Download
1 / 18
180 likes | 402 Views
Fourieranalyse. Poul H. Munch Digital Signalbehandling. Periodiske funktioner. Periodiske funktioner er karakteriseret ved en periodelængde (her omtalt ved størrelsen ”2T”) Der gælder : g(t) = g(t+2T) hvor 2T er periodelængden eller mere generelt :
E N D
Fourieranalyse Poul H. Munch Digital Signalbehandling
Periodiske funktioner • Periodiske funktioner er karakteriseret ved en periodelængde (her omtalt ved størrelsen ”2T”) • Der gælder : g(t) = g(t+2T) hvor 2T er periodelængden eller mere generelt : g(t + n·2T) = g(t) (2T er periodelængden og n er et heltal)
Periodisk funktion - eksempel • Nedenstående periodiske funktion g(t) har periodelængden 2T = 2 : g(t) 1 t -3 -2 -1 1 2 3 4
Fourieropløsning • En periodisk funktion g(x) med halvperiode T kan Fourieropløses (beskrives ved uendelig række) :
Fourierkoefficienterne an • Fourierkoefficienterne an kan beregnes ved :
Fourierkoefficienterne bn • Fourierkoefficienterne bn kan beregnes ved :
Fourierkoefficienterne an og bn • For en lige periodisk funktion g(t) - dvs. g(t) = g(-t) gælder : bn = 0 • For en ulige periodisk funktion g(t) - dvs. g(t) = - g(-t) gælder : an = 0
Eksempel 1 • Vi ønsker at bestemme Fourierrækken for nedenstående funktion (periode 2T=6) : g(t) 5 t -3 -2 -1 1 2 3 4
Eksempel 1 – beregning af a0 • Vi beregner Fourierkoefficienten a0 ved :
Eksempel 1 – beregning af an • Vi beregner Fourierkoefficienten an ved :
Eksempel 1 – beregning af bn • Vi beregner Fourierkoefficienten bn ved :
Eksempel 1 - resultat Vi har hermed bestemt Fourierrækken for funktionen g(t) : g(t) 5 t -3 -2 -1 1 2 3 4
Eksempel 2 • Vi ønsker at bestemme Fourierrækken for neden-stående funktion (periode 2T=2) : g(t) 1 t -3 -2 -1 1 2 3 4
Eksempel 2 – beregning af a0 • Vi beregner Fourierkoefficienten a0 ved :
Eksempel 2 – beregning af an • Vi beregner Fourierkoefficienten an ved :
Eksempel 2 – beregning af bn • Vi beregner Fourierkoefficienten bn ved :
Eksempel 2 - resultat • Vi har hermed bestemt Fourierrækken for funktionen g(t) : g(t) 1 t -3 -2 -1 1 2 3 4
Finish • Fourieranalyse : • Anvendes til at bestemme frekvensmæssige bestanddele for en periodisk funktion g(t) • Summen af alle sinus- og cosinusled i Fourier-rækken er ækvivalent med den oprindelige periodiske funktion g(t) • Langsom variation af g(t) svarer til lave frekvenser (lavt frekvensindhold) • Hurtig variation af g(t) svarer til høje frekvenser (højt frekvensindhold)
