6. 확 률

1. 6. 확 률

2. 경우의 수 (합의 법칙) (1) 두 사건 A, B가 동시에 일어나지 않을 때, A, B가 일어나는 경우를 각각 m가지, n가지라고 하면A또는B가 일어나는 경우의 수는 m+n가지이다.

3. 한 사건 A 가m가지로 일어나고 그 각각에 대하여 다른 사건 B 가 n가지로 일어날 때 A 와 B 가 동시에 일어나는 경우의 수는 이다. (곱의 법칙)

4. * point-up 경우의 수를 조사할 때는 다음을 주의한다. (i) 빠짐없이 , 중복되지 않게 조사한다. (ii) 수형도, 사전식 배열법 등을 이용한다.

5. A D B C 연습문제 A, B, C, D 의 네 지점을 잇는 도로망이 오른쪽 그림과 같을 때, 다음 물음에 답하여라. (1) B 에서 A를 지나 C로 가는 방법의 수 (2) B에서 C 로 가는 방법의 수를 구하라.

6. ab ac ba bc ca cb 세 개의 문자 a, b, c중 두 개를 택하여 일렬로 배열하는 방법의 수는? 첫째 자리 둘째 자리 결과

7. 따라서, 위의 결과는 첫째자리에 들어갈 수 있는 경우의 수에다 둘째자리에 들어갈 수 있는 경우의 수를 곱의 법칙에 의하여 곱한 가지수가 된다. 이것을 서로 다른 3개에서 2개를 택하는 순열 이라 한다.

8. 서로 다른 n개에서 r 개를 택하여 일렬로 나열하는 방법을 n개에서 r개를 택하는 순열이라 하고, 이 순열의 수를 로 나타낸다. (단, ) 순 열

9. * point-up 의 공식 에서 r = n이면,

10. 의 활용 (i) 몇 개가 이웃할 때는 순열은 첫째, 이웃한 것을 하나로 생각 둘째, 이웃하는 것끼리 자리바꿈 하여 생각. (ii) < 적어도...>의 순열은 여집합을 생각한다.

11. 연습문제 1, 2, 3, 4, 5 의 다섯 개의 숫자 중에서 서로 다른 세 숫자를 이용하여 만들 수 있는 세 자리의 자연수는 모두 몇 개인가? [60]

12. ABCD A B D C DABC B A D C A D B C B A C D CDAB BCDA 4명의 가족 A, B, C, D 가 원탁에 둘러 앉는 경우의 수와 일렬로 배열할 때의 차이 ?

13. 원순열 서로 다른 n개의 원소를 원형으로 배열하는 것을 원순열 이라 한다. 또 이를 계산하는 방법은

14. A A B D D B C C 원순열에서 다음을 생각해 보자. 위의 두 가지를 만약에 뒤집어 놓는다면? (예를 들어 목걸이라 하자.) 일반적으로 원형으로 배열할 때 같지 않던 것이 이것을 뒤집어 놓으면 같게 되는 것이 몇 개씩 있을까?

15. 염주순열(목걸이 수열) 서로 다른 n개의 원소를 원형으로 배열한 것을 뒤집어 놓을 수 있는 순열을 염주순열 이라 한다. 이것은 원순열의 개수 중 각각 2개씩 동일한 것이 있으므로 구하는 가지수는

16. 이 중에서 2개를 택하여 일렬로 배열하는 순열의 수는 가지 이다. 서로 다른 3 개의 과일 사과, 배, 수박 이 있다. 중복을 허용하면 어떨까? (즉 같은 과일을 택하는 것까지 생각하면?) 위의 순열의 수에 추가하여 (사과, 사과), (배,배), (수박,수박)의 3가지를 더 생각할 수 있다. 이것을 중복순열 이라 한다.

17. 서로 다른 n개의 중복을 허용하여r개를 택하여 일렬로 나열하는 방법을n개에서 r개를 택하는 중복순열 이라 하고, 이 중복순열의 수를 로 나타낸다. 중복 순열

18. 1 2 3 함수의 개수는 중복순열의 수와 같다. 이를테면, X={1, 2, 3} , Y={a, b} 일 때, 집합 X에서 Y로의 함수의 총수는 이다. a a b a a b b a a b b a b b * point-up

19. 세 문자 a, a, b를 일렬로 배열하는 순열의 수(x) 는 같은 a를 로 분류해서 생각해 보자. 그럼 순열의 수는 모두 이다.

20. 같은 것이 있는 순열 n개 중에서 같은 것이 p개, q개, r개, …. 있을 때, n개를 모두 택하여 만든 순열의 수는

21. * point-up 다음과 같은 상황은 [ 같은 것을 나열하는 순열] 의 수를 이용한다. (i) 다음의 그림과 같은 도로망이 있을 때, A에서 출발하여 B로 가는 최단 경로의 수는 가로로 가는 것을 a , 세로로 가는 것을 b라고 할 때, a, a, a, a, b, b, b를 일렬로 나열하는 방법의 수와 같다.

22. B A 즉, (가지) 와 같다.

23. (ii) 순서가 정해진 것이 있는 순열의 수는 순서가 정해진 것을 같은 것으로 보고 나열 하는 방법의 수와 같다. Ex)SEOUL이라는 문자를 모두 써서 만들 수 있는 순열 중 O, U순서로 있는 경우의 수는 O, U를 같은 것으로 보고 5개의 문자를 나열하는 방법의 수. 즉, (가지) 와 같다.

24. 연습문제 다섯 개의 문자 a, a, a, b, b를 모두 일렬로 배열하는 방법의 수를 구하여라. [10가지]

25. 연습문제 [(1) 81개 (2) 243가지] 다음을 구하여라. (1) 숫자 1, 2, 3 을 사용하여 만들 수 있는 네 자리 정수의 개수 (단, 한 숫자는 여러 번 사용할 수도 있다.) (2)서로 다른 5통의 편지를 A, B, C 의 세 우체통에 넣는 방법의 수

26. 3개의 문자 A, B, C 에서 2개를 택하는 것과 2개를 택해서 나열하는 것 까지 생각하는 순열과의 차이는? 먼저 순열의 수는 (A,B) , (B,A) , (B,C) , (C,B) , (A,C) , (C,A) 이상 6가지. 단지 2개를 택하는 경우의 수는 (A,B) (A,C) (B,C)

27. 서로 다른 n개에서 순서를 생각하지 않고 r개 를 택하는 것을조합이라 하고, 이 조합의 수를 로 나타낸다. 조합

28. (ii)서로 다른 n개의 물건을 p개, q개, r개 (p+q+r = n) 의 3개조로 나누는 방법의 수는 단, p, q, r에 있어서 어느 두 수가 같으면 2!, 세 수가 같으면 3! 로 나눈다. * point-up

29. 예) 서로 다른 종류의 꽃 15송이를 다섯 송이씩 세 묶음으로 나누는 방법의 수

30. [ ] 연습문제 남자 5명, 여자 3명 중에서 남자 3명, 여자 2명의 임원을 선출하는 방법의 수를 구하여라.

31. ㄱ ㄴ * point-up 이를테면, 숫자 1, 2 에서 중복을 허락하여 3 개를 택하는 조합은 이고,각 조합의 둘째, 셋째 숫자에 각각 1, 2를 더하면 의 서로 다른 네 숫자 1, 2, 3, 4 에서 3개를 택하는 조합이 된다.

32. 서로 다른 n개에서 중복을 허락 하여 r개를 택하는 조합을 중복조합 이라 하고, 이 중복조합의 수를 로 나타낸다. 중복조합

33. 이때, , 의 수는 같으므로 이 성립함을 알 수 있다. ㄱ ㄴ

34. [ ] 보충문제 • 감, 사과, 배 3종류의 과일이 있다. • 5개의 과일을 사는 방법은 몇 가지인가? 2. 6명의 선거인이 2명의 후보자에게 무기명으로 투표하는 방법의수는?

35. : 중복을 허락하지는 않지만, 순서는 생각한다. : 중복을 허락하고 순서도 생각한다. : 중복을 허락하지 않고 순서도 생각 하지 않는다. : 중복을 허락하고 순서도 생각하지 않는다. 순열, 중복순열, 조합, 중복조합의 차이점

36. 순열 이를테면, 세 개의 숫자 1, 2, 3 에 대하여 생각해 보자. (i) 1, 2, 3 에서 서로 다른 두 개를 뽑아 일렬로 배열하는 경우의 수는 12 , 21 , 13 , 31 , 23 , 32 의 6가지 즉,

37. 중복순열 (ii) 1, 2 ,3 에서 중복을 허용하여 두 개를 뽑아 일렬로 배열하는 경우의 수는 11 , 12 , 13 , 21 , 22 , 23 , 31 , 32 , 33 의 9가지 즉,

38. 조합 중복조합 (iii) 1, 2, 3 에서 서로 다른 두 개를 뽑는 경우의 수는 12 , 13 , 23 의 3가지 즉, (iv) 1, 2, 3 에서 중복을 허용하여 두 개를 뽑는 경우의 수는 11 , 12 , 13 , 22 , 23 , 33 의 6가지 즉,

39. 갑, 을, 병 의 세 명의 선거인 A, B 의 두 명의 후보 (갑) (을) (병) A A B A B B B A A A B A B A B B B A B A A B B A (1) 기명투표 : 모두 A가 2표, B가 1표로 결과는 같지만 갑, 을, 병이 누구를 투표했는가 를 따질 때는 전혀 다른 경우가 된다.

40. (갑) (을) (병) A B A B A B B A A A A B A B B B B A B B A A B A (2) 무기명투표 : A가 2표, B가 1표 A가 1표, B가 2표 각각 한가지로 셈한다. 그러므로 모두 4가지.

41. * point-up n 명의 선거인이 r 명의 후보에게 투표할 때, 개표 결과는 기명투표일 경우 : 무기명투표일 경우 :

42. 을 전개할 때, 생기는 항의 수? 전개할 때의 나타나는 항들을 생각해 보자. 예를 들어, x, y, z중에서 중복을 허락하여 5개를 택하는 조합

43. 부정방정식 에서 (1) 음이 아닌 정수해 : (2) 양의 정수해 :

44. 예를 들어, 항은 4개의 (a+b) 중에서 3개로부터 b를 택하고, 나머지 하나는 a를 택하여 곱한 것. 즉, 이것의 항들을 생각해 보자. 4개의 인수 (a+b) 로 부터 각각 a 또는 b를 하나씩 택하여 곱한 것이다.

45. 일반항 이항계수 이항정리

46. * point-up 이항계수의 성질

47. 파스칼의 삼각형

48. 다항정리 일반항 : ( 단, p, q, r는 0 이상의 정수이고 p+q+r=n)

49. 확대 항의 계수는

50. 연습문제 의 전개식에서 일차항x의 계수를 구하여라. [-80]