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弯 曲 内 力

第 七 章. 弯 曲 内 力. 内容提要. §7-1 平面弯曲的概念及计算简图. §7-2 梁的内力 · 弯矩图. §7-3 弯曲时的正应力和强度计算. 弯曲变形. 受力特征：. 外力是作用线垂直于杆轴线的平衡力系 （有时还包括力偶）。. 梁 ： 以弯曲变形为主的杆件。. 7-1 平面弯曲的概念及梁的计算简图. I. 弯曲的概念. 变形特征：梁变形前为直线的轴线 ，变形后成为曲线。. 平面弯曲 ：作用于梁上的所有外力都在纵向对称面内 ，弯曲变形后的轴线是一条在该纵向对称面内的

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  1. 第 七 章 弯 曲 内 力

  2. 内容提要 §7-1 平面弯曲的概念及计算简图 §7-2梁的内力 · 弯矩图 §7-3弯曲时的正应力和强度计算

  3. 弯曲变形 受力特征： 外力是作用线垂直于杆轴线的平衡力系 （有时还包括力偶）。 梁： 以弯曲变形为主的杆件。 • 7-1 平面弯曲的概念及梁的计算简图 I. 弯曲的概念 变形特征：梁变形前为直线的轴线 ，变形后成为曲线。

  4. 平面弯曲 ：作用于梁上的所有外力都在纵向对称面内 ，弯曲变形后的轴线是一条在该纵向对称面内的 平面曲线，这种弯曲称为平面弯曲。或更确切地称为 对称弯曲。 纵向对称面 ： 包含梁横截面的一个对称轴及其梁轴线 的平面称为 纵向对称面

  5. 对称轴 纵向对称面 梁的轴线 B A 梁变形后的轴线与外力在同一平面内

  6. 非对称弯曲 ：梁不具有纵向对称面，或具有纵向对称面， 但外力并不作用在纵向对称面内这种弯 曲称为非对称弯曲。

  7. （1） 固定端 R H II . 梁的计算简图 1 。支座的简化 在梁的计算简图中用梁的轴线代表梁

  8. （2）固定铰支座 R R H ( 3 ) 可动铰支座

  9. 悬臂梁 简支梁 外伸梁 2， 工程中常用到的静定梁

  10. (3) 几种超静定梁 (例题1) (例题2)

  11. q P A C B 例1: 计算悬臂梁的支反力。 l

  12. 解: 求梁的支反力 RA 和 mR 。 P q A C B l 由平衡方程得：

  13. P q A C B l 解得： (例题2)

  14. 例2：计算图所示多跨静定梁的支反力 P=50KN M=5KN.m B A C D K E 0.5m 1m 1m 3m 1m

  15. P=50KN M=5KN.m B A C D K E 0.5m 1m 1m 3m 1m 分析：先将中间铰 C拆开，并通过平衡方程求出副梁 CB 的支反力。 再将副梁 CB的两个支反力XC ，YC 反向， 并分别加在主梁 AC的 C点处，求出 AC的支反力。

  16. P=50KN M=5KN.m B A C D K E 0.5m 1m 1m 3m 1m M=5KN.m C D K B

  17. M=5KN.m C D K B 解：（1）研究CB梁，由平衡方程

  18. P=50KN C A E （2）研究 AC 梁，由平衡方程

  19. a P m A B m x §7—2 梁的内力· 弯矩图 一、梁的剪力和弯矩 １、Q 和 M 的定义与计算

  20. m m x a P y m Q A B x C A m x 用截面法假想地在 横截面mm处把梁分 为两段，先分析梁左段。

  21. m m x a P y m Q A B x C A m x 由平衡方程得 可得 Q = RA Q称为 剪力

  22. m M m x a P y m Q A B x C A m x 由平衡方程 可得 M=RAx 此内力偶称为弯矩

  23. M y P m m Q M x C A m x Q m B 取右段梁为研究对象。 其上剪力的指向和弯矩 的转向则与取右段梁为 研究对象所示相反。

  24. m 剪力符号 Q Q m dx 2, Ｑ和 M 的正负号的规定 + 使dx 微段有左端向上而右端向下 的相对错动时，横截面 m-m 上 的剪力为正 。或使dx微段有顺时针 转动趋势的剪力为正。

  25. m Q Q m dx - 使dx 微段有左端向下而右端向上 的相对错动时，横截面 m-m 上 的剪力为负。或使dx微段有逆时针 转动趋势的剪力为负。

  26. + 弯矩符号 M m M m （受拉） m M m M _ （受压） 当dx微段的弯曲下凸 （即该段的下半部受拉）时， 横截面m-m 上的弯矩为正； 当dx微段的弯曲上凸 （即该段的下半部受压）时， 横截面m-m 上的弯矩为为负。 例题3 例题4

  27. 例题3： 为图示梁的计算简图。已知 P1、P2，且 P2 > P1， 尺寸a、b、c和 l 亦均为已知。试求梁在 E 、 F 点 处横截面处的剪力和弯矩。 b a C D A B E F c d l

  28. b a C D A B E F c d l 解:

  29. b a C D A B E F c d l 解得：

  30. b E A C a 记 E 截面处的剪力 为QE和弯矩ME ， 且假设QE 和弯矩 ME的指向和转向 均为正值。 C D A B E F c d l

  31. b E A C a C D A B E F c d 解得 l + +

  32. b c D B E E A a- c b- c C l- c a 取右段为研究对象 C D A B E F c d l

  33. c D B E E A + a- c + b- c C l- c 解得：

  34. b a C D B B E F F d c d l 计算 F 点横截面处的剪力QF 和弯矩MF。

  35. b a C D B B E F F d c d l - 解得： + 例题4

  36. B A C a l 例题4： 图示简支梁受线性变化的分布荷载作用， 最大荷载集度为 q0 。试计算梁在 C 点处横截面上的 剪力和弯矩

  37. B A C a l 解：求梁的支反力 RA和 RB 由平衡方程得 ： 解得：

  38. B A C a l A C a 在 C 点处梁上的荷载集度为 该梁段上分布荷载的合力为 此合力距 C 点的距离为 a/3

  39. B A C a l A C a 列出平衡方程

  40. 时 QC 为正 当 B A C a l A C a 解得 MC 恒为正

  41. 求剪力和弯矩的简便方法 横截面上的剪力在数值上等于此横截面的 左侧 或 右侧梁段上 外力的代数和 。 左侧梁段：向上的外力引起正值的剪力 向下的外力引起负值的剪力 右侧 梁段：向下的外力引起正值的剪力 向上的外力引起负值的剪力 剪力符号：左上得正，下得负； 　　　　　右下得正，上得负

  42. 左侧梁段：顺时针转向的外力偶引起正值的弯矩左侧梁段：顺时针转向的外力偶引起正值的弯矩 逆时针转向的外力偶引起负值的弯矩 右侧梁段：逆时针转向的外力偶引起正值的弯矩 横截面上的 弯矩在数值上等于此横截面的 左侧 或 右侧 梁段上的 外力对该截面形心的力矩之代数和 。 顺时针转向的外力偶引起负值的弯矩 不论在截面的 左侧 或 右侧 ,向上的外力均将引起正值 的弯矩，而向下 的外力则引起 负值 的弯矩。 弯矩符号：力上得正，下得负； 　　　　　偶左顺正，逆为负； 　　　　　偶右逆正，顺为负 例题5 例题6 例题7

  43. C A D B b a c 例题5： 轴的计算简图如图所示，已知 P1 =P2 = P = 60kN， a = 230mm，b = 100 mm和c = 1000 mm。求 C、D 点处 横截面上的剪力和弯矩

  44. C A D B b a c 解：

  45. 计算 C横截面上的剪力QC和弯矩 MC。 C A D B b a c 看左侧

  46. C 计算 D横截面上的剪力 QD 和弯矩 MD 。 A D B b a c 看左侧 例题6 例题7

  47. 例题6：求图示梁中指定截面上的剪力和弯矩 10KN.m 2 A B C 1 1m 2.5m 解：

  48. C 10KN.m 2 A B C 1 1 2 1m 2.5m 求 1截面的内力： 左侧

  49. C 10KN.m 2 A B C 1 1 2 1m 2.5m 求 2 截面的内力： 右侧 左侧 例题7

  50. RA RB 例题7：求指定截面上的内力 QA左 ， QA右， QD左 ， QD右 ， MD左，MD右 ，QB左 ， QB右 。 m=3KN.m B C A D 2m 4m 2m 解： RA = 14.5 KN ， RB = 3.5 KN

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