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联合分布函数与边缘分布函数的关系

由联合概率密度求连续型 r.v. 的边缘分布函数. 由联合分布律求边缘分布函数. 3.2 边缘分布. 联合分布函数与边缘分布函数的关系. 二、 二维离散型随机变量的边缘分布律. 由 ( X , Y ) 的联合分布律 P { X ＝ x i , Y ＝ y j } ＝ p ij ， i , j ＝ 1,2,…. p • j. X. x 1 x i. Y. p • 1. y 1. p • j. y j. p i•. p 1 •. p i•. 联合分布律. 及 边缘分布律. 1. 三、连续型随机变量的边缘概率密度.

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联合分布函数与边缘分布函数的关系

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Presentation Transcript

  1. 由联合概率密度求连续型r.v.的边缘分布函数 由联合分布律求边缘分布函数 3.2 边缘分布 联合分布函数与边缘分布函数的关系

  2. 二、二维离散型随机变量的边缘分布律 由(X,Y)的联合分布律P{X＝xi,Y＝yj}＝pij，i,j＝1,2,…

  3. p• j X x1 xi Y p•1 y1 p• j yj pi• p1• pi• 联合分布律 及边缘分布律 1

  4. 三、连续型随机变量的边缘概率密度 同理可得Y 的边缘概率密度

  5. 例5 ● ● 解

  6. ● ●

  7. 例6设(X,Y)在区域 上服从 均匀分布,求(X,Y)关于X和Y的边缘概率密度.

  8. 例7

  9. 令

  10. 即 【结论】二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布, 并且都不依赖于参数. 【说明】对于确定的1, 2, 1, 2, 当不同时,对应了不同的二维正态分布.在下一章将指出, 对于二维正态分布而言,参数正好刻画了X和Y之间关系的密切程度.

  11. 【结论】 联合分布 边缘分布 思考 边缘分布均为正态分布的随机变量, 其联合分布一定是二维正态分布吗? 在什么情况下，由边缘分布可以唯一确定联合分布呢？

  12. 3.3 条件分布 问题

  13. 一、离散型随机变量的条件分布 定义

  14. 【说明】 ①条件分布的本质是条件概率, 离散型r.v.X在{Y=yj}发生的条件下的条件分布律, 就是在{Y=yj}发生条件下将 X每一个可能取值及取值的条件概率列出. ②条件分布律满足分布律的充要条件:

  15. 类似全概率公式(求边缘分布律) • 类似乘法公式(求联合分布律)

  16. 类似逆概公式(求条件分布律)

  17. X 0 1 2 Y 3/28 9/28 3/28 0 1/14 5/14 0 1 1/28 0 0 2 【练习】已知(X,Y)的联合分布律 求:Y=1时, X的条件分布律.

  18. 例1把三个球等可能地放入编号为 1, 2, 3 的三个盒子中, 每盒可容球数无限. 记 X 为落入 1 号盒的球数, Y 为落入 2 号盒的球数，求 (1) 在Y = 0 的条件下，X 的条件分布律； (2)在 X = 2 的条件下，Y 的条件分布律.

  19. 例2一射手进行射击, 每次击中目标的概率为p(0<p<1), 射击到击中目标两次为止. 设以X 表示首次击中目标所进行的射击次数, 以Y 表示总共进行的射击次数. 试求 X 和 Y 的联合分布律及条件分布律.

  20. 二、连续型随机变量的条件分布 定义 给定y, 对于任意固定的 若对于任意实数x, 极限 存在, 则称此极限为在条件Y=y下, X的条件分布函数, 记作 【引言】在条件分布中,作为条件的随机变量的取值是确定的数.但是当Y 是连续型r.v.时, 条件分布不能用 直接定义, 因为 , 我们只能讨论Y取值在y附近的条件下，X的条件分布.

  21. 连续 连续

  22. 则 同理, 当 时,

  23. 仅是 x的函数, 此时y是常数. • 类似于乘法公式(求联合概率密度) 【说明】 • 条件概率密度满足概率密度的充要条件: • 利用条件概率密度可计算Y=y条件下, 与X有关的事件的条件概率:

  24. 类似于Bayes公式(求条件概率密度) • 类似于全概率公式(求边缘概率密度)

  25. 边缘分布 联合分布 条件分布 • 联合分布、边缘分布、条件分布的关系 联合分布

  26. 例3已知(X,Y )服从圆域 x2 + y2  r2上的均匀分布, 求   x -r r

  27. 例4已知 , 求 . 解

  28. 同理， 【说明】二维正态分布的条件分布仍为正态分布.

  29. 例5设 y = x 求 1 1

  30. 求 y = x 1 1 例6已知

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