第七讲 : §2.6 － 2.8 分析、代数与几何

1. 第七讲: §2.6－2.8分析、代数与几何 分析的严密化 代数学的新生 几何学的变革

2. 分析的严密化 • 分析：关于函数的无穷小分析 • 问题：第二次数学危机 • 核心：函数、无穷小 • 贡献：柯西(法, 1789-1857 ) 魏尔斯特拉斯(德, 1815-1897)

3. 狄里克雷函数 处处不可微的连续函数 分析的严密化－－函数 • 初等函数 • 解析函数 • 1837年狄里克雷(德, 1805-1859)

4. 分析的严密化－－算术化 • 1817年波尔查诺(捷, 1781-1848)定义了导数、连续 • 1821年柯西(法, 1789-1857)《代数分析教程》定义了极限、连续、导数 • 1854年黎曼(德, 1826-1866)定义了有界函数的积分 • 1870年海涅(德, 1821-1881)定义了一致连续 • 19世纪60年代魏尔斯特拉斯(德, 1815-1897)提出ε-δ语言 • 1875年达布(法, 1842-1917)提出了大和、小和

5. 分析的严密化－－实数理论 • 1817年波尔查诺(捷, 1781-1848)提出确界原理 • 1817年波尔查诺和19世纪60年代魏尔斯特拉斯(德, 1815-1897)提出聚点定理 • 1821年柯西(法, 1789-1857)提出收敛准则 • 19世纪60年代魏尔斯特拉斯提出单调有界原理 • 1872年海涅(德, 1821-1881)和1895年波莱尔(法, 1871-1956)提出有限覆盖定理 • 1872年戴德金(德, 1831-1916)提出分割理论 • 1892年巴赫曼(德, 1837-1920)提出区间套原理

6. 分析的严密化 波尔查诺 (捷克斯洛伐克，1981）

7. 柯西 魏尔斯特拉斯 波尔查诺 波莱尔 狄里克雷 戴德金 海涅 达布 黎曼 巴赫曼 分析的严密化

8. 康托三等分集 朱利亚集 分析的严密化－－集合论 1874年起康托(德, 1845-1918)一系列论文建立 • 我看到了它，但我简直不能相信它。 • 希尔伯特：数学思想的最惊人的产物，在纯粹理性的范畴中人类活动的最优美的表现之一。

9. 代数 • 突破传统 • 方程与根 • 行列式与矩阵 • 数系扩张 • 数论

10. 高斯和格廷根(尼加拉瓜，1994) 代数－－代数方程 • 1799年高斯(德, 1777-1855)代数基本定理

11. 代数－－代数方程根式解 • 1770年拉格朗日(法, 1736-1813)的预解式 • 1813年鲁菲尼(意, 1765-1822)定理 • 1824年阿贝尔(挪, 1802-1829)定理 • 1829年伽罗瓦(法, 1811-1832)理论

12. 代数－－行列式与矩阵 • 1750年克莱姆(瑞, 1704-1752)法则 • 1772年范德蒙(法, 1735-1796)、拉普拉斯(法, 1749-1827)行列式展开定理 • 1815年柯西(法, 1789-1857)行列式乘法定理 • 1841年凯莱(英, 1821-1895)行列式记号、1841年雅可比(德, 1804-1851)行列式 • 1852年西尔维斯特(英, 1814-1897)惯性定理 • 1854年和1878年埃尔米特(法, 1822-1910)和弗罗贝尼斯(德, 1849-1917)使用和定义了正交矩阵 • 1858年凯莱证明了凯莱-哈密顿(爱尔兰, 1805-1865)定理 • 1870年若尔当(法, 1838-1921)建立了若尔当标准形 • 1879年弗罗贝尼斯(德, 1849-1917)引入矩阵的秩

13. 代数－－行列式与矩阵 埃尔米特 凯莱 弗罗贝尼斯 雅可比 克莱姆 柯西 若尔当 西尔维斯特 拉普拉斯

14. 代数－－数系扩张 • 1837年哈密顿(爱尔兰, 1805-1865)表示复数为有序实数对 • 1843年哈密顿(爱尔兰, 1805-1865)定义了四元数 • 1844年格拉斯曼(德, 1809-1877)引进了n个分量的超复数 • 1847年凯莱(英, 1821-1895)定义了八元数

15. 代数－－数论 18世纪 • 1736年欧拉(瑞, 1701-1783)证明了费尔马小定理 • 1742年哥德巴赫(德, 1690-1764)猜想 • 1770年华林(英, 1734-1798)定理 • 1783年欧拉发现二次互反律 19世纪 • 1801年高斯(德, 1777-1855)出版《算术研究》 • 1845-1847年库默尔(德, 1810-1893)提出理想数 • 1871年戴德金(德, 1831-1916)创立代数数 • 1897年希尔伯特(德, 1862-1943)“代数数域理论”

16. ζ(s) = = 代数－－解析数论 • 1737年欧拉(瑞, 1701-1783)恒等式 • 1837年狄里克雷(德, 1805-1859)解决素数问题 {a+nb} • 1859年黎曼(德, 1826-1866)的π(x)与ζ(s) • 1896年阿达玛(法, 1865-1963)等证明了素数定理π(x)~x/lnx

17. 代数－－数论 阿达玛 华林 库默尔 希尔伯特 戴德金 狄里克雷 黎曼

18. 代数－－邮票 高斯和正十七边形 (民主德国, 1977)

19. 代数－－邮票 维格兰1908年雕塑的阿贝尔塑像 阿贝尔的塑像 (挪威, 1983)

20. 代数－－邮票 伽罗瓦 (法国, 1984)

21. 代数－－邮票 哈密顿的四元数 (爱尔兰, 1983)

22. 代数－－邮票 戴德金 (民主德国, 1981)

23. 几何 • 现实空间与思维空间 • 射影几何 • 非欧几何 • 统一的几何

24. 蒙日(法国, 1953) 卡尔诺(法国, 1950) 几何－－射影几何 • 1799年蒙日(法, 1746-1818)的《画法几何学》 • 1799年蒙日(法, 1746-1818)的《画法几何学》 • 1803年卡尔诺(法, 1753-1823)的《位置几何学》

25. 连续性原理 1822年庞斯列(法, 1788-1867)的《论图形的射影性质》 对偶原理 几何－－射影几何 • 综合方法

26. 1827年麦比乌斯(德, 1790-1868)的《重心计算》 1829年普吕克(德, 1801-1868)的三线坐标 麦比乌斯(德, 1790-1868) 普吕克(德, 1801-1868) 几何－－射影几何 • 代数方法

27. 欧几里得 普莱费尔(苏格兰, 1748-1819) 　勒让德(法, 1752-1833) A+B+C=2π 几何－－欧氏几何 平行公理的研究(公元前3世纪至1800年)

28. π(α) 几何－－非欧几何 • 1826年罗巴切夫斯基(俄, 1792-1856) • 几何学上的哥白尼 • 1816年高斯(德, 1777-1855) • 1832年鲍耶(匈, 1802-1860)

29. 几何－－非欧几何 罗巴切夫斯基(苏联, 1951)

30. 几何－－非欧几何 高斯(联邦德国, 1955)

31. 几何－－非欧几何 鲍耶(罗马尼亚, 1960)

32. 几何－－非欧几何 1854年黎曼(德, 1826-1866)几何

33. 几何－－非欧几何 • 模型与相容性 • 1866年贝尔特拉米(意, 1835-1900) • 1871克莱因(德, 1849-1925) • 1882年庞加莱(法, 1854-1912)

34. 曳物线 伪球面 克莱因-庞加莱圆 几何－－非欧几何的模型

35. 几何－－统一的几何学 1872年克莱因(德, 1849-1925)的《爱尔朗根纲领》