Zéros de polynômes

1. Zéros de polynômes (La loi du produit nul) Remarque : Tu devrais visionner les présentations : - Factorisation par simple mise en évidence.ppt - Factorisation par double mise en évidence.ppt avant de visionner celle-ci.

2. y 1 x 1 Les zéros d’un polynôme sont les valeurs de la variable ou des variables qui annulent ce polynôme. Dans l’équation y = 2x – 6 , lorsque que x = 3, le polynôme est égal à 0. Exemple : 0 = 2 X 3 - 6 0 = 6 - 6 0 = 0 On dit alors que 3 est la valeur de x qui annule ce polynôme. Graphiquement, cela correspond à l’abscisse à l’origine de l’équation.

3. y x 1 1 Dans un polynôme du second degré, les zéros du polynôme correspondent aux valeurs de x qui annulent le polynôme. Déterminer ces valeurs, nous permet : • de trouver les abscisses à l’origine • d’une fonction polynomiale de degré 2; - de résoudre une équation du second degré. x2 + 5x + 18 = 12 x2 + 5x + 6 = 0 La factorisation et la loi du produit nul sont deux outils permettant de trouver ces valeurs.

4. Exemple Dans l’expression x + 3, quelle est la valeur de x qui annule ce polynôme ? Ceci veut dire : « pour quelle valeur de x, l’expression x + 3 est-elle égale à 0 ? » Pour le savoir, il faut isoler x : x + 3 = 0 x = -3 en effet, -3 + 3 = 0 Donc, -3 est la valeur de x qui annule le polynôme x + 3.

5. Dans l’équation x2 - 5x = 0, quelles sont les valeurs de x qui annulent ce polynôme ? Pour déterminer ces valeurs, il faut procéder en 2 étapes : 1) Factoriser le polynôme; 2) Utiliser la loi du produit nul. x2 - 5x = 0 1) Factoriser le polynôme : x (x - 5) = 0 Par simple mise en évidence. x (x – 5) Nous obtenons ainsi deux facteurs : et 2) Utiliser la loi du produit nul. La loi du produit nul signifie que si l’équation est égale à 0 alors un ou l’autre des facteurs est égal à 0. Examinons ce que cela veut dire.

6. La loi du produit nul signifie que si l’équation est égale à 0 alors un ou l’autre des facteurs est égal à 0. Exemple Soit l’expression x X y = 0. Si le produit de ces deux facteurs est égal à 0, alors un des deux facteurs est égal à 0. Ce peut être x qui est égal à 0, alors x X y = 0 0 X y = 0 x X y = 0 Ce peut être y qui est égal à 0, alors x X 0 = 0 Cette équation est égale à 0 soit pour x = 0 soit pour y = 0.

7. x2 - 5x = 0 si La loi du produit nul signifie que si l’équation est égale à 0 alors un ou l’autre des facteurs est égal à 0. x (x - 5) = 0 Soit x = 0, 0 (0 – 5) = 0 0 X - 5 = 0 Vrai. Soit x – 5 = 0 alors x = 5, 5 (5 – 5) = 0 5 X 0 = 0 Vrai. Donc, 0 et 5 sont les deux valeurs qui annulent ce polynôme. x2 - 5x = 0 Vérifions : Pour x = 0, Pour x = 5, 02 – 5 X 0 = 0 52 – 5 X 5 = 0 Vrai. 0 – 0 = 0 Vrai. 25 – 25 = 0

8. 4 4 x x (y + 2) (y + 2) Pour déterminer les zéros d’un polynôme, il faut trouver les valeurs de la variable ou des variables qui annulent ce polynôme. Pour ce faire : 1) On factorise le polynôme; 2) On utilise la loi du produit nul en isolant la (les) variable(s) dans chacun des facteurs. Exemple : Détermine les valeurs qui annulent le polynôme suivant. xy + 2x + 4y + 8 1) Factoriser le polynôme : x ( ) + 4 ( ) y + 2 y + 2 (x + 4) (y + 2) = 0 2) Loi du produit nul : (-2 + 2) (x + 4) = 0 Soit y + 2 = 0 alors y = - 2, 0 X ( x + 4 ) = 0 Soit x + 4 = 0 alors x = - 4, (y + 2) (- 4 + 4) = 0 (y + 2) X 0 = 0 Donc, - 2 pour y ou – 4 pour x sont les deux valeurs qui annulent le polynôme.

9. 2x 2x -1 -1 (y + 5) (y + 5) (2x - 1) = 0 (-5 + 5) (2 X - 1) (y + 5) = 0 2 2 1 2 1 x = 2 1 - 5 pour y ou pour x. 2 Détermine les valeurs des variables qui annulent ce polynôme. 2xy + 10x - y - 5 1) Factoriser le polynôme : 2x ( ) y + 5 y + 5 - 1 ( ) (2x - 1) (y + 5) = 0 2) Loi du produit nul : Soit y + 5 = 0 alors y = - 5, Soit 2x - 1 = 0 2x = 1 Les valeurs qui annulent le polynôme sont