38:42:55:64:69:--:-- t1: main memory tiempo de aceso para todo byte.t2: todo disco acceso de un block O(t2 + t1 log M)

  37. Insert y Delete 32:-- 25:-- 50:-- 20:-- 27:-- 48:-- 53:72 16,18 20,23 25,26 27,28 32,41,43 48,49 50,52 53,56 12:34:38:42:55:64:69:--:-- O(logMN) O(t2 + t1 M)

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