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1.2 极坐标系

1.2 极坐标系. 1.1.1 极坐标的概念. 1.2.2 极坐标和直角坐标的互化. 新课导入. 请问，去河北师大附小怎么走呀？. 从这里向东北偏 60 ° 方向走 100 米就到 了. 我们一起来分析这句话：. 从这里 向东北偏 60° 方向 走 100 米 就到了. 方向. 距离. 生活中人们常用方向和距离来表示一点的位置。这种用 方向 和 距离 表示平面上一点的位置的思想 , 就是极坐标 的基本思想。. 极坐标系的认识.

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1.2 极坐标系

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  1. 1.2极坐标系 1.1.1极坐标的概念 1.2.2极坐标和直角坐标的互化

  2. 新课导入 请问，去河北师大附小怎么走呀？ 从这里向东北偏60°方向走100米就到了

  3. 我们一起来分析这句话： 从这里向东北偏60°方向走100米就到了 方向 距离 生活中人们常用方向和距离来表示一点的位置。这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想,就是极坐标 的基本思想。

  4. 极坐标系的认识 极坐标系是使用“距离”和“角度”来刻画平面上点的位置的坐标形式。极坐标系和平面坐标系一样,都是刻画点的位置和运动的参照物,是建立点的集合与坐标的集合的对应关系的桥梁,因此,从集合映射的角度去比较这两种坐标系,可以获得点与坐标之间对关系的整体认识。

  5. 1.1.1极坐标的概念

  6. 知识与能力 教学目标 1.体会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置的方法； 2.体会极坐标系的作用； 3.学会建立合理的极坐标系解决实际中的问题。

  7. 情感态度与价值观 过程与方法 1.根据实际问题建立合理极坐标系； 2.进一步了解极坐标系在实际生活中的应用。 1.根据问题的几何特征选择适当的坐标系； 2.感知极坐标系在现实中的应用； 3.培养良好的观察与思考能力。

  8. 教学重难点 重点 难点 1.能够建立适当的极坐标系解决数学问题； 2.极坐标和直角坐标的互化。 1.极坐标的不唯一性； 2.应用极坐标解决几何问题； 3.极坐标和直角坐标的互化。

  9. 建立一个极坐标系需要哪些要素？ 极点，极轴，角度单位，正方向 在平面内取一个定点O,叫做极点；引一条射线OX,叫做极轴;再选定一个长度单位，角度单位 及其正方向（通常取逆时针方向）这样就建立了一个极坐标系。

  10. 如图，设M是平面内任意一点,极点O与M的距离|OM|叫做点M的极径，记为;以极轴OX为始边，射线OM为终边的角XOM叫做点M的极角记为;有序数对（，）叫做M的极坐标。如图，设M是平面内任意一点,极点O与M的距离|OM|叫做点M的极径，记为;以极轴OX为始边，射线OM为终边的角XOM叫做点M的极角记为;有序数对（，）叫做M的极坐标。 0 x

  11. 例题 1.如图，在极坐标系中，写出点A,B,C,D的极坐标，并标出E , F , G 所在的位置 解：如图可得A,B,C,D的坐标分别为 点E,F,G的位置如图所示

  12. 想一想？ 在直角坐标系中，点与直角坐标 是“一对一的关系”；在极坐标系中， 点与坐标是“一对一”的关系吗？

  13. 答案是否定的，在极坐标系中， 由于终边相同的角有无数个，即点的 极角不唯一，因此点与极坐标是“一 对多”的关系。这就是极坐标的 ，多极性是极坐标与直角坐标 的重要区别. 多极性

  14. 小结 1.给定（,）,就可以在极坐标平面内确定唯一的一点M.给定平面上一点M，但却有无数个极坐标与之对应。 2.极坐标（,）与(ρ，2kπ+θ)( )表示同一个点.即一点的极坐标的统一的表达式为(ρ，2kπ+θ) 3.如果规定ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除 极点外,平面内的点和极坐标就可以一一对应了。

  15. 1.2.2极坐标和直角坐标的互化

  16. 动动脑筋。。。 我们学了直角坐标,也学了极坐 标，那么这两种坐标有什么关系呢? 已知点的直角坐标为,如何用极坐标 表示这个点呢?

  17. Y M Y X N X O 极 坐 标 与 直 角 坐 标 的 互化 以直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴, 并且两种坐标系中取相同的长度单位。 设点M的直角坐标(x,y)极坐标是 ( , )，从图中可得它们之间的关系：

  18. (1) 由(1)可得以下关系式 ， 这就是极坐标和直角坐标的互化

  19. 快快趁热打铁吧。。。 例1.将点M的极坐标 化成直角坐标 解： ， 即点M的极坐标为（ ， ）

  20. 例2.已知点M的极坐标为 , 求它的直角坐标 解：将点M的极坐标 代入 极坐标与直角坐标互化公式 解得点M的直角坐标为

  21. 课堂练习 1.已知点的直角坐标, 求它们的极坐标。 2.将这两点的极坐标 分别化成直角坐标。 3.直角坐标为 的极坐标是( ) A B C D

  22. 4.极坐标方程 表示的曲线为（ ） 5.在极坐标系中与圆 相切的一条直线的 方程为（ ） A.极点 B.极轴 C.一条直线 D.两条相交直线 A. B. C. D.

  23. 6.把方程 化为以t为参数的参数方程是( ) B. A. D. C.

  24. 7.极坐标方程 化为直角坐标方程的形式是 （ ） 8.在极坐标系中，如果等边三角形的两个顶点A（2， ), B（2， ),那么顶点C坐标可能是( ) B． A. D.． C. B. A. D. (3, ) C．

  25. 9.在极坐标系中， 为圆心以 为半径的圆的方程为( ) （提示：利用直角三角形的边、角关系）

  26. 看看你做对了吗？ 1.解：将A的直角坐标代入极坐标与直角坐标互化公式，得 因此点A的极坐标为 同理，点B的极坐标为 点C的极坐标为 2. 3.C 4.D 5.A 8.B 9. 6.D 7.B

  27. 在做直角坐标与极坐标的互化习题时： （1）点(x,y) 点(ρ,θ)(x、y、θ∈R，ρ≥0)； （2）方程f(x,y)=0 方程φ(ρ,θ)=0 [(x,y)适合f(x,y)=0,(ρ,θ)适合φ(ρ,θ)=0]。 在互化中，要重视互化的前提条件（三同前提） 及互化等价性；互化关系式有： x=ρcosθ,y=ρsinθ,ρ2=x2+y2,tgθ= (x≠0) 极坐标化为直角坐标更符合习惯思维, 有时将直角坐标转化为极坐标更简洁。 → → → → 方法与技巧

  28. 高考链接 1.(1998年全国)曲线的极坐标方程ρ=4sinθ 化成直角坐标方程为() A. x2+(y+2)2=4 B. x2+(y-2)2=4 C. (x-2)2+y2=4 D. (x+2)2+y2=4 B 解：对方程ρ=4sinθ两边乘以ρ得 ρ2=4ρsinθ 　　∵ ρ2=x2+y2, ρsinθ=y,　　∴ x2+y2=4y, 　　即 x2+(y-2)2=4，应选B。

  29. 2.(2000年全国)以极坐标系中的点(1，1)为圆心，1为半径的圆的方程是(　 ） C A.ρ=2cos(θ- ） B.ρ=2sin(θ- ) C.ρ=2cos(θ-1)D.ρ=2sin(θ-1） 解：设M(ρ,θ)为圆上任一点， 则 |OM|=|OA|cos(θ-1)， ∴ ρ=2cos(θ-1)，故选C

  30. 3.（2002年北京高考题）已知某曲线的 参数方程是 (φ为参数) 若以原点为极点，x轴的正半轴为极轴,长度单位不变，建立极坐标系,则该曲线的极坐标方程是( ) A.ρ=1B.ρcos2θ=1 C.ρ2sin2θ=1D.ρ2cos2θ=1 D

  31. 解:本题涉及到两类互化，即先将参数程化为普通方程，再化为极坐标方程即可。消去参数φ，化为普通方程为x2-y2=1，再由x=ρcosθ，y=ρsinθ，就可化为极坐标方程ρ2cos2θ-ρ2sin2θ=1，解:本题涉及到两类互化，即先将参数程化为普通方程，再化为极坐标方程即可。消去参数φ，化为普通方程为x2-y2=1，再由x=ρcosθ，y=ρsinθ，就可化为极坐标方程ρ2cos2θ-ρ2sin2θ=1， 即ρ2cos2θ=1，而选D。

  32. 4.（2002年广东高考题）极坐标方程ρ=cosθ与ρcosθ= 的图形是（ ） 解：把ρcosθ=，化为直角坐程，得: x= ，故排除A、D；又圆ρ=cosθ显然过点(0,1)，又排除C，故选B。 A D B C B

  33. 5.（2002年上海高考题）若A、B的两点极坐标为A(4, ）B(6,0)，则AB中点的极坐标是____

  34. 6.(2009年全国普通高等学校招生统一考试 上海数学试卷)在极坐标系中，由三条直线 围成的图形的面积是______

  35. 教材习题答案 1.A B C D E F G 2.以广东省汕尾市为极点，正东方向为极轴建立极坐标系，则该台风中心所在位置的极坐标为 3.因为 ,所以A,B,O三点共线，所以A,B两点的距离为 |AB|=3+1=4

  36. 4. 5.由极坐标系和直角坐标的互化公式 分别将直角坐标代入上述公式，得各 点的极坐标为

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