Fraktální dimen ze

1. Fraktální dimenze Definice fraktální (vnitřní) dimenze a její aplikace v databázích David Hoksza

2. Obsah • Topologická dimenze • Hausdorffova dimenze • Fraktální dimenze (FD) • Výpočet FD v O(n) • Aplikace při selekci atributů • Výpočet FD pomocí box-counting • Aplikace při detekci očí v obrázku

3. Topologická dimenze(TD) • Geometricky hladké objekty • Počet parametrů popisujících objekt • Pevně definovaným vztahem lze popsat libovolný bod objektu • Celočíselná • TD nezávisí na dimenzi prostoru, kde je daný objekt umístěn • Vlastnosti tělesa nezávislé na měřítku

4. Příklady TD • Přímka • y = y0 + kt • TD = 1 • Funkce • x = sin(t)*log(t) • y = cos2(t) • z = t • TD = 1 • Libovolná hladká plocha • Kruh, trojúhelník, n-úhelník • TD = 2

5. Hausdorffova (fraktální) dimenze(FD) • Neceločíselná • Udává úroveň členitosti objektu • Délka břehu ostrova • Zmenšování měřítka => růst délky • Zabírá více místa než hladká křivka • Větší než topologická

6. Měření FD (1) • Úsečka • Úsečku rozdělíme na N dílů • Měřítko: s = 1/N • Pro FD platí: NsD = 1 • NsD = 1 • logNsD = log 1 • logN + logsD = 0 • Dlogs = - logN • D = (-lognN)/logs • D = logN/log(1/s) • D = logN/log(1/s) = lognN/logN = 1

7. Měření FD (2) • Čtverec • s = 1/N2 • D = logN/log(1/s) = logN/log(N2) = 1/(1/2) = 2

8. Měření FD (3) • Kochova křivka • 5 iterací křivky

9. Měření FD (3) • Kochova křivka • 3 x zjemnění => 4 x délka • s= 1/3 => N = 4 • D = logN/log(1/s) = log4/log3 = 1.261895

10. “Vnořená” a “Vnitřní” Dimenze • “Embedding” (vnořená) dimenze(ED)datasetu je dimenze jeho adresového prostoru. • Počet atributů datasetu • “Intrinsic” (vnitřní) dimenze(ID) je dimenze prostorového objektu reprezentovaného datasetem, nezávisle na prostoru, do kterého je vnořen.

11. Vlastnosti ID a ED • Vzájemně nezávislé atributy => ED == ID • Polynomiální korelace snižuje ID o jednotku • Ostatní korelace můžou jinak (i o zlomek) • Obvykle ID z dat není zřejmá • ID určuje počet atributů potřebných k charakterizaci datasetu

12. Zobecněná Hausdorffova fraktální dimenze (1) • Rozdělme E-dimenzionální prostor do hyperkrychlí o hraně r. Budiž N(r) počet buněk obsahující alespoň 1 bod. Potom fraktální dimenze D0 je definována jako: • Vhodné z matematického hlediska (nekonečný počet bodů)

13. Hausdorffova fraktální dimenze pro konečné množiny • Datasety nemají nekonečně mnoho bodů => definujeme pouze pro jistý úsek • Pro množinu sebepodobných bodů v rozsahu rozlišení r z (r1,r2) je Hausdorffova dimenze D0 pro tento rozsah:

14. Zobecněná Hausdorffova dimenze pro konečné množiny • Existence zobecněné definice • existuje nekonečně mnoho definic • Pro množinu sebepodobných bodů v rozsahu rozlišení r z (r1,r2) je zobecněná Hausdorffova dimenze Dq definována:

15. Korelační fraktální dimenze( vnitřní dimenze) r – velikost pole Cr,i - počet bodů v i-tém poli velikosti r

16. FD při selekci atributů • Datová sada o N atributech • Ne všechny stejně důležité • Detekce existence závislosti • Odstranění závislých atributů

17. FD pro selekci - koncept • Zjištění “fraktální dimenze” datasetu • Zjištění atributů, které FD málo ovlivňují • Odstranění atributů

18. FD pro selekci - koncept • Obvykle data v tabulce • Sloupce == vlastnosti • Řádky == body • Tabulka == body v E-dimenzioním prostoru, kde |E| = |sloupce| • Obvykle atributy vyjadřují číselné hodnoty • => těžko vyjádřitelný primární klíč • => indexování podle celé množiny atributů • => “prokletí dimenzionality”

19. Fractal Dimension Algorithm (1) • Počítá v čase O(N*E*R) • E-dimenzionální prostor • Mřížka s buňkami o velikosti r • Cr,i - počet bodů v i-tém poli velikosti r • S(r) = suma(Cr,i2) • Získání fraktální dimenze • Spočítat S(r)s různými hodnotami r a spočítat směrnici výsledné přímky • Vytvořena multiúrovňová struktura pro počítání S(r) • <Cr,i,p>, kde p je ukazatel do další úrovně pro danou buňku • Kazdá úroveň obsahuje S(r) pro hodnotu r=r/2 z předchozí úrovně • Struktura je vytvářena v hlavní paměti => omezení její velikosti

20. Fractal Dimension Algorithm (2) • Množina 5-ti bodů v 2D

21. Fractal Dimension Algorithm (3)

22. Algorimus pro selekci atributů • FD (=D)<= ED (=E) • Existuje D neodvoditelných atributů • (D <= E) => existuje (E-D) odvoditelných atributů • Získat • Eliminovat • Parciální fraktální dimenze (pD) Korelační fraktální dimenze datasetu bez bez jednoho či více atributů.

23. Algorimus pro selekci atributůFDR – Fractal Reduction Algorithm • Spočítaní FD celého datasetu • Spočítání pD s každým odebraným atributem • Vybrání atributu s minimálním rozdílem pD od FD datasetu • Odebrání atributu • Iterativně opakovat • Př.: • atributy {a,b,c} • c=a+b

24. FDR

25. Datasety pro testování • Sierpinsky5 • 5D Sierpinského trojúhelník • a=x,b=y,c=a+b,d=a2+b2,e=a2-b2 • Hybrid5 • 5D Sierpinského trojúhelník • a=x,b=y,c=f(a,b),d=random1,e= random2 • Měna • 6-ti dimenzionální dataset normaliyovaných kurzů měny z 01/02/87-01/28/97 • a=Hong Kongský dolar, b=Japonský jen, c=US dolar, d=Německá marka, e=Francouzský frank, f=Britská libra • Eigenfaces • 11000 vekotrů obličeje z projektu Informedia • 16 dimenzí

26. FD datasetů

27. Testování • 450 MHz Pentium II • 128 MB RAM • Windows NT 4.0 • C++ • Počítání dimenze • O(N) • FDR • Lineární vzhledem k N • Kvadratická vzhledem k dimenzi prostoru

28. Testování – fraktální dimenze

29. Testování - FDR

30. Lokace páru očí v obrázku • 3 úrovně • detekce kandidátů na oko • normalizace, FD, orientovaná FD, vytvoření dvojic • FD hraničního obrázku, FD tváře, výstup

31. FD pomocí box-counting (1) • Počet kvádrů (box) pokrývající obrázek převedený do 3D • 2D -> 3D • x=x • y=y • z=“intenzita šedé barvy” • Vytvoření mřížky • obrázek IxI • mřížka SxS • buňky (i,j), kde 0<=i,j<r, r=spodní_celá_část(I/S) • převod na krychli SxSxS’ • maximální_intensita_šedé = G • spodní_celá_část(G/S’) = spodní_celá_část(I/S)

32. FD pomocí box-counting (2) • Padne-li min a max intenzita šedé na buňce (i,j) do kostek k, resp. l, pak nr(i,j)=l-k+1, kde r=spodní_celá_část(I/S) • celkový počet kostek potřebný k pokrytí povrchu: Nr=sumai,jnr(i,j) • FD = směrnice přímky proložené jednotlivými hodnotami (log(Nr),log(1/r))

33. FD pomocí box-counting pro binární obrázek • 2 hladiny – černá, bílá • černá – obrázkový bod • bílá – bod pozadí • mřížka • obrázek IxI • mřížka SxS • nr(i,j) = “počet obrázkových bodů v buňce” • zbytek stejně jako pro šedou

34. FD v centru oka a jeho okolí

35. Detekce oka v obrázku • “Údolí” – malá intenzita šedé • Kandidát na region oko (x,y), jestliže: • f(x,y)<t1 , f(x,y)...obrázek tváře, t1…hranice • Φv(x,y)>tv , Φv...údolí, tv…hranice • vybrání kandidáta z každého regionu

36. Spárování kandidátů (1) • normalizace stupňů šedi (rozdílné světelné podmínky na každém z očí) • stejná velikost • stejná orientace • místo square-box-counting se počítá s orintovanými kvádry • horizontální fraktální dimenze FDh • vertikální fraktální dimenze FDv • Na rozdíl od ostatních textur se FDh a FDv duhovek výrazněji liší

37. Spárování kandidátů (2) Příklad FDh a FDv

38. Spárování kandidátů (3) • (x0,y0) ... lokace kandidáta levého oka • (x1,y1) ... lokace kandidáta pravého oka • Meye … průměrná FD regionu oka • t1, t2, t3, t4 ... hranice

39. Verifikace párů • (x,y) ... pozice regionu páru očí • Feye(x,y) … průměrná FD regionu páru očí • Fface(x,y) … průměrná FD regionu tváře • t5, t6 ... hranice (t5= 0,038, t6 = 0,035) • při překrytí regionů volíme minimum z: |Feye(x,y) – M’eye(x,y)| + |Fface(x,y) – M’face(x,y)|

40. Experimenty • Použití MIT a ORL databáze obličejů

41. Získání ostatních vlastností

42. Literatura • Fast feature selection using fractal dimension • Caetano Tranja Jr., Afma Traina, Leejay Wu, Christos Faloutsos • Estimating the Selectivity of Spatial Queries Using the ‘Correlation’ Fractal Dimension • Alberto Belussi, Christos Faloutsos • Fractional Box-Counting Approach to Fractal Dimension Estimation • Jie Feng, Wei-Chung Lin, Chin-Tu Chen • Locating the eye in human face images using fractal dimensions • K.-H.Lin, K.-M.Lam,W.-C.Siu • Fraktály v počítačové grafice • Pavel Tišnovský, www.root.cz