第二部分 集合论（集合代数、二元关系、函数） 第六章 集合代数 一、集合的基本概念 ( 不可精确定义的概念 ) 1 、集合定义：具有某种特殊性质的个体的聚合

2. 第二部分 集合论（集合代数、二元关系、函数） 第六章 集合代数 一、集合的基本概念(不可精确定义的概念) 1、集合定义：具有某种特殊性质的个体的聚合 如： 方程x2－1＝0的实数解集合； 26个英文字母的集合； 坐标平面上所有点的集合； 全体中国公民的集合； 论文中全部概念的集合； 宇宙中的全部星球； 1）集合一般用大写字母来标记：A,B,C……等 2）集合的成员或元素。集合的成员一般用小写字母标记：a,b,c…..x,y…. 3）集合的成员可以是另一个集合 4）元素和集合的关系是隶属关系 元素b属于集合S b∈S 元素b不属于集合S ┐（b∈S） 2、集合的表示形式 列举法：列出集合的所有元素，元素之间用逗号隔开，并把它们用花括号括起来 注：1）集合的元素是无序的（无序性） 2) 重复的元素应该认为是一个元素（互异性） 3）集合中的元素可以是一个集合，但不能是该集合本身。

3. 描述法（谓词表示法）：是用谓词来概括集合中元素的属性描述法（谓词表示法）：是用谓词来概括集合中元素的属性 3、集合的元素个数 对于有限集合用 |A|来表示该集合中的元素个数。 4、常用的集合： 自然数集合N(在离散数学中认为0也是自然数)， 整数集合Z ，有理数集合Q，实数集合R，复数集合C 素数集合 P 二、集合之间的关系 1、包含关系 定义1 设A，B为集合，如果B中的每个元素都是A中的元素，则称B是A的子集合，简称子集．这时也称B被A包含，或A包含B，记作B⊆A B⊆A ⇔ ∀x ( x ∈ B → x ∈ A ) 性质：（1）自反性 显然对任何集合A都有 A⊆A． （2）传递性 若 A⊆ B 且 B ⊆ C 则 A ⊆ C 隶属关系和包含关系都是两个集合之间的关系，对于某些集合可以同时成立这两种关系． 如：A＝｛a,{b,c｝,d,{d} } 中的元素 若A ⊆B 且B∈ C 则A ∈ C 例 若A ⊆B 且B∈ C 则A ⊆ C 例 例：判断下列问题是否正确： 若A ∈B 且B⊆C 则A∈C 正确 若A ∈B 且B ⊆ C 则A ⊆ C 例

4. 2、相等关系 定义2 设A，B为集合，如果A ⊆ B且B⊆ A，则称A与B相等， 记作 A＝B． 相等的符号化表示为： A＝B <=> A⊆B ∧ B⊆A 注：判断两个集合的相等应从相互包含来证明 3、真包含关系 定义3 设A，B为集合，如果B⊆ A且B ≠ A，则称B是A的真子集， 记作B⊂A 真子集的符号化表示为 B ⊂ A ⇔ B⊆A ∧ B ≠ A ⇔ ∀x ( x ∈ B → x ∈ A ) ∧∃x ( x ∈ A ∧ ┐x ∈B ) 4、空集 （非常重要的集合） 定义4：不含任何元素的集合称为空集，记为 Ø 可用 Ø＝｛x | x≠x ｝ 表示 也可表示为｛x | x∈R∧x 2 +1=0｝ 性质： |Ø |＝0 空集是任何集合的子集 空集是唯一的 （反证法） 问题： Ø与 ｛Ø｝是什么关系？ ｛Ø，｛Ø｝｝的元素是多少？ 5、全集 E 任何集合看成是全集E的子集，∀ A ⊆ E 6、集合的文氏图表示

5. 例:判断真假 1) a ∈{ {a}} 2){a}∈{ {a}} 例:设S＝｛2，a,{3},4｝ R={ {a},3,4,1 }判断真假 1) {a,4,{3}}⊆ S 2) {a} ⊆ S 3) {a} ∈ R 4) {a} ⊆ R 5) Ø ∈ R 6){Ø} ∈ R 7） Ø⊆ {a} 8) Ø⊆ ｛{a}｝⊆R ⊆E

6. 三、集合的幂集 1、 n个元素集合A的m元子集 集合A的所有子集个数 2．幂集 定义5 设A为集合，把A的全体子集构成的集合叫做A的幂集， 记作P(A)(或2A) 幂集的符号化表示为： P(A) ＝{ x | x ⊆ A } 注：幂集是以子集合为元素的集合 任何集合A一定有二个平凡子集 ：Ø和 A 例：设 S＝｛a,{a}, Ø｝ 求P(S) 3、对于隶属关系和包含关系要明确 例：证明 A ⊆ B 的充要条件是P（A）⊆ P（B） 例：设：A＝ ｛Ø｝ B ＝ P（P（A）） 判断真假: Ø ∈ B 、 Ø ⊆ B { Ø } ∈ B 、 ｛Ø｝⊆ B { ｛Ø｝} ∈ B 、 ｛ ｛Ø｝ ｝⊆ B { ｛Ø｝，Ø } ⊆ B 、 ｛ ｛ {｛Ø｝} ，｛Ø｝} } ⊆ B

7. §6.2 集合的运算（共定义5种集合的运算及其运算律） 1、交运算 1） 定义1 任何两个集合A和B的A∩B，是由集合A和B所共有的全部元素构成的集合，并可规定成 A ∩ B = {x| （x ∈A）∧（x ∈B）} 2）性质 （a）A ∩ B = B ∩ A （b）（A∩B）∩ C = A∩（B ∩ C） （c）A ∩ A = A （d） A ∩ Ø = Ø (e ) A ∩ B = Ø表示A与B无公共元素 3) 交运算的文氏图表示 2、并运算 1）定义2 设A和B是两个任何集合。A和B的并集A∪B，是由那些或属于A或属于B或同时属于二者的所有元素构成的集合，并可规定成 A ∪ B = { x |（x∈A）∨（x∈B）} 2）性质 （a）A ∪ B = B ∪A （b）（A ∪B）∪C = A ∪（B ∪C） （c）A ∪A = A, A ∪ Ø = A , A ∪ E = E （d）A ∪（B ∩C）=（A ∪B）∩（A ∪C） （e）A ∩（B ∪C）=（A ∩B）∪（A ∩C） 3) 并运算的文氏图表示

8. 3、相对补集 1）定义3 设A和B是任何两个集合。B对A的A － B，是由属于集合A的但不属 于集合B的所有元素构成的集合，并可规定成 A － B = { x |（x∈A）∧（x ∉ B）} = { x|（x∈A）∧ ┐（x∈B）} 2）相对补集的文氏图表示 3）性质 （a）A － ø = A （b）A ∩（B-A）= ø （c）A∪（B－A）= A∪B （d）A－（B∪C）=（A－B）∩（A－ C） （e）A－（B∩C）=（A－B）∪（A－C） （f）A － （A∩B）= A － B (g) A ⊆ B的等价形式： A ∩B＝A 、 A∪B＝B、 A－B ＝Ø

9. 4、补集 1）定义4 给定全集E。对于任何集合A来说，A对E的相对补集，称为A的绝对补集或简称为A的补集，并记作～A。对于E和A所进行的差分运算通常称为求补。 ～A ＝ {x | x ∉ A）} = E -A = {x|（x ∈E）∧ ┓（x ∈ A）} = {x | ┓（x ∈ A）} 2）补集的文氏图： 3）性质 （a）A∪～A=E （b）A∩～A = ø（c）～（A∪B）=～A∩～B （d）～（A∩B）= ～A ∪ ～B 5、对称差 1） 定义5 设A和B是任何两个集合。A和B的是集合A⊕B，并可规定成 x∈A ⊕ B x∈{x|（x∈A）∨（x∈B）} 排斥或（异或） 或 A ⊕ B=（A- B）∪（B - A） 2）对称差的文氏图表示 3）性质： （a）A⊕B=B⊕A （b）（A⊕B）⊕C=A⊕（B⊕C） （c）A⊕B=（A∩～B）∪（B∩～A） （d）A⊕A= ø（e）A⊕ ø = A

10. 例：判断真假 1、x ∈{x}-{{x}} 2、A-B=A ⇔ B= ø 3、A-B=ø ⇔ B=A 4、A⊕A=A 5、如果 A∩B＝B，则 A＝E 6、A={｛x｝}∪{x},则{x}∈A 且{x}⊆A 设：S1＝｛1，2，3，…,8,9｝ S2={2,4,6,8} S3={1,3,5,7,9} S4={3,4,5} S5={3,5} 确定集合A与哪个集合相等？ 1、 若 A ∩ S5＝ ø 2、 若 A ⊆ S4 ，但 A ∩ S2＝ ø 3、若 A ⊆ S1 ，且 A 不是 S3的子集 4、若 A － S3＝ ø 5、若 A ⊆ S3 ，且 A 不是 S1的子集 A＝S2 A＝S5 A＝S4 A＝S5 不存在

11. 二、有穷集合的计数问题 1、 例：求1－1000内既不能被5和6及8整除的数 设 S＝｛1，2….1000｝ A={x 可被5整除}，B={x 可被6整除} ，C ={x 可被8整除} 2、定理 设S为有穷集合，P1，P2,P3,P4是4个性质，令Ai表示S中具有性质Ai的子集合，则S中不具有性质P1,P2,P3,P4的元素为： ｜A1∩A2∩A3∩A4｜＝| S |－｛| A1 |＋| A2 |＋|A3 |＋|A4 |｝ ＋｛|A1∩A2|＋|A1∩A3|＋|A1∩A4 |＋|A2∩A3|＋|A2∩A4|＋|A3∩A4|｝ －（| A1∩A2∩A3 |+| A1∩A2∩A4 |+| A3∩A2∩A4 |+| A1∩A3∩A4 |） + | A1∩A2∩A3∩A4 | 该公式可对有限个性质适用

12. §6.3 集合恒等式 集合运算的恒等式与命题公式的等值式有非常类同地方 即将： ∩看成 ∧ 、∪看成 ∨ 、 ∼ 看成 ┓ 空集Ø看成 F 、全集E看成 T 那么命题公式的等值式可表示为集合运算的恒等式 一、下面给出对照的公式： 1）等幂律 A∪A= A [P∨P <=> P] A∩A= A [P∧P <=> P] 2）结合律 （A∪B）∪C=A∪（B∪C） [（P∨Q）∨R <=> P∨（Q∨R）] （A∩B）∩C=A∩（B∩C） [（P∧Q）∧R <=> P∧（Q∧R）] 3）交换律 A∪B=B∪A [P∨Q <=> Q∨P] A∩B=B∩A [P∧Q <=> Q∧P] 4）分配律 A∪（B∩C）=（A∪B）∩（A∪C） A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C） [P∨（Q∧R） <=> （P∨Q）∧（P∧R）] [P∧（Q∨R） <=> （P∧Q）∨（P∨R）]

13. 5）同一律 A∪=A [ P∨F <=> P ] A∩E=A [ P∧T <=> P ] 6）零律 A∪E=E [ P∨T <=> T ] A∩ ø= ø [ P∧F <=> F ] 7）补余律 A∪～A=E [ P∨┐P <=> T ] A∩～A= [ P∧┐P <=> F ] 8）吸收律 A∪（A∩B）=A [ P∨（P∧Q） <=> P ] A∩（A∪B）=A [ P∧（P∨Q） <=> P ] 9）德·摩根定律 ～（A∪B）= ～A∩～B [ ┐（P∨Q） <=> ┐P∧┐Q ] ～（A∩B）= ～A∪～B [ ┐（P∧Q） <=> ┐P∨┐Q ] 10）双重否定律 ～（～A）=A [ ┐┐P <=> P ] 11） ～ø = E [ ┐F <=> T ] ～E = ø [ ┐T <=> F ] 12） A∩B ⊆ A A∩B ⊆ B A ⊆ A∪B A-B ⊆ A 13） A－B ＝ A ∩～B A － B ⊆ A

14. 证明:A－B ＝A 的充要条件是 A∩B ＝ Ø 充分性：用反证法 不空 必要性：相互包含 二、证明方法介绍 集合部分的证明内容一般为：集合的包含关系和集合的相等关系 A⊆B 和 A＝B 1、常规方法 证明 A⊆B任取 x ∈ A 利用所给的性质 ⇒ x∈B 或采用谓词演算方法 ∀x(x∈A→x∈B )成立 例：已知 A⊆B ，证明 ~B ⊆ ~A 证：∀x x∈~B ⇔ ┐x∈B 因为∀x ( x ∈ A → x ∈ B ) ┐x∈B → ┐x∈A ⇒ ┐x∈A ⇔ x∈~ A 2. 利用A⊆B的等价形式 A∪B＝B、 A∩B＝A 、 A－B＝ Ø 例： 证明： A ⊆ C 且B ⊆ C的充要条件是A∪ B ⊆ C 证：必要性 利用1将（A∪ B）∪ C ＝ （A∪ C )∪( B ∪ C）＝C ∪ C ＝C 充分性：看A∪ C与B ∪ C是否是C的子集（ A∪ C ＝ ⊆ c ？） A∪ C ⊆（A∪ C )∪ B⊆（A∪ B )∪ C ⊆C∪ C＝C B∪ C ⊆（ B ∪ C )∪ A ⊆（A∪ B )∪ C ⊆C∪ C＝C

15. 证明 (A－B)－C ＝（A－C)－(B－C) 利用谓词演算 ∀x ∈（A－B）－C ⇔ x ∈（A－B）∧ ┓x ∈C ⇔（x ∈A ∧ ┓x ∈B）∧ ┓x ∈C ⇔（x ∈A ∧ ┓x ∈B∧ ┓x ∈C ）∨ F ⇔（x ∈A ∧ ┓x ∈C ∧ ┓x ∈B） ∨（x ∈A ∧ ┓x ∈C ∧ x ∈C） ⇔（x ∈A ∧┓x ∈C)∧ (┓x ∈B ∨x∈C ⇔(x ∈A∧┓x∈C)∧┓(x ∈B∧┓x∈C） ⇔ x ∈（A －C）∧ ┓x ∈ （B－C） ⇔x ∈（A －C）－（B－C） 所以等式成立 3.利用集合的运算和恒等式 例：证明：已知A ∪B＝A ∪ C 且 A∩B ＝ A∩C 则 B＝C 利用恒等变形 B ＝ B∩(B ∪ A) 利用吸收律 ＝B∩(A ∪B) ＝B∩(A ∪ C) ＝(B∩A)∪(B∩C) ＝(A∩C)∪(B∩C) ＝(A ∪ B)∩C ＝(A ∪ C)∩C ＝ C 作业： P103 1、2（1，3，5）、 4、（1，3，5）、5、 6、 8（1，3，5）、9（2，4，5）、 13（2，4）、 19（1，3，5）、22、23（2，3）、25（1，3，8）、 28、30、40（2） 例：证明：已知A∩C ⊆B ∩C A－C ⊆ B－C 则 A ⊆ B (A∩C)∪(A－C)⊆ (B ∩C)∪ (B－C) A∩(C ∪ ~ C) ⊆ B ∩(C ∪ ~ C) A ∩E⊆ B ∩E A ⊆B

16. 第七章 二元关系(特殊的集合） 7.1 有序对与集合的笛卡尔积 一、有序对 （序偶） 1、定义：由两个元素x和y(允许x＝y)按一定顺序排列成的二元组叫做一个有序对或序偶，记作<x ，y>，其中x是它的第一元素，y是它的第二元素。 注：序偶不是由两个元素组成的集合 二者间的差别在于：对于序偶来说，应该明确地规定元素的排列次序：对于两个元素的集合来说，则不要求给元素规定任何排列次序。关键是有序关系 2、序偶的性质： 1）当x ≠ y时，<x，y> ≠ <y，x> 2）<x，y> ＝ <u,v> 的充分必要条件是x=u且y ＝ v． 二个元素的集合不具有该性质 ｛ x,y ｝该集合的x与y是无序的

17. 二、笛卡儿积 1．定义： 设A，B为集合，用A中元素为第一元素，B中元素为第二元素构成有序对．所有这样的有序对组成的集合叫做A和B的笛卡儿积，记作AⅹB． 笛卡儿积的符号化表示为 AⅹB＝ { <x，y> | x ∈A ∧ y∈B } 注：笛卡儿积是以序偶为元素的集合 （所有 第一成员取自于集合A，第二成员取自于B） 2．有限集合的笛卡儿积的元素： 如果 |A| ＝m ,|B| ＝n，则| A ⅹ B| ＝ m n 3.笛卡儿积的性质 1） 对任意集合A，根据定义有 A ⅹ ø＝ ø，ø ⅹ A＝ø 2）一般地说，笛卡儿积运算不满足交换律（有序的要求）

18. 3)笛卡儿积运算不满足结合律，即 (A ⅹB)ⅹ C) ≠ A ⅹ(Bⅹ C) (当ABC均不为空时) 4）笛卡儿积运算对并和交运算满足分配律，即 A ⅹ(B∪ C)＝(A ⅹB)∪(A ⅹ C) (B∪ C)ⅹA＝(BⅹA)∪(C ⅹA) A ⅹ(B∩C)＝(A ⅹ B)∩(A ⅹ C) (B ∩ C)ⅹ A＝(Bⅹ A)∩(C ⅹ A) 5） A⊆C ∧ B ⊆ D ⇒ A ⅹB ⊆ C ⅹ D． 该命题的逆命题不成立 （如有空集时） 例：设A＝{1，2}，求 P(A)ⅹA． 例：设A，B，C，D为任意集合，判断以下命题是否为真，并说明理由． (1) A ⅹ B ＝ A ⅹ C ⇒ B＝C 注： A为空集时，推理不成立 (2) A一(Bⅹ C) ＝ (A一B)ⅹ(A—C) 集合A的子集 序对的集合 (3) A＝B ∧ C＝D ⇒ A ⅹ C ＝ Bⅹ D (4)存在集合A，使得A ⊆ A ⅹA 真（空集）

19. 7.2 二元关系 一、二元关系定义 1、具有共同性质的序对的集合 朋友、同学、父子、上下级，数的整除、大于等于、平行、垂直等－－－ 抽象出来（内容去掉）－－－序对的集合－－有什么共同的性质、特征等 2、定义: 如果一个集合满足以下条件之一： (1)集合非空，且它的元素都是有序对 (2)集合是空集 则称该集合为一个二元关系，记作R． 二元关系也可简称为关系． 元素： 对于二元关系R： 如果<x，y> ∈R，可记作xRy； 3、集合A到B的二元关系 定义：设A，B为集合， AxB的任何子集所定义的二元关系叫做从A到B的二元关系， 特别当A＝B时则叫做A上的二元关系． R={<x,y>| x ∈ A ∧ y ∈ B ∧ P(x,y) } {<x,y>| <x,y>∈ AⅹB ∧ P(x,y) } 例

20. 4、关系的个数 设 ІAІ＝ n ,ІBІ = m 那么从A到B可定义多少关系？ 特殊的关系： 空关系 ø、全域关系 E＝A Χ B 5、常见的关系 A上的恒等关系 IA＝｛<x,x> |x ∈ A ｝ LA＝｛<x，y> | x，y∈A ∧x≤y }， 这里A⊆R，表示A上的小于关系． DB＝｛<x，y> |x，y∈A ∧x整除y }， 这里B⊆Z+,表示A上的整除关系 RE＝｛<x，y>| x，y∈E ∧ x ⊆ y}， 这里E是集合族，表示集合的包含关系． 6．二元关系的定义域和值域 1）R中所有有序对的第一元素构成的集合称为R的值域 ，记作domR 符号化为 domR ＝ ｛x |∃ y(<x，y>∈R) } 2）R中所有有序对的第二元素构成的集合称为R的值域，记作ranR． 形式化表示为： ranR ＝ { y | ∃ x(<x，y>∈R) } 注：必须是R中的序偶的第一成员和第二成员构成 例：P、Q为A到B的关系，证 ran(P ∩ Q) ⊆ ran(P) ∩ ran(Q)

21. 例： A = {1，2，3，4 } R1 = {<x,y>| x是y的倍数 } R2 = {<x,y>| (x-y)2属于 A } R3 = {<x,y>| x/y是素数 } R4 = {<x,y>| x≠ y } R5＝ {<x,y>| 3／（x-y) ∈ 整数 } R1={<4,4> ，<3,3>，<2,2>，<1,1>，<2,1>，<3,1>，<4,1>，<4,2>} R2 = { <4,2>,<2,4>,<3,1>,<2,1>,<2,1>,<1,3>,<3,4>，<4,3>} R3 = { <4,2> ，<3,1>，<2,1> } R4 = E – IA R5＝｛ <4,1> ，<1,4>｝ ∪ IA