第 2 讲　匀变速直线运动规律及应用

第2讲　匀变速直线运动规律及应用

匀变速直线运动及规律 • 1．匀变速直线运动 • (1)定义：物体在一条直线上且不变的运动． • (2)分类：加速度

2．匀变速直线运动的规律 • (1)三个基本公式 • ①速度公式：v＝ . • ②位移公式：x＝. • ③位移速度关系式： • v2－v02＝. • (2)平均速度公式： • ＝ . v0＋at v0t＋ at2 2ax 题组演练

匀变速直线运动的重要推论 • 1．任意相邻两个连续相等的时间里的位移之差是一个恒量，即x2－x1＝x3－x2＝…xn－xn－1＝at2. • 2．某段时间内的平均速度，等于该时间的中间时刻的瞬时速度，即＝v ＝ . • 3．某段位移中点的瞬时速度等于初速度v0和末速度vt平方和一半的平方根，即 .

4．初速度为零的匀加速直线运动的规律(设T为等分时间间隔)．4．初速度为零的匀加速直线运动的规律(设T为等分时间间隔)． • (1)1 T内、2 T内、3 T内……位移之比 • x1∶x2∶x3……＝. • (2)1 T末、2 T末、3 T末……速度之比 • v1∶v2∶v3＝. • (3)第一个T内、第二个T内、第三个T内……的位移之比为xⅠ∶xⅡ∶xⅢ＝. • (4)从静止开始通过连续相等的位移所用时间之比为 • t1∶t2∶t3……＝. 12∶22∶32……. 1∶2∶3∶…… 1∶3∶5……. 题组演练

自由落体运动和竖直上抛运动 • 1．自由落体运动 • (1)条件：物体只在作用下，从开始下落． • (2)特点：初速度v0＝0，加速度为重力加速度g的 • 运动． • (3)基本规律：速度公式v＝. • 位移公式h＝ . • 速度位移关系式：v2＝. 重力静止匀变速直线 gt 2gh

2．竖直上抛运动规律 • (1)运动特点：加速度为g，上升阶段做运动，下降阶段做运动． • (2)基本规律 • 速度公式：v＝. • 位移公式：h＝. • 速度位移关系式：v2－v＝. • 上升的最大高度：H＝ . • 上升到最高点所用时间：t＝ . 匀减速直线自由落体 v0－gt v0t－ gt2 －2gh 题组演练

一、应用匀变速运动规律解决问题应注意 • 1．公式中各量正负号的确定 • x、a、v0、v均为矢量，在应用公式时，一般以初速度方向为正方向，凡是与v0方向相同的x、a、v均为正值，反之为负值，当v0＝0时，一般以a的方向为正方向．

2．两类特殊的运动问题 • (1)刹车类问题 • 做匀减速运动到速度为零时，即停止运动，其加速度a也突然消失．求解此类问题时应先确定物体实际运动的时间．注意题目中所给的时间与实际运动时间的关系．对末速度为零的匀减速运动也可以按其逆过程即初速度为零的匀加速运动处理，切忌乱套公式．

(2)双向可逆类的运动 • 例如：一个小球沿光滑斜面以一定初速度v0向上运动，到达最高点后就会以原加速度匀加速下滑，整个过程加速度的大小、方向不变，所以该运动也是匀变速直线运动，因此求解时可对全过程列方程，但必须注意在不同阶段v、x、a等矢量的正负号．

1．以36 km/h的速度行驶的汽车，刹车后做匀减速直线运动，若汽车在刹车后第2 s内的位移是6.25 m，则刹车后5 s内的位移是多少？

可见，刹车后5 s的时间内有1 s是静止的，故刹车后5 s内的位移为 • x′＝v0t＋ at2＝[10×4＋ ×(－2.5)×16]m • ＝20 m. • 【答案】20 m

二、对竖直上抛运动的理解 • 1．处理方法 • (1)全程法 • 将竖直上抛运动视为竖直向上的加速度为g的匀减速直线运动． • (2)分阶段法 • 将全程分为两个阶段，即上升过程的匀减速阶段和下落过程的自由落体阶段．

2．竖直上抛运动的重要特性 • (1)对称性 • 如右图所示，物体以初速度v0竖直上抛，A、B为途中的任意两点，C为最高点，则 • ①时间对称性 • 物体上升过程中从A→C所用时间tAC和下降过程中从C→A所用时间tCA相等，同理tAB＝tBA.

②速度对称性 • 物体上升过程经过A点的速度与下降过程经过A点的速度大小相等． • ③能量对称性 • 物体从A→B和从B→A重力势能变化量的大小相等，均等于mghAB. • (2)多解性 • 当物体经过抛出点上方某个位置时，可能处于上升阶段，也可能处于下降阶段，造成双解．

2．某人站在高楼的平台边缘处，以v0＝20 m/s的初速度竖直向上抛出一石块．求抛出后，石块经过距抛出点15 m处所需的时间．(不计空气阻力，g取10 m/s2) • 【解析】若把石块的整个运动过程当做一个匀变速直线运动(即把上升到最高点后的自由下落阶段也包含在其中)，取向上为正方向，则石块在抛出点上方的A点时，xA＝＋15 m，在抛出点下方的B点时，xB＝－15 m(注意：此时的位移为负值)，a＝－g＝－10 m/s2，分别代入公式x＝v0t＋ at2可得两个方程：

【答案】1 s3 s(2＋ ) s

(14分)汽车从静止开始出发，在水平路面上做匀加速直线运动，通过相距38.4 m的甲、乙两地需8 s，经过乙地的速度是经过甲地速度的2倍，求汽车的加速度和甲地离汽车出发处的距离． • 【解析】 • 方法一　设汽车的加速度为a，汽车从出发处到甲地所需时间为t，则甲地离出发处的距离为x甲＝ at2①☞(1分) • 乙地离出发处的距离为x乙＝ a(t＋8)2☞(2分)

x甲＋38.4＝ a(t＋8)2②☞(2分) • 由①②式得 a(t＋8)2－ at2＝38.4③ • 汽车经过甲地的速度为v甲＝at④☞(1分) • 汽车经过乙地的速度为v乙＝a(t＋8)☞(1分) • 则2v甲＝a(t＋8)⑤(1分) • 由④⑤式，得2at＝a(t＋8) • 解得t＝8 s ☞(2分) • 把t＝8 s代入③式，得a＝0.4 m/s2 ☞(2分) • 所以x甲＝ at2＝ ×0.4×82＝12.8 m．☞(2分)

求解匀变速直线运动问题常见方法

1－1：某物体以12 m/s的初速度做匀减速运动，在第3 s内的位移为4.5 m，求物体的加速度． • 【答案】－3 m/s2

运行着的汽车制动后做匀减速直线滑行，经3.5 s停止，试问它在制动开始的1 s内、2 s内、3 s内通过的位移之比为多少？ • 【解析】如图甲所示，汽车从O开始制动后，1 s末到A,2 s末到B,3 s末到C,3.5 s末停止在D.

这个运动的逆过程可看成初速度为零的匀加速直线运动，加速度的数值等于汽车做匀减速直线运动时的加速度，如图乙所示．将3.5 s等分为7个0.5 s，那么，逆过程从D起的连续7个0.5 s内的位移之比为1∶3∶5∶7∶9∶11∶13.因此xCB∶xBA∶xAO＝8∶16∶24. • 汽车从O起1 s内、2 s内、3 s内的位移，即图甲中的xOA、xOB、xOC，所以xOA∶xOB∶xOC＝24∶40∶48＝3∶5∶6. • 【答案】3∶5∶6

求解匀变速直线运动的一般思路 • (1)弄清题意，建立一幅物体运动的图景．为了直观形象，应尽可能地画出草图，并在图中标明一些位置和物理量． • (2)弄清研究对象，明确哪些量已知，哪些量未知，根据公式特点恰当选用公式． • (3)利用匀速直线运动的两个推论和初速度为零的匀加速直线运动的特点，往往能够使解题过程简化． • (4)如果题目涉及不同的运动过程，则应重点寻找各段运动的速度、位移、时间等方面的关系．

2－1：质点从静止开始做匀加速直线运动，从开始运动起，通过连续三段路程所用的时间分别为1 s、2 s、3 s，这三段路程之比应是 () • A．1∶2∶3B．1∶3∶5 • C．12∶22∶32 D．13∶23∶33

【解析】　根据v0＝0的匀加速运动的一个推论：从开始起第1个T内，第2个T内，第3个T内……的位移之比为【解析】　根据v0＝0的匀加速运动的一个推论：从开始起第1个T内，第2个T内，第3个T内……的位移之比为 • xⅠ∶xⅡ∶xⅢ∶……＝1∶3∶5∶……，所以，所求路程之比为1∶(3＋5)∶(7＋9＋11)∶……＝13∶23∶33∶……，D对． • 【答案】D

跳水是一项优美的水上运动，图甲是2008年北京奥运会跳水比赛中小将陈若琳和王鑫在跳台上腾空而起的英姿．其中陈若琳的体重约为40 kg，身高约为1.55 m，她站在离水面10 m高的跳台上，重心离跳台面的高度约为0.80 m，竖直向上跃起后重心升高0.45 m达到最高点，入水时身体竖直，当手触及水面时伸直双臂做一个翻掌压水花的动作，如图乙所示，这时陈若琳的重心离水面约为0.80 m．设运动员在入水及在水中下沉过程中受到的水的作用力大小不变．空气阻力可忽略不计，重力加速度g取10 m/s2.(结果保留两位有效数字)

求陈若琳从离开跳台到手触及水面的过程中可用于完成一系列动作的时间．求陈若琳从离开跳台到手触及水面的过程中可用于完成一系列动作的时间．

【答案】1.7 s

3－1：某物体以30 m/s的初速度竖直上抛，不计空气阻力，g取10 m/s2,5 s内物体的 () • A．路程为65 m • B．位移大小为25 m，方向向上 • C．速度改变量的大小为10 m/s • D．平均速度大小为13 m/s，方向向上

【解析】初速度30 m/s，只需要3 s即可上升到最高点，位移为h1＝302/20 m＝45 m，再自由落体2 s时间，下降高度为h2＝0.5×10×22m＝20 m，故路程为65 m，A对；此时离地面高25 m，位移方向竖直向上，B对；此时速度为v＝10×2 m/s＝20 m/s，速度改变量为50 m/s，C错；平均速度为25 m/5 m/s＝5 m/s，D错． • 【答案】AB

1．在水平面上有a、b两点，相距20 cm，一质点在一恒定的合外力作用下沿a向b做直线运动，经过0.2 s的时间先后通过a、b两点，则该质点通过a、b中点时的速度大小为 () • A．若力的方向由a向b，则大于1 m/s，若力的方向由b向a，则小于1 m/s • B．若力的方向由a向b，则小于1 m/s；若力的方向由b向a，则大于1 m/s • C．无论力的方向如何，均大于1 m/s • D．无论力的方向如何，均小于1 m/s

【解析】无论力的方向如何，0.2 s中间时刻的瞬时速度均为，经分析可知，质点无论是匀加速还是匀减速，a、b中间时刻的瞬时速度均小于a、b中点时的速度，所以选项C正确． • 【答案】C

2．2009年3月29日，中国女子冰壶队首次夺得世界冠军，如右图所示一冰壶以速度v垂直进入三个矩形区域做匀减速运动，且刚要离开第三个矩形区域时速度恰好为零，则冰壶依次进入每个矩形区域时的速度之比和穿过每个矩形区域所用的时间之比分别是 ()2．2009年3月29日，中国女子冰壶队首次夺得世界冠军，如右图所示一冰壶以速度v垂直进入三个矩形区域做匀减速运动，且刚要离开第三个矩形区域时速度恰好为零，则冰壶依次进入每个矩形区域时的速度之比和穿过每个矩形区域所用的时间之比分别是 ()

【答案】BD

3．(2009年江苏卷)如右图所示，以8 m/s匀速行驶的汽车即将通过路口，绿灯还有2 s将熄灭，此时汽车距离停车线18 m．该车加速时最大加速度大小为2 m/s2，减速时最大加速度大小为5 m/s2.此路段允许行驶的最大速度为12.5 m/s.下列说法中正确的有 ()

A．如果立即做匀加速运动，在绿灯熄灭前汽车可能通过停车线A．如果立即做匀加速运动，在绿灯熄灭前汽车可能通过停车线 • B．如果立即做匀加速运动，在绿灯熄灭前通过停车线汽车一定超速 • C．如果立即做匀减速运动，在绿灯熄灭前汽车一定不能通过停车线 • D．如果距停车线5 m处减速，汽车能停在停车线处

【解析】在加速阶段若一直加速则2 s末的速度为12 m/s,2 s内的位移为x＝ ×2 m＝20 m，则在绿灯熄灭前汽车可能通过停车线，A正确．汽车一直减速在绿灯熄灭前通过的距离小于16 m，则不能通过停车线，如距离停车线5 m处减速，汽车运动的最小距离为6.4 m，不能停在停车线处．AC正确． • 【答案】AC

4．如右图所示，一辆上表面光滑的平板小车长L＝2 m，车上左侧有一挡板，紧靠挡板处有一可看成质点的小球．开始时，小车与小球一起在水平面上向右做匀速运动，速度大小为v0＝5 m/s.某时刻小车开始刹车，加速度a＝4 m/s2.经过一段时间，小球从小车右端滑出并落到地面上．求： • (1)从刹车开始到小球离开小车所用的时间; • (2)小球离开小车后，又运动了t1=0.5s落地.小球落地时落点离小车右端多远？

【解析】(1)刹车后小车做匀减速运动，小球继续做匀速运动，设经过时间t，小球离开小车，经判断知此时小车没有停止运动，则x球＝v0t【解析】(1)刹车后小车做匀减速运动，小球继续做匀速运动，设经过时间t，小球离开小车，经判断知此时小车没有停止运动，则x球＝v0t • x车＝v0t－ at2 • x球－x车＝L • 代入数据可解得：t＝1 s.

(2)经判断小球离开小车又经t1＝0.5 s落地时，小车已经停止运动．设从刹车到小球落地，小车和小球总位移分别为x1、x2，则： • x1＝ • x2＝v0(t＋t1) • 设小球落地时，落点离小车右端的距离为Δx，则： • Δx＝x2－(L＋x1) • 解得：Δx＝2.375 m. • 【答案】(1)1 s(2)2.375 m

5．(2010年湖南十校联考)如右图所示，离地面足够高处有一竖直的空管，质量为2 kg，管长为24 m，M、N为空管的上、下两端，空管受到F＝16 N竖直向上的拉力作用，由静止开始竖直向下做加速运动，同时在M处一个大小不计的小球沿管的轴线竖直上抛，小球只受重力，取g＝10 m/s2.求：

(1)若小球上抛的初速度为10 m/s，则其经过多长时间从管的N端穿出； • (2)若此空管的N端距离地面64 m高，欲使在空管到达地面时小球必须落到管内，在其他条件不变的前提下，求小球的初速度大小的范围．

【解析】(1)对管 • mg－F＝ma① • 代入数据得a＝2 m/s2 • 设经过t时间从N端穿出 • 对管h＝ at2② • 对球－(24＋h)＝v0t－ gt2③ • 由②③得：2t2－5t－12＝0. • 解之得t＝－ (舍去) • t＝4 s.

由④⑤得v0＝32 m/s • 由⑤⑥得v′0＝29 m/s • 所以29 m/s<v0<32 m/s. • 【答案】(1)4 s(2)29 m/s<v0<32 m/s

第 2 讲 匀变速直线运动规律及应用