بســم الله الرحمن الرحیـــم

1. بســم الله الرحمن الرحیـــم

2. لازم به تذکـــــر است به جهت این که Font بکاربرده شده در اسلاید ها B Nnazanin می باشد خواهشمندیم قبل از نمایش اسلایـــدها به نصب Font مذکور اقدام نمایید.

3. نــام درس:رياضی عمومی (2) منبع درس: کتاب رياضی عمومی (2) مؤلـف: دکتر محمد مهدی ابراهيمی

4. فهرست مطالب: کتاب حاضرشامل دو قسمت می باشد.قسمت اول دارای 5 فصل با عناوين زيراست: فصل اول:صورت های مبهم ،انتگرال های ناسره وفرمول تيـلور که شامل 35اسلايد می باشد. فصل دوم: دنباله ها وســــــری های نامتنــــاهی که شامل 65 اسلايد می باشد.

5. فصل سوم: سری های توانی که شامل34 اسلايد می باشد. فصل چهارم: بــــردار و هندســـه تحلیلی که شامل 47 اسلاید می باشد. فصل پنجم: آَشنـــایی با جبـــــر خطی که شامل 71 اسلاید می باشد .

6. قسمت دوم شامل 4 فصل با عناوین زیر است. فصل ششم:توابع برداری که شامل 38 اسلايد می باشد. فصل هفتم: توابع چند متغیره که شامل 81 اسلايد می باشد. فصل هشتم: انتگرالهای چند گانه که شامل79 اسلايد می باشد. فصل نهم : مباحثی در آنالیز برداری که شامل 28 اسلاید می باشد.

7. فصــــل اول صورت های مبهـم ، انتگرال های نا سـره وفرمول تيلور مقدمه واهداف کلی: دراين فصل ابتدا دستور هوپيتـــــا ل را برای محاسبـــه حد توابع و سپس انتــــگرال های ناسره را ياد آوری می کنيــم. در پايا ن فرمول تيلور را برای محاسبه مقادير تقريبی توابعی ماننـد توابع لگاريتمی، مثلثاتی و...، با استفاده از توابع چند جمله ای ها معـــرفی می کنيم، و مقـدار تقـــــريبی اعـدادی ماننـــد را با دقت مورد نظر محاسبه می کنيــــم.

8. هدفهای دقیق آموزشی از خواننده انتظار می رود پس از مطالعه و یادگیری مطالب این فصل بتواند: 1) صورتهای مبهم را تشخیص دهد. 2) حد عبارت های به صورت های مبهم را تعیین کند. 3) انتگرالهای ناسره را تشخیص دهد و همگرایی و یا واگرایی انتگرالهای ناسره در حد مثالها و تمرین های این فصل را تعیین کند . 4) چند جمله ای های تیلور و مک لورن توابع را بنویسد. 5) با استفاده از چند جمله ای های تیلور و مک لورن مقادیر تقـــریبی توابع لگاریتمی ، نمایی ، مثلثاتی و از این قبیل را محاسبه کند.

9. 1. 1صورت های مبهــم و در محاسبه هرگاه ، هر دو تابع و به صفر ميل کنند آنگاه می گوئيم به صورت مبهم يا است. در اين بخش دستور هوپــيتال را برای محـــــاسبه حدود اين نوع توابـــع يادآوری نمــــوده و برای اثبات درستــی اين دستور، از قاعــده کشــــــی به صورت زير استفاده می کنيم.

10. 1 .1 . 1قضيه کشی (تعميم قضيه مقدارميانگين) اگر توابع و درفاصله بسته ، پيوسته و درفا صله با ز ، مشتق پذ ير با شند و به ازای جميع مقا د ير x، د ر ، ،آنگاه حدا قل يک عد د ما نند c، در( (a,bوجود دارد به طوری که: تـــذکر:هرگاه g(x)= x، آنگاه فرمول کشی به صورت تبديل می شود که همان قضيه مقدارميانگين است.

11. 1. 1. 5 دستور هوپیتال: فرض کنيد cعددی درفاصله (a,b) باشد وتوابع f و g به ازای هرa<x<b به جز احتمالا درx = c مشتق پذير باشد . همچنين فرض کنيد که در ، و در x=c ، به صورت يا باشــد و در اين صورت يا .

12. حل: اين عبارت به صورت در می آيد و بنا به دستور هوپيتال ، داريم: گاهی اوقا ت لازم است که د ستور هوپيتـــا ل را بيش از يک مرتبه به کا ر ببريم. 1. 1. 10مثال: چون طرف راست به صورت در می آيد مجددا دستور هوپيتال را بکار می بريم. درنتيجه:

13. دستور هوپيتال برای حدود در بی نهايت نيز صادق است. حل: حد فوق به صورت در می آيد. در نتيجه: 1. 1. 14مساله نمونه ای: با استفاده مجدد ازدستور هوپيتال:

14. 2. 1صورت های ديگرمبـــهم علاوه بر حالت ها ی و صورت های ديگر مبهم عبارتند از: ، و . برای حالت سعی می کنيم به حالت يا تبديل کنيم و برای ساير حالت ها از لگاريتم يا از قضيه ، استفاده می کنيم.

15. 1. 1. 1مثال: حل: اين عبارت به صورت، در می آيد که ابتدا آن را به صورت تبديل می کنيم و از قاعـده هوپيتال استفاده می کنيم . بنا به قاعده هوپيتال:

16. 1. 3 انتگرال نا ســـــره در درس رياضی عمومی (1) ،انتگرال معين ، را تعريف کرديم و ديديم که اگر تابع f درفاصله بسته پيوسته باشد ، آنگاه انتــگرال پذير است . يعنــی مقداری متنـــاهی برای ، وجـــود دارد. در اين قسمت انتگرال هايی را بررسی می کنيـــــم که درآنها يا حـــد و انتگرال نامتنـاهی است يا تابع انتگرال (تابع زيرعلامت انتگرال)، د رفاصله بسته دارای يک يا چند نقطه ناپيوستـــگی نامتناهی است . اين نوع انتـــــگرال ها راانتـــگرال های ناســـــره مــی ناميم.

17. 1. 3. 4 تعريف: فرض كنيم تابع f در فاصله پيوسته باشد در اين صورت انتگرال ناسره به صورت زير تعريف می شود: اگر حـــد فوق وجود داشــــته باشد انتگرال ناسره را همگــــرا ودر غــير اين صورت آن را واگرامی ناميم.

18. 1. 3. 8 مثال:همگرايی يا واگرايیرا تعيين کنيد. حل: بنا به تعريف ، می نويسيم: بنابراين به عد د eهمگـــــرا است.

19. اگر فاصله انتگرالگيری باشد، انتگرال ناسره f روی اين فاصله را با نمايش داده وآن را به صورت زير تعريف می کنيم: 1. 3. 10 تعريف: فرض کنيم تابع fدر فاصله پيوسته بوده و عددی دلخواه باشد، آنگاه انتگرال ناسره را به صورت تعريف می کنيم.

20. انتگرال را همگرا می گوئيم اگر هر دو انتگرال ناســــره طرف راست تســــاوی همگرا باشد . درغيـر اين صورت، يعنی اگر حداقل يکی از اين دو انتـــگرال واگرا باشد، را واگــرا می ناميم. ثابت می شود که: 1) تعريف به انتخا ب بستگی ندارد. 2) لزوما برابر نيست.

21. 1. 3. 11 مثال:آيا انتگرال ناسره همگرا است يا واگرا؟ حل: بنا به تعريف داريم: انتگرال های ناسره طرف راست را محاسبه می کنيم: به همين ترتيب در نتيجه:

22. 1. 4انتگرال نا سره نوع 2 در اين بخش حالتـی از انتگرال های معيــن را بررسی می کنيم ، که درآن تابـــع f به ازای عددی مانند c در فاصـــله بسته دارای ناپيوسـتگی نامتناهی باشـــــد . اين نوع انتـــگرال را نيز انتگرال ناسره می ناميم. دراين جا برحسب اينکه c=b ، يا ، سـه حالـت رخ می د هد:

23. در هر يک از حالت های فوق انتگرال های ناسره را تعريف می کنيم. c b b b=c (ب) (الف) (پ)

24. 1 . 1 .4 تعريف : فرض کنيم تابعf در فاصله پيوسته باشد، و دراين صورت تعريف می کنيم: اگر حد فوق وجود دا شته با شد ، انتگرا ل نا ســره را همــــگرا ، و درغــيراين صورت ،آن را واگرامی گوئيــم.

25. 1. 4. 2 مثال:همگرايی يا واگرايی را تعيين کنيد. حل: تابع د ر پيوسته ا ست ، و بنا به تعريف داريم: در نتيجه انتگرال داده شده واگــــرا است.

26. 1 . 4 . 7 تعريف : فرض کنيـــد تابــــع f به ازای عـــــددی مانند c در فاصـــله باز دارای ناپيوستــگی نامتناهی بوده ولی در بقيه نقاط پيوسته باشد . آنگاه تعريف می کنيم: • اين انتگرال ناسره تنها وقتی همگرا است که هر دو انتگرال طرف راست همگرا باشند.

27. 1. 4. 9 مثال:مقدار انتگرال ناسره را درصورت وجود پيدا کنيد. حل: تابع در x=0 دارای ناپيوستگی نامتناهی است ، و در بقيه نقا ط [1و1-] پيوسته است . پس بنا به تعريف می نويسيم: واگراست در نتيجه نيز واگرا است.

28. از قضـــيه زير درتعيين همگــرايی يا واگرايی انتگرال های ناســره استفاده می کنيم. 1. 4. 10 آزمون مقايسه: فرض کنيم f و g ، دو تابع پيوسته در باشند و به ازای هر الف) ا گر همگـرا باشد آنگاه نيز همگرا است. ب) ا گر واگرا باشد آنگاه نيز واگرا است.

29. 1. 4. 11 مثال:همگرايی يا واگرايی انتگرال رابررسی کنيد. حل: چون : وچون همگرااست پس بنا به آزمون مقايسه نيز همگرااست.

30. و و و 1. 5 فرمول تيلور توابع چنـــد جمله ای ساده ترين تـوابع از نظر انجا م محاسبات می باشند زيرا مقادير آنها را تنها با انجام اعمال جمع و ضــرب اعداد حقيقی می توان تعيين کرد درحــــالی که پيداکردن مقادير توابـــع غير جـــبری يا جبری پيچيـــده ، ما و غيره ، مشکلتر است. در اين بخش فرمـــول مهمی منسوب به رياضيدان انگليسی ، بروک تيــلور را برای محـــاسبه مقادير تـــوابع معمـــولی بيان می کنيــــم.

31. y=x y=sinx 1. 5. 1مثال:با استفاده از معادله خط مماس بر نمودار f(x) = sinx در x=0، يک مقدار تقريبی برای پيدا کنيد. حل: قسمتی از نمودار f(x) = sinx ، وخط مماس در (0و0) را در نظر می گيريم:

32. ضريب زاويه اين خط و معـــادله خط ممــــاس y=x مـــی باشد.از بحث مشتق می دانيم که خط مماس بر نمودار يک تابع مانند f، در نقطه مقدار تابــــع را به ازای مقـــادير نزديک به تقريب مــی کند.بنابراين به ازای مقادیرxنزديک به 0، داريم : در نتيجه:

33. 1. 5. 2مثال:يک مقدار تقريبی برای پيدا کنيد. حل: تابع را در نظر می گيريم داريم : نمودار تابع و خط مماس بر آن را در نقطه (2و4) رسم کرده ايم: y=1/4 x+1 (4,2)

34. معادله خط مما س در نقطه (2و4) عبا رتست از:چون خط مماس مقدار تابع را در x=4تقـريب می کند ، يعنی به ازای مقادير xنزديک به 4 ، پس:

35. 1. 5. 4 تعريف:فرض کنيمf يک تابع باشد ، به طوری که مشتق های اول تاnام آن در موجود باشند. چند جمله ای را چند جمله ای nام تيلور f حول می ناميم. • هرگاه د راين صورت: راچند جمله ای مک لورنnام تابع fمى نامند.

36. 1. 5. 5 مثال:چند جمله ای nام مك لورن تابع ، و فرمولی برای بيابيد.سپس را محاسبه کنيد. حل: به ازای هر عدد طبيعی x، بنابراين: در نتيجه:

37. حال: از آنجائيکه می خواهيمf(x)، را توسط تقـريب کنيم ، اندازه نزديکی را به f(1)تعييــــن می کنيم .مقـدار e بادقت 5رقــــم اعشار برابر 71828/2 است، لذا مقـــدار e، رابا خطايی حدود 002/0 تقريب کرده ايم.

38. 1. 5. 10قضيه تيلور فرض كنيمf يك تابع و n، عددی طبيعی باشد به طوری که در فاصلهوجود داشته باشد.اگر a وbدو عدد متفاوت در I باشدآنگاه عددی مانند z بين a وb ، وجوددارد به طوری که:

39. هرگاه n=0، فرمول بالا به صــــورت تبديـــل مـــی شود کـــه همــان قضيه مقـــدارميانگيــن اســت.اين مطلــب نشان مــی دهد که قضيه تيلور تعميمی از قضيـه مقدار ميانگين است. با قـــــرار دادن x به جای b، در قضيـــه تيـــــلور خواهيــم داشت:

40. اگر مقدار کوچک با شد ، آنگاه مقدارf(x)، به ازای مقاديرx نزديک به a را مــی توان توســــط چند جملـــه ای nام تيلورfدر a تقـــريب کرد.يعنی وقتـــی x، نزديـــک به a است، . که درآ ن zبين a و x، است اين فرمول را فرمول تيلور باباقيمانده حول aو را صورتلاگرانژی باقيمانده می ناميم. • چون ، خطای حاصل از تقريب کردن f(x) توسط کمتر از است.

41. 1. 5. 13 مثال:خطای محاسبه مقدار تقريبیe، توسط را تعيين کنيد. حل: قبلاديديم که: حال پس که در آن 1>0< z ، پس از آنجا پس خطای محاسبه مقدار e کمتر از 006/0 است.

42. فصــل د وم دنبالهوسریهاینامتناهی مقدمه و هدف کلی دربخش 1. 5 چند جمله ای هاي تيــلور را برای تخمين مقادير توابع و لذا مقادیر اعـدادی مانند e ، ln2 ، و غيـــــره را به کار برديم. به عنوان مثال از عبارت برای تخمين عددe، استفاده کرديم و ديديم که با افزايش n، می توان مقـدار تقريبی e، را با هر درجه از دقـت مورد نياز محاسبه کرد.

43. در اين بخش مجموع های نامتناهی و يا سری ها را مورد مطالعه قرار می دهيم . برای مطالعه ســــری های نامتـناهی ، به مفهوم دنبــاله احتياج داريم. بنابراين ابتدا دنبـاله و خواص آن را مورد بحث قرار داده وسپـــــس مفهوم ســــری ها را بيان می کنيم. • بنابراين به مجموع های نامتناهی نياز داريم.

44. هدف های دقیق آموزشی از خواننده انتظار می رود پس از مطالعه و یادگیری مطالب این فصل بتواند: 1) همگرایی یا واگرایی دنباله ها را تعیین کند 2) دنباله مجموعه های جزئی سریها را بنویسد. 3) آزمونهای داده شده برای تعیین همگرایی یا واگرایی سریها را به کار ببرد. 4) مجموع برخی از سریهای همگرا را محاسبه کند. 5) اعداد اعشاری را به صورت کسر متعارفی بنویسد. 6) تعیین کند که یک سری همگرای مطلق ، همگرای مشروط ، یا واگراست.

45. 2. 1 دنباله نامتناهی را عضو يا جمله kام ، اين دنباله می گوئيم.دنباله اول را که دارای تعدادی متناهی عضو است، يک دنباله متناهی می ناميم.سه نقطه آخـــر دنباله دوم به اين معنی اسـت که اين دنبــاله دارای بی نهايت عضـــو است چنين دنبـــاله را يک دنباله نامتــــناهی می گوئيم.در اين متــن اغلب با دنبـــاله های نـــامتنــــاهی سرو کار داريم. به طور ساده ، هر فهرست مرتب (از اعداد حقيقی) مانند را يک دنباله (از اعداد حقيقی) می ناميم .

46. 2. 1. 1تعريف:هردنبــــاله (نامتناهی) از اعداد حقيقی تابعی مانند از مجموعه اعداد طبيعی به مجموعه اعداد حقيقی است.اعداد متعلق به برد دنبــــاله fرامی توان به صورت فهـــرست مرتب بی پاياننوشت .ولی متداول است که از نمــــاد انديس دار به جای نماد تابعی استفاده شود ، و فهـرست بالا را به صورتيانمايش می دهد.که درآن به ازای هر عدد طبيعی n،

47. گاهی دامنــه متغير يک دنبـــاله را مجموعـه يا درنظر می گيريم .به عنوان مثال دنبـــاله تــــابعبا تعــــريف است. 2. 1. 2 تذکر: يک دنباله را معمولا وقتی تنها با ذکر چند جمله اول آن نشان می دهيم. که جمله عمومی آن مشخص باشد .

48. برخی از دنباله های دارای اين خاصيت هستند که وقتی n، بی کران افزايـــش می يابد ، جمله های به عددی مانند L، نــزديک و نزديک تر می شــوند.به عبارت ديگر ، تفاضل به صفر نــــزديک و نزديک تر می شوند . همگرايی دنبا له ها

49. 2. 1. 4 تعريف:عدد L، راحد دنـــباله می ناميم اگر متناظر با هر ،عـددی طبيعی مانند M، وجود داشتــــه باشد ، به طوری کـــه اگر آنگاه در اين صورت می نويسيم: به عنوان مثال ، دنباله با را درنظر می گيريم ، ملاحظه می شود که وقتی n ، افزايـــش می يابد جمـــــله های اين دنباله به عدد 2 نزديک تر می شوند .در اين صورت گوئيم حـــــد اين دنباله برابر 2 است ، .و می نويسيم:

50. اگر چنين عددL ، يعنــــی وجود داشتـه باشد ، دنباله را همـگرا ودرغير اين صورت آن را وا گــــرا می گوئيم. تعريف: بسيارشبيـــــه تعريف است که در درس رياضــی عمومی (1) بررسی کرديم . از اين رو ، بسيـــاری از قضيه های حد توابـــع در برای حد دنباله ها نيز صـادق است.مثلا ، حد يک دنباله ، در صورت وجود يکتـــــــا است . و ساير قضيـــه های ديــــگر که نمونه هايی را بعدا ذکـــر خواهيــــم کرد.