МАСОВИ ХАРАКТЕРИСТИКИ НА ТВЪРДО ТЯЛО И СИСТЕМИ

1. МАСОВИ ХАРАКТЕРИСТИКИ НА ТВЪРДО ТЯЛО И СИСТЕМИ Учебни въпроси: Механична система.Сили в механичната система. Масов център. Теорема за движение на масовия център. Масови инерционни моменти. Теорема на Щайнер. Инерционен елипсоид. Главни инерционни оси.

2. 1. Механична система 1.1Определение: Съвкупност от тела (или материални точки), движението на всяка от които зависи от положението и движението на всички останали. • Съществено свойство на механичната система е взаимодействието между елементите й. (Свободни и не свободни механични системи). • Примери: • слънцето и планетите от слънчевата система; • Всеки механизъм или машина (изменяеми системи); • всяка система от подвижно свързани тела (и/или точки) – дискретна система. • неизменяеми конструкции (неизменяема система); • всеки континуум (непрекъсната среда) - абсолютно твърдо тяло, еластично тяло и др. Обратни примери – ято птици, група самолети и др.

3. 1.2 Връзки • Движението на елементите на не свободните механични системи се ограничава от наложените на тях връзки - геометрични или кинематични ограничения върху движението им. • Материалния израз на дадена геометрична връзка е тяло, което може да бъде конструктивно различно оформено – повърхнина, прът, въже, релса, лагер и др. • Тези връзки могат да налага различен брой ограничения и по този признак те се определят в 5 класа: І клас – налагат едно ограничение, ІІ клас – две,........ .V клас – пет. • Броят на ограниченията наложени на системата ще бъде: • S = ∑i.pi - за система само с геометрични връзки. • Примери: сферични стави, лагери, плъзгащи връзки и др. • Математически някой връзки могат да се изразят с равенства или неравенства – уравнения на връзките.

4. едностранна 2 2 2 2 2 2 y O y l x O 2 2 2 2 x M 1.3 Класификация на връзките 1.3.1.Геометрични и кинематични: геометрични – налагат ограничения върху относителното положение на елементите (съдържат само координатите на точките); кинематични – съдържат както координатите, така и времето или скоростта. • Примери: 1) махало на не разтеглива нишка. x + y ≤ l 2) махало с прът. x + y = l – двустранна. 3) изтегляне на кофа с вода – кинематична. OM = l0 – ct - закон за скъсяване на въжето. x + y + z = (l0 – ct) f (x,y,z,t) = 0 -нестационарна 1) и 2) - стационарни.

5. xO1= r.ω= r.φили: xO1- r.φ = 0;yO1= 0 - кинематичнавръзка dxO1= r.dφ или: xO1= r.φ;yO1= r – кинематичната връзка се превърна в геометрична. Тази връзка също така е и ХОЛОНОМНА! xO1-r.ωy=0, yO1+ r.ωx=0, zO1=0. 1 2 3 Равенството 3 очевидно се интегрира - zO1=r. Но равенствата 1 и 2 не могат да се интегрират. Защо? Следователно уравненията на връзката зависят от скоростта и не допускат интегриране. Връзката е НЕХОЛОНОМНА! Z y Y O1 O vo1=xo1 O A x A X Z1 O1 Y1 X1 1.3.2 Холономни и нехолономни връзки r

6. 1.4 Степени на свобода на механична система • Ако една система има n броя тела (звена) и ако всяко от тях е напълно свободно в пространството, тази система ще има Н = 6.n степени на свобода. Ако тези тела извършват равнинно движение системата ще има Н = 3.n степени на свобода. За система от n материални точки – H = 3.n • Но в една механична система има наложени S брояограничения (отнети степени на свобода), наложени от връзките. • Следователно, степените на свобода на механична система ще бъдат: h = 3n – S (за система от точки), h = H – S = 6.n - ∑i.pi – за пространствени системи h = 3n – 2p5 – p4(за равнинни механични системи). В най-общият случай h = 6n – S*, където S* e сумата от всички видове връзки (Холономни, нехолономни ..и т.н).

7. 1.5 Сили действащи върху елементите на механична система. • Вътрешни и външни сили. Силите с които си взаимодейства елементите на системата и/или които възникват по време на движението са вътрешни (реакции на връзките, на триене и др.) Важно свойство: Главният вектор на всички вътрешни сили и главният момент са равни на нула. • Инерционни сили! Силите, които се прилагат на системата от външни източници или системи се наричат външни (двигателни, външни съпротивителни сили и моменти). • Активни (приложени) и реактивни (възникващи).

8. 1.6 Определяне на реакциите във връзките • Принцип на освобождаване на връзките – Мислено се премахват връзките между елементите на механичната система и действието им се заменя с реакциите във връзките. • Принцип на Даламбер – Към външните сили се прибавя и инерционната и тялото (звеното, точката) се счита в равновесие под действието на всички приложени сили, включително и реакциите. • Условия за статична определимост – Броят на уравненията за равновесие да бъде равен на броя на неизвестните параметри на реакциите. • Пример: Коляно-мотовилков механизъм.

9. 2. Масов център. Теорема за движение на масовия център. Масата на едно хомогенно тяло се определя с изразите: m = V.ρ= G/g = .V/g, където: V – обем на тялото, ρ – плътност, G – сила на теглото, g – земното ускорение,  - специфично тегло. Масов център на механична система от n материални точки е тази точка, положението на която спрямо произволна координатна система се определя от радиус вектора: [1] Ако механичната система е твърдо тяло масовият му център се определя от зависимостите:Примери. [2]

10. Теорема за движение на масовия център Теорема: Движението на механична система може да се сведе до движение на една точка – масовия център, в който е съсредоточена цялата маса на системата и действието на всички външни сили. Доказателство: Диференцираме [1] два пъти и получаваме: [3] тук:rc = ac, ri = ai , mi.ai = Fi(външни)+Fj(вътр.), тогава: ∑ mi.ai= ∑ Fi(външни)+∑ Fj(вътр.), където: ∑ Fj(вътр.)= 0. Окончателно: m.ac = ∑ Fi(външни). [4] Уравнението [4] може да се проектира на трите оси на правоъгълна координатна система и да се получат з диференциални уравнения за движение на масовия център. Следствие: Ако сумата от силите е нула!?

11. 3.Масови инерционни моменти. Теорема на Щайнер. Масови (инерционни характеристики) – маса и масов инерционен момент. Инерционните моменти съдържат два компонента – маса и разстояние. Примери: Значението им при различни движения – транслация, ротация и общо движение. 3.1 Статични моменти (моменти от І род). Статичният момент е масова характеристика, която показва как е разпределена масата на елементите на механичната система пространствено спрямо центъра на координатната система и няма отношение към движението. Статичните моменти се изразяват с релацията: ∑mi.ri = m.rc , или: ∑mi.xi = m.xc ; ∑mi.yi = m.yc ; ∑mi.zi = m.zc . А за идеално твърдо тяло: ∫r.dm = m.rc; или: ∫x.dm = m.xc ,∫y.dm = m.yc,∫z.dm = m.zc.

12. Статични моменти – тълкуване. Координатите на масовия център се определят с изразите: [5] Числителите в равенството [5] всъщност са статичните моменти. От това следва че: Акоxc = 0, yc = 0, zc = 0 или началото на координатната система съвпада с масовия център, то статичните моменти ще бъдат равни на нула. И обратно – ако статичните моменти са равни на нула, следва че масовият център е начало на координатната система. Същото се отнася и за статичните моменти на идеално твърдо тяло.

13. 3.2 Масови инерционни моменти (от ІІ род). 3.2.1 Масовите инерционни моменти характеризират разпределението на масите спрямо ос, точка или равнина в механичните системи от материални точки и в твърдите тела. Те силно влияят на поведението на механичните системи в движение или покой (за разлика от статичните моменти). Масовите инерционни моменти на система от точки се определят със сумата от произведенията на масите на точките с квадратите от разстоянията им съответно до някакъв полюс О, ос s и равнина q: [6] за материални точки за твърди тела

14. 3.2.2 Инерционни моменти спрямо координатните оси. Инерционни радиуси. Точката с маса mi е част от механична система. Инерционният момент на системата спрямо оста z ще бъде: Jz = ∑mi.hi, но hi = xi + yi, следователно: Jz = ∑mi.(xi + yi ); по аналогичен начин за Jxи Jy се получава: Jx = ∑mi.(yi + zi );Jy = ∑mi.(xi + zi ); Инерционните моменти се изразяват и с т.нар. инерционни радиуси: Jx = m.ix, Jy = m.iy , Jz = m.iz . По същият начин се изразяват инерционните моменти и спрямо полюс, ос и равнина: JO = m.iO,Js = m.is, Jq = m.iq . или: z hi zi ri mi y O hi 2 xi 2 2 yi 2 2 x 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

15. z z1 d hi1 hi mi O1≡C O y(y1) xi 2 2 yi1 2 2 2 2 x yi x1 2 2 2 3.3 Теорема на Щайнер (Хюйгенс-Щайнер). 3.3.1 Инерционни моменти спрямо успоредни оси. Координатните оси Ох1, Оу1, Оz1 са централни оси – преминават през масовия център С. Точка с маса mi e eлемент на механична система. Известен е Jz1. Търсим Jz. Jz = ∑mi.hi . Но: hi = xi +(yi1 + d ) = xi + yi1 + 2yi1d + d Като заместим hi в израза за Jz се получава: Jz = ∑mi.(xi + yi1) + 2d ∑miyi1 + d ∑mi .Тогава: = JCz1 = 0 =m.d Jz = JCz1 + m.d [7] 2 2 2

16. Теорема на Щайнер. • Зависимостта [7] доказва и изразява теоремата на Щайнер: Масовият инерционен момент на тяло(механична система от материални точки) спрямо ос, която е успоредна на централна ос, е равен на сумата от инерционния момент спрямо централната ос и произведението на масата на тялото (системата) с квадрата на разстоянието между двете оси. От тази теорема следва, че инерционният момент спрямо централната ос е най-малък измежду инерционните моменти, които съответстват на всички оси, успоредни на тази ос. Аналогично се доказва, че теоремата на Щайнер е валидна и има същия израз и за инерционни моменти спрямо полюс и равнина.

17. 3.3.2 Инерционни моменти спрямо завъртени оси Известни са всички инерционни моменти спрямо координатните оси. Да намерим осевеият момент спрямо произволна ос s, минаваща през т.О и завъртяна спрямо другите оси. z s K  hi M θ mi α e β r zi O y xi yi x

18. Инерционни моменти спрямо завъртени оси – продължение. [8] Зависимостта [8] определя значението на осовият момент спрямо завъртяна ос, която минава през същата точка О. Можем да изследваме изменението на момента Js, когато се променя оста – изменят се посочните косинуси. За целта по оста s нанасяме отсечката ON .

19. C z B b y c O a A x 4. Инерционен елипсоид. Главни инерционни оси. [9] Полагаме: Оси на елипсоида: ОА = а, ОВ = в, ОС = с. Извод: Когато центробежните инерционни моменти са равни на нула, осите x, y, z са главни инерционни оси. ( и обратно) Пример: балансиране на ротори

20. Въпроси ?