第2章质点力学的运动定律守恒定律（ Newton’s laws of motion ）

第2章质点力学的运动定律守恒定律 （Newton’s laws of motion） §2.1质点力学的基本定律 §2.2 动量动量守恒定律 §2.3 功动能势能机械能守恒定律 §2.4 角动量角动量守恒定律 §2.5 刚体定轴转动牛顿英国著名诗人Pope写道：自然界和自然界的规律隐藏在黑暗中，上帝说：“让牛顿去吧！” 于是一切成为光明。作业：练习册选择题：1-13 填空题：1-10 计算题：1-8

牛顿的生平简介 少年时代的牛顿，天资平常，但很喜欢制作各种机械模型，他有一种把自然现象、语言等进行分类、整理、归纳的强烈嗜好，对自然现象极感兴趣。牛顿末出娘腹，父亲便去世，在舅舅和外祖母的抚养下长大，从小体弱多病。 1661年6月，他以“减费生”身份考入剑桥大学三一学院。他比一般同学都大四、五岁，但他从小有个好习惯，就是爱亲自动手做小机械之类的玩艺儿，手极巧。入学后遇着一个叫巴罗的好老师的悉心栽培，这迟熟的牛顿茅塞顿开，学业进步很大，经常提出一些自然和数学方面的问题，使巴罗又惊又喜。谁知好景不长，学习不到三年，便发生了席卷全国的大瘟疫，伦敦在1665年一个夏天便死了二万多人。学校只好放假，牛顿卷着铺盖又回到老家沃尔斯索普村。

《自然哲学的数学原理》 1667年，可怕的瘟疫刚消失，牛顿便重返校园，翌年获硕士学位。不知是胆怯还是出于慎重，他对自己在乡间从苹果落地而得出的万有引力定律，再未张扬。 1684年12月，在哈雷的鼓动下，牛顿将《论运动》送到皇家学会，二年后公布有万有引力的巨著《自然哲学的数学原理》第一编也送到皇家学会。这本书可以看作经典物理学的《圣经》。牛顿在此书中建立了一个完备自洽的物理学体系。 “我把这部著作叫做《自然哲学的数学原理》，因为哲学的全部任务看来就在于从各种运动现象来研究各种自然之力，而后用这些力去论证其他的现象。”

牛顿墓 1727年3月20日，牛顿病逝，享年85岁。英国政府为他进行了国葬。他睡进了只有英国历史上最着名的艺术家、学者、政冶家、元帅才配安息的地方。他死后四年，人们为他立了雄伟的墓碑，并列了这样一段铭文：伊萨克•牛顿爵士安葬在这里。他以近于超人的智力第一个证明了行星的运动与形状，彗星的轨道，海洋的潮汐。他孜孜不倦地研究光线的各种不同的屈折角，颜色所生成的种种性质。对于自然、考古和圣经，他是一个勤勉、敏锐和忠实的诠释者。在他的哲学中确认上帝的尊严，并在他的举止中表现了福音的纯朴。让人类欢呼曾经存在过这样伟大的一位人类之光。

§1质点力学的基本定律 1. 牛顿第二定律对惯性系成立中学：大学：牛顿第二定律的微分形式是基本的普遍形式，适用于高速运动情况与变质量问题。曲线坐标系：直角坐标系：法向：切向：（圆周运动： =R）

重力： 地球支持力正压力拉力张力弹力 2. 常见的几种力 (1)重力：地球表面附近的物体受地球的引力作用。 (2)弹力：发生形变的物体,由于要恢复原状,对与它接触的物体产生的作用力。弹力的三种形式：正压力或支持力: 物体通过一定面积相接触而产生的相互作用力。拉力和张力: 拉力是绳或线对物体的作用力; 张力是绳子内部各段之间的作用力。弹簧的弹力:

拉紧的绳中任一截面两侧的两部分之间相互作用力称该截面处的张力.拉紧的绳中任一截面两侧的两部分之间相互作用力称该截面处的张力. 例: 如图，质量均匀分布的粗绳拉重物，（张力有分布吗？）已知：F=150N，a=0.2m/s2，l =4m，m=2kg. 求：距顶端为x米处绳中的张力. 解：从顶端向下取x米绳，由牛顿第二定律 # 若若绳的质量忽略，则张力等于外力

质点动力学的基本问题： 3.应用牛顿定律解题质点动力学问题可分为两类： (1)已知质点的运动，求作用于质点的力。一维直线运动，运动方程x = x(t) 由求：F 例：一质点质量为m = 2kg，作直线运动，运动方程 x =10t 2+2t+1（SI）求质点所受的合外力。解：

例：一质点质量m，运动方程， 求作用于质点的合外力。解：

c  R T 0 mg 例: 如图所示，单摆运动为 = 0sint ,  为细绳与铅直线所成的角,0和均为常数。设摆锤质量为m，绳长为R，求绳子的张力。解：质点绕c点作变速圆周运动，其法向加速度为： m 求得：

(2)已知作用于质点的力，求质点的运动。 a.选择好坐标系； b. 根据F=mdv/dt的分量形式建立运动微分方程式； c. 对微分方程求解，得到运动方程。例：一质点m =1kg，直线运动，受力f =2t，设t = 0时，x0=0，v0=1m/s，求质点的运动方程。解：

例：质量为m 的物体，以初速度v0沿水平方向向右运动，所受到的阻力与速度v成正比，求物体的运动方程。 v F 阻力沿x轴负方向，表示为： F= – kv， k为常数。 x 0 m 解：当t = 0 时，v= v0 将代入上式，得：当t = 0时， x = 0；

a - a 4. 非惯性系惯性力惯性系非惯性系问题: (答:静止) 1. 在地面的站台上观察金杯的运动状态如何? 2. 在加速行驶的车内观察金杯的运动状态又如何? (答:加速向左运动。)

牛顿第二定律仅仅适用于惯性系(相对于地球静止或作匀速直线运动的物体),怎样把牛顿第二定律推广到非惯性系呢?牛顿第二定律仅仅适用于惯性系(相对于地球静止或作匀速直线运动的物体),怎样把牛顿第二定律推广到非惯性系呢? 非惯性系：相对地面惯性系做加速运动的物体。平动加速系：相对于惯性系作变速直线运动，但是本身没有转动的物体。例如：在平直轨道上加速运动的火车。转动参考系：相对惯性系转动的物体。例如：转盘在水平面匀速转动。惯性力: 在非惯性系中观察和处理物体的运动现象时,为了应用牛顿定律而引入的一种虚拟力。观察：处理：

在平动加速参考系中惯性力: 在非惯性系中牛顿第二定律的形式为惯性力不是物体间的相互作用，它没有反作用力。本质上是物体惯性的体现，有真实的作用效果。

问题：在转动参考系中，如何引入惯性力对牛顿第二定律进行推广？问题：在转动参考系中，如何引入惯性力对牛顿第二定律进行推广？在地面上(惯性系)观察:小球受弹簧拉力做圆周运动；在转盘上(非惯性系)观察:小球静止。处理：弹簧拉力客观存在在转动参考系中惯性力: 大小沿着圆的半径向外方向 (惯性离心力)

雷管导板 S′ 敌舰体撞针滑块鱼雷二战中的小故事：美 Tinosa号潜艇携带16枚鱼雷在太平洋离敌舰4000码斜向攻击，发射4枚使敌舰停航。离敌舰 875码垂直攻击，发射11枚均未爆炸！分析：垂直、近距 惯性力大 摩擦力大

例：在加速运动的车上分析单摆与竖直方向的夹角。例：在加速运动的车上分析单摆与竖直方向的夹角。解： (1)确定研究对象：物体m (2)选参照系——车（非惯性系） (3)在参照系上建立直角坐标系如图； (4)隔离物体分析力: 运用牛顿第二定律列方程： x方向： y方向：解出:

例如图 m与M保持接触, 各接触面处处光滑. 求：m下滑过程中，相对M的加速度 amM 解：画隔离体受力图 M相对地面加速运动，运动加速度设为以M为参考系画m的受力图以地面为参考系画M的受力图

以地面为参考系对M列方程 x方向：以M为参考系（非惯性系）对m 列方程 x'方向： y'方向：结果为：

微分形式的牛顿第二定律是关于力与加速度的瞬时关系，对于中间的每个过程必须考虑。某些情况下，并不需要考虑中间过程，可以由几个状态求解问题。这时候，采用积分形式的牛顿第二定律更有效。这就是动量定理与动能定理。微分形式的牛顿第二定律是关于力与加速度的瞬时关系，对于中间的每个过程必须考虑。某些情况下，并不需要考虑中间过程，可以由几个状态求解问题。这时候，采用积分形式的牛顿第二定律更有效。这就是动量定理与动能定理。力对时间和空间的积累效应。功积分表示力对时间的累积量 ---- 冲量

§2动量动量守恒定律 力对时间过程的积累效应，冲量—动量。 1.质点的动量定理普遍性，直线，曲线，求积分有：直角坐标系，分量式： —动量定理物体在运动过程中所受到的合外力的冲量，等于该物体动量的增量。比较：中学 Ft=mv2- mv1 直线运动，F—恒力

F m （a） F(N) 30 （b） 0 4 7 t(s) 例：如图a 所示，质量为m =10kg的木箱，在水平拉力F 的作用下，由静止开始运动，若拉力的大小随时间变化的关系如图b所示，已知木箱与地面间的摩擦系数  = 0.2，求：t = 4、7、6s 时木箱速度的大小。解:由动量定理: (1) 上式中F=30,v0=0,解出v4 =4.16m/s (2) 上式中F=70–10t, 解出v7 =2.78m/s (3) 解出v6 = 4.24m/s

mn 内力成对产生，矢量和为零; 2. 质点组（系）的动量定理推广到系统的所有内力矢量和为零。 m1 对第i个质点， m2 一共有n个这样的方程，求和：

由n个质点组成的力学系统所受合外力的冲量等于系统总动量的增量。由n个质点组成的力学系统所受合外力的冲量等于系统总动量的增量。注意：内力不能改变系统的总动量；内力能改变每一个质点的动量。

汽车发动机内气体对活塞的推力以及各种传动部件之间的作用力能使汽车前进吗？使汽车前进的力是什么力？汽车发动机内气体对活塞的推力以及各种传动部件之间的作用力能使汽车前进吗？使汽车前进的力是什么力？参考解答：汽车发动机内气体对活塞的推力以及各种传动部件之间的作用力都是汽车系统的内力，内力只会改变内部各质点的运动状态，不会改变系统的总动量，所以不能使汽车前进。使汽车前进的力只能是外力，这个外力就是地面给汽车的摩擦力。粗略分析如下：当汽车发动机内气体对活塞的推力带动传动部件使主动轮（一般为汽车的后轮）绕轮轴转动时，使主动轮与地面的接触部分相对地面有向后滑动的趋势，从而使地面对汽车施以向前的摩擦力，使汽车整体向前加速运动。由于汽车前进使从动轮（汽车的前轮）相对地面有向前的运动趋势，因此从动轮受到地面施以的方向向后的摩擦力，该摩擦力对从动轮轴的力矩使从动轮滚动起来。所以汽车的运动最终靠的是地面施加的摩擦力。

3. 动量守恒定律 如果系统所受的外力之和为零（即），则系统的总动量保持不变。这个结论叫做动量守恒定律。条件 = 常矢量直角坐标系下的分量形式 =常量 =常量 =常量

关于动量守恒定律，注意几点： (1) 动量是矢量，是矢量守恒。开始静止，加上一对力后，转动；动量守恒吗？每一对对应点的动量矢量合还是为零。 (2) 碰撞、打击—摩擦力、重力作用，外力矢量合不为零 (因t很短,碰撞、打击的内力远大于外力),仍有动量守恒. (3) 外力矢量合不为零,但沿着某一方向分量的代数合为零,总动量在该方向的分量守恒.

例：车(M)长l, 人(m)，车对地光滑,问人从车的一端走到另一端时,人和车各对地移动了多少? 解: (人,车) —系统沿水平方向,动量守恒. x车一维直线运动, x人

m m+dm dm 4. 变质量物体的运动方程物体m与质元dm在t时刻的速度以及在t+dt时刻合并后的共同速度如图所示：把物体与质元作为系统考虑，初始时刻与末时刻的动量分别为：初始时刻末时刻

对系统利用动量定理 略去二阶小量，两端除dt 变质量物体运动微分方程值得注意的是，dm可正可负，当dm取负时，表明物体质量减小，对于火箭之类喷射问题，为尾气推力。

变质量问题的处理方法 (1)确定研究系统,取定坐标系 (2)写出系统动量表达式 (3)求出系统动量变化率 (4)分析系统受力 (5)应用动量定理求解例1：装煤车的牵引力例2：匀速提柔软链条

dm m x O 例：一辆煤车以v=3m/s的速率从煤斗下面通过,每秒钟落入车厢的煤为 △m=500kg。如果车厢的速率保持不变,应用多大的牵引力拉车厢? 解:研究对象： t 时刻车中煤的总质量m 和t+dt时刻落入车厢的煤的质量dm 设以地面为参考系，建立坐标系如图， t时刻和t+dt时刻系统水平总动量分别为: 由动量定理可得: dt 时间内系统水平总动量增量为:

受力图 例：柔软的绳盘在桌面上，总质量为m0，总长度l , 质量均匀分布，均匀地以速度v0提绳。求：绳子被拉上任一段后，绳端的拉力F。解：(方法一) 取整个绳子为研究对象(系统) t 时刻绳子被拉上x ,t +dt时刻绳子被拉上x+dx t时刻和t+dt时刻系统总动量分别为:

(方法二)系统是： 已提升的质量(主体) m 和将要提升的质量dm t时刻和t+dt时刻系统总动量分别为:

y C x O 抛手榴弹的过程 5.质心质心运动定理质点系的质量中心，简称质心。具有长度的量纲，描述与质点系有关的某一空间点的位置。质心运动反映了质点系的整体运动趋势。

y mN mi c m1 m2 x O z 对于分立体系：质心(质量中心)定义直角坐标系下：

y M x O z dm 对于连续体：直角坐标系下： (xc yc zc) c

y O x x dx 例:求腰长为a等腰直角三角形均匀薄板的质心位置。解: 因为等腰直角三角形对于直角的平分线对称，所以质心位于此分角线上。以此分角线为x轴，作坐标轴如图所示。在离原点处取宽度为dx的面积元，由于面积元的高度为2y，所以其面积为2ydx=2xdx。设薄板每单位面积的质量为，则此面积元的质量dm=2xdx。三角形质心坐标xc是这个结果和熟知的三角形重心位置一致。

y dy O x x dx 解因为等腰直角三角形对于直角的平分线对称，所以质心位于此分角线上。以此分角线为x轴，作坐标轴如所示。在离原点处取宽度为dx的面积元，由于面积元的高度为2y，所以其面积为2ydx=2xdx。设薄板每单位面积的质量为，则此面积元的质量略去二阶无穷小

表明：不管物体的质量如何分布，也不管外力作用在物体的什么位置上，质心的运动就象是物体的质量全部都集中于此，而且所有外力也都集中作用其上的一个质点的运动一样。质心的运动只由合外力决定，内力不能改变质心的运动情况。表明：不管物体的质量如何分布，也不管外力作用在物体的什么位置上，质心的运动就象是物体的质量全部都集中于此，而且所有外力也都集中作用其上的一个质点的运动一样。质心的运动只由合外力决定，内力不能改变质心的运动情况。质心运动反映了质点系的整体运动趋势。 ——质心运动定理

动量守恒定律 = 常矢量 = 常矢量系统所受合外力矢量和为零，动量守恒。即质心速度保持不变！

天安门前放焰火时，一朵五彩缤纷的焰火的质心的运动轨迹如何？（忽略空气阻力与风力）为什么在空中焰火总是以球形逐渐扩大？天安门前放焰火时，一朵五彩缤纷的焰火的质心的运动轨迹如何？（忽略空气阻力与风力）为什么在空中焰火总是以球形逐渐扩大？答：由质心运动定理F = mac 可知，系统的外力决定质心的运动。天安门前放焰火时，若不计阻力和风力，焰火受到的外力只有重力，所以焰火质心的运动轨迹就是一条抛物线。焰火在空中炸开时，由于爆炸力远远大于重力，可近似认为焰火系统动量守恒，焰火各质点的动量之和必须保持为零，所以各方向的动量都有，且相反方向的动量大小必定相等，从而使空中的焰火大致以球形逐渐扩大。

y C船 C船 0 x 例：一质量m1=50kg的人站在一条质量m2=200kg , 长度l = 4m的船头上。开始时船静止,求当人从船头走到船尾时船移动的距离d =？解:取人和船为系统,该系统在水平方向不受外力,因而水平方向的质心速度不变,即质心始终静止不动。当人在船左端时,人和船这个系统的质心坐标为当人在船右端时,人和船这个系统的质心坐标为由于所以即: 求当人从船头走到船尾时船移动的距离

§3 功动能势能机械能守恒定律 牛顿定律——瞬时作用关系。现在研究质点在力的持续作用下，力对物体的积累效应。力的空间积累对质点运动的影响。 1. 功（定义）、变力做功的计算. 轨道分成N个小段,每个小段足够小, 其上F大小、方向均一定，按恒力作功，有： b 取i小段,有: a

b a 直角坐标系：功率： t内作功A，平均功率：瞬时功率：或

例：已知力 质点从原点移动到x=8, y=6 处该力做功多少?

o x 例:某物体质量m =2kg，受力F=12t（N）从静止出发沿x轴作直线运动。求：3s 内该力做了多少功？解: 若质点沿x 轴运动

2. 质点的动能定理 (1) 直线运动： (2) 曲线运动：求导：代入上式，有： dv不仅产生于v方向的改变，而且也决定于v大小的变化。合外力对物体所作的功等于物体动能的增量。

T dS d P   v 例. 一质量为m的摆球系在线的一端，线长l ；水平静止然后下落。求摆线与水平方向成0角时，摆球的速率。解：任取摆线与水平方向成角时(即任取一中间过程)分析, m 对摆球，外力：P，T 下摆d，dr 时：思考：A重力做功=？由动能定理：

第2章质点力学的运动定律守恒定律（ Newton’s laws of motion ）