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提高篇

提高篇. 第二讲 Maple 数学. 内容提要. 1、寻求帮助 2、 Maple 语言基础 3、 Maple 的数据类型 4、初等数学实验 5、函数 6、 Maple 作图 7、微积分实验. 数学魔法师. 1、寻求帮助. 从 Help( 帮助)菜单按类查找 ?命令, 例： ? animate ? anim 完整帮助信息,包括六个方面: Function: 函数 Calling sequence: 命令格式 Parameters: 参数

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Presentation Transcript

  1. 提高篇

  2. 第二讲 Maple数学 内容提要 1、寻求帮助 2、 Maple语言基础 3、 Maple的数据类型 4、初等数学实验 5、函数 6、 Maple作图 7、微积分实验

  3. 数学魔法师 1、寻求帮助 • 从Help(帮助)菜单按类查找 • ?命令, 例： • ?animate • ?anim • 完整帮助信息,包括六个方面: Function:函数 Calling sequence:命令格式 Parameters:参数 Synopsis:说明 Examples:例 See also:相关条目 • 查找部分信息 info(命令)；函数作用 usage(命令)；调用格式 example(命令)；实例 related(命令)；相关条目 • F1

  4. 面板输入 • 选择 view 菜单下的 palettes 特定面板 特殊符号 矩阵 运算式

  5. 2、Maple语言基础 2.1 语句和表达式 • 语句类型

  6. 例: • y:=x-> if x>1 then log(x) else sin(Pi*x/2) fi; evalf(y(2.7)); evalf(y(1)); evalf(y(0)); #判断 • 函数: y= log x (x>1) sin(π x/2) (x≤1) • x:=0: for i from 1 to 100 do x:=x+i od: x; #for-do-od • 1+2+……+100 • x:=0: for i from 1 to 100 do if x>100 then exit else x:=x+i fi od: x; #嵌套, 退出 • 1+2+…… • x:=0 : j:=0: while j<=100 do x:=x+j:j:=j+1 od:x;#while-do-od • 1+2+……+100 • > x:=0 : j:=0:for j in {1,4,5} while j<=100 do x:=x+j:j:=j+1 od:x;

  7. 例: • 判断 2^(2i-1)-1, i= 1,2,…,8 是否是素数 • i f – then – else –fi • 命令 isprime(…) • for i to 8 do #省略 • a: = 2^(2*i+1)-1; • if isprime(a) then print(a, `is a`) else print (a, `is not`) fi • od • 注: 强行换行 Shift+Enter

  8. 2.2 过程(procedure) • Maple程序的主要结构 • 关键字: proc local global end • 参数:可以是空的；如：proc() 可以限制参数类型；如：proc(x :: numeric,y :: numeric) 可以用args代表所有实际输入的参数，并可用nargs测量参数的长度。

  9. 局部变量和全局变量 • a: =1; • f: =proc( ) local a; a: =105615750/456210 evalf(a/2); end: • f( ); • a; • a: =1; • f: =proc( ) global a; a: =105615750/456210 evalf(a/2); end: • f( ); • a;

  10. 例: • 过程 • 内部变量 • 判断参数长度 • 赋值 • 循环 • 判断大小 • 输出 • 试用 • Max:=proc() • local i,m; • if nargs=0 then RETURN(FAIL) end if; • m:=args[1]; • for i from 2 to nargs do • if args[i]>m then m:=args[i] end if ; • end do; • m; • end: • Max(2,5,4,7,4,6,4);

  11. 3、 Maple的数据类型 3.1 基本数据类型

  12. 3.2 复合数据类型

  13. 3.3 软件包 • 软件包：

  14. 4、初等数学实验 4.1 数字运算 • 整数、分数运算 >p:=1153*(3^58+5^40)/(29!-7^36); • 常用运算符:+,-,*,/,^或**,abs( ) • 浮点运算 >evalf(p,20); 2→ 2.0 • 数学常数 Pi(p大写)、I(复数单位)、infinity(无穷) >Pi;infinity;

  15. 4.2 基本代数运算 • 运算符 • 基本初等函数 sqrt、^ 、exp、log、sin、cos、tan、cot、sec、csc、arc • 数值显示

  16. 例： • 3！**6； • sin(5); exp(1); • %；%% • evalf(Pi,100);

  17. 4.3 多项式 • 定义 • y:=x-> x^3-2*x^2-5*x+6;………….y(x) • z:=x^2-5*x+4; • 算术运算 • 例 • 将100!分解成素数?第1000个素数是什么? • ifactor(100!);ithprime(1000); • 例 • w:=y(x)/z; y(x)*z; y(x)-z; • gcd(y(x),z); lcm(y(x),z); • quo(y(x),z,x,'r');r;

  18. 重组 • 例: • factor(y(x)); (2*x^2-5*x+6)*z; expand(%); • 求根 • 例: • t:=x^3+2; fsolve(t);fsolve(t,x,complex); • realroot(t); roots(t); solve(t); evalf(%);

  19. 4.4 有理式 • 例: s:= (x^3-2*x^2-5*x+6)/(x^2-5*x+4); • 例: • %+x; • simplify(%);simplify(%%%); Maple

  20. 5、函数 • 自定义函数 赋值法 f：=数 或 表达式; (后赋值将替换以前的赋值, 加单引号表示符号变量) 箭头算子法 f：=x->表达式、f:：=(x,y)-> 表达式; >y:=x^2-5*x+3;y(3); >y:=x->x^2-5*x+3;y(3); • 函数运算 函数可以进行+,-,*,/,@(复合运算)

  21. 说明: 函数定义

  22. 例: • lc := proc( s, u, t, v ) • description "form a linear combination of the arguments": • s * u + t * v • end proc: • print( lc ); • lc( Pi, x, -I, y ); • p:=proc(x) if x>1 then x^2-1 else 2*(1-x) fi end:p(2); • p:=piecewise(x>1,x^2-1,2*(1-x) );

  23. 6 Maple作图 • 基本命令 • 二维图形

  24. 三维图形 • 其他

  25. 例： • > plot(x^2,x=-3..3); >plot(2*x^3-6*x,x=-2.5..2.5,style=point,symbol=box); >plot([4*x-x^2+2,x^2,3*x+1],x=-2..5, color=[red,blue,green], linestyle= [20, 20]) >f:=10*sin(x)*exp(-x^2):#先定义函数 >plot(f,x=-2..5,color=green,linestyle=20);作上述函数图 >f:=x->sin(x)*exp(x): plot(f(x),x=-2..5); • > plot({[sin(t),cos(t),t=0..2*Pi],2*x-1},x=-2..2,y=-2..2); • >with(plots):animate(sin(t*x),x=-2*Pi..2*Pi, t=.5..4, color=1, linestyle =30);

  26. 续 • 极坐标 > plot([sin(4*x),x,x=0..2*Pi],coords=polar,thickness=3); >with(plots):animate([sin(x*t),x,x=-4..4],t=1..4, coords=polar, numpoints=100,frames=100); • 曲面图： > plot3d(x^2+y^2,x=-2..2,y=-2..2,color=0.1); • 动画图 > with(plots): > animate3d( cos(t*x)*sin(t*y), x=-Pi..Pi, y=-Pi..Pi, t=1..2 ); • 三维曲线图：plot3d([x(t),y(t),z(t)],t=t1..t2],z=z1..z2,选项)； >plot3d([cos(t),sin(t),t],t=0..3*Pi,z=a..b);

  27. 7、微积分实验 7.1 极限 • 格式 • limit(f(x), 极限点，选项)为极限计算指令 Limit (f(x), ……) 为极限符号,可用value显示值

  28. 例： • >Limit((x-sin(x))/x^3,x=0)=limit((x-sin(x))/x^3,x=0); >Limit(exp(1/x),x=0,left)=limit(exp(1/x),x=0,left); >Limit((x^2-3*x+2)/(5*x^2-4),x=infinity)=limit((x^2-3*x+ 2) /(5*x^2-4),x=infinity); > Limit(x^sin(x),x=0)=limit(x^sin(x),x=0); > Limit(sin(x),x=infinity)=limit(sin(x),x=infinity); > Limit(exp(x),x=-infinity)=limit(exp(x),x=-infinity); • 注：函数若由箭头算子定义，求极限函数要用f(x)形式 >y:=x->exp(x):limit(y,x=3);limit(y(x),x=3);

  29. 7.2 导数 • 格式 • diff(f,x1,x2,…) x1,x2,…为各次求混合导数的自变量 diff(f,x$m,y$n) m，n分别为对自变量x、y求导阶数 Diff 为求导符号,可用value显示值

  30. 例： • > Diff(exp(x^2),x)=diff(exp(x^2),x); >Diff(log(x+sqrt(1+x^2)),x$2); value(Diff(log(x+sqrt(1+x^2)),x$2)); simplify(value(Diff(log(x+sqrt(1+x^2)),x$2))); >Diff(x^2*cos(y),x,y$3)=diff(x^2*cos(y),x,y$3); >subs(x=3,y=4,diff(exp(sqrt(x^2+y^2)+x),x,y)); evalf(subs(x=3,y=4,diff(exp(sqrt(x^2+y^2)+x),x,y))); #计算函数在(3,4)点混合导数值 • 注：函数若由箭头算子定义，求导函数要用f(x)形式 >y:=x->sin(1/x):diff(y,x);diff(y(x),x);

  31. 7.3 积分 • 格式 • 不定积分 int(f,x) 定积分 int(f,x=a..b) Int为积分符号，用value显示值 • 重积分 int(int(f(x,y),y=y1(x)..y2(x)),x=a..b)

  32. 例： • > Int(2*x*sin(x),x)=int(2*x*sin(x),x)+c; > Int(sqrt(a^2+x^2),x)=int(sqrt(a^2+x^2),x)+C; >Int((x-2)/(x^3-1),x)=int((x-2)/(x^3-1),x)+C; > value( Int(x*ln(x),x))； >Int((x-2)/(x^3-1),x=2..3)=int((x-2)/(x^3-1),x=2..3); >int(sin(sin(x)),x=0..2);Evalf(%); • 注：箭头算子定义函数要用int(f(x)，x) >f:=x->x^2-1/x:int(f(x),x); • >Int(Int(abs(y)*x^2,y=-sqrt(1-x^2)..sqrt(1-x^2)),x=-1..1) =int(int(abs(y)*x^2,y=-sqrt(1-x^2)..sqrt(1-x^2)),x=-1..1) ;

  33. 7.4 循序渐进 • 例: • f:=sqrt(x+1)/sin(x); iscont(f,x=-0.5..1); discont(f,x); • 例: • f:=sqrt(x+1)/sin(x); diff(f,x); D(f); D(f)(2); • g:=x->sqrt(x+1)/sin(x); diff(g,x); D(f); D(f)(2); evalf(%); • eqn:=x^2+y^2=1; implicitdiff(eqn,y,x);

  34. 续 • with(student): • expr:=Int(x^2*exp(x),x); • intparts(expr,x^2); #设u=x^2, 分部积分 • value(%);

  35. 7.5 级数 • 级数 • 例: • Sum(x^n/n!,n=0..infinity)=sum(x^n/n!,n=0..infinity); • Sum(1/k^2,k=1..infinity):%=value(%); • 1/(1-x)=series(1/(1-x),x); taylor(1/(1-x),x); • sin(x)=series(sin(x),x=Pi/2,8); > • exp(x)/x=taylor(exp(x)/x,x); • series(exp(x)/x,x); • x^3/(x^4+4*x-5)=series(x^3/(x^4+4*x-5),x=infinity);

  36. 续 • 幂级数 • with(powseries): • powcreate(f(n)=2^n/n!): • powcreate(h(n)=(-1)^(n+1)/n,h(0)=1): • Sum(2^n*x^n/n!,n=0..infinity)=tpsform(f,x,7); • powcreate(h(n)=(-1)^(n+1)/n,h(0)=1): • Sum((-1)^(n+1)*x^n/n,n=1..infinity)=tpsform(h,x,5); • powcreate(v(n)=(v(n-1)+v(n-2))/4,v(0)=4,v(1)=2): • tpsform(v, x); • 一．> • >

  37. 7.6 方程求解 • solve(方程，未知数)；fsolve(方程，未知数，选项)；解数值解 选项：1.complex复数域上求根 2.fulldigits保持精度 3.maxsols=n求n个解 4.范围 (省略“=”号为=0) • >p:=x->x^2+2*x-3:plot(p(x),x=-4..2); solve(p(x)); fsolve(p (x) = 12,x); >t:=solve(6*x^4-35*x^3+22*x^2+17*x-10):t1:=eval(t[1]); t2:=eval(t[2]); t3:= eval(t[3]); t4:=eval (t [4]); >p:=x->12*x^5+32*x^4-57*x^3-213*x^2-104*x+60:plot(p,-5..5, 650.. -300); solve(p(x));

  38. 续 • > solve({2*x+3*y,y= x+1}); • >solve(x^5-3*x^4-23*x^3+27*x^2+166*x+120=0,x); >fsolve(x^5-3*x^4-23*x^3+27*x^2+166*x+120,x, -1.5..3.5); >fsolve (x^4-3*x+4,x,complex); >fsolve(x^5-3*x^4-23*x^3+27*x^2+166*x+120=0,x, maxsols=2);

  39. 7.7 微分方程,差分方程 • 微分方程 方程中未知函数要用y(x)记，n阶导可用D@@n(y)(x)， 初始条件y(x0)=a,（D@@n）(y)(x0)=b • 差分方程

  40. 例： • >dsolve({diff(y(x),x)=0.003*y (x) *(100-y (x) ),y(0)=15},y(x)); >assign(“); plot(y(x),x); > dsolve(diff(y(x),x$2) - y(x) = sin(x)*x, y(x)); • > p:= dsolve({D(y)(x) = y(x), y(0)=1}, y(x),type=numeric): #解数值解 > with(plots); > odeplot(p,[x,y(x)],-1..1 );#作微分方程数值解图 • > sys := diff(y(x),x)=z(x),diff(z(x),x)=y(x): fcns := {y(x), z(x)}: > p:= dsolve({sys,y(0)=0,z(0)=1},fcns,type=numeric): > odeplot(p, [x,y(x)], -4..4, numpoints=25);

  41. SUN 再 见

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